廣義Birnbaum-Saunders 分布及其統計分析

余炳鵬

(溫州大學數理學院，浙江溫州 325035)

Birnbaum-Saunders 分布（BS 分布）也稱疲勞壽命分布，是由Birnbaum 和Saunders[1]在1969年根據疲勞裂紋擴展到可能導致斷裂的臨界尺寸所需的循環(huán)數而推導出的模型.BS 分布在產品的可靠性研究中有著廣泛應用，尤其是在對電子產品的退化失效分析中.BS 分布比通常的壽命分布如威布爾分布和對數正態(tài)分布更適合描述一些由于疲勞而失效的產品的壽命規(guī)律，因此國內外有許多學者對BS 分布進行了大量研究，并提出了許多改進.

Desmond[2]在1985 年基于一個生物學模型給出了BS 分布更普遍的推導，并給出了雙參數BS 分布的累積分布函數的基本表達式.文獻[3]通過擴展核分布的方式，將BS 分布擴展為一系列核為橢圓分布族的廣義BS 分布族.文獻[4]將BS 分布的正態(tài)核替換為Laplace 核得到新的廣義BS 分布（LBS），并詳細研究了該分布的性質.BS 分布是作為一個受多種應力和應變模式影響的試樣的壽命模型而推導出來的，基本假設是試件的最終毀壞被認為是由于材料中一個主要裂紋的增長，但因為裂紋擴展的獨立性的假設從周期到周期的可能性是非常不現實的，因此，Owen[5]在2006 年通過放寬這一獨立性假設推導出一個新的模型，即將裂紋擴展序列建模為一個長期記憶過程和特征，根據這個發(fā)展特點引入新的第三個參數，即得到了廣義BS 分布.

本文的推廣思路與文獻[5]的有相似之處，同樣是引入第三個參數.考慮到BS 分布的核服從標準正態(tài)分布，本文將在正態(tài)核中加入原有的形狀參數α和尺度參數β外的第三個指數參數θ，仍然服從正態(tài)分布，使之擴展成為廣義Birnbaum-Saunders 分布（以下簡記為GBS 分布），從而使得GBS 分布對失效分析相較于BS 分布更加貼近實際情況.

本文從GBS 分布的推廣入手，首先介紹GBS 分布的定義，給出相應的概率密度函數和失效率函數，并研究其圖像的性質特征.然后根據第三類修正的貝塞爾函數及其性質給出GBS 分布的原點矩和中心矩的表達式，再利用極大似然估計求出GBS 分布的點估計.最后通過一個實例分析驗證GBS 分布在實例應用中的效果.

1 廣義Birnbaum-Saunders 分布

1.1 GBS 分布概率密度函數和失效率函數

首先來介紹Birnbaum-Saunders 分布.若隨機變量T的累積分布函數如以下（1）式所示：

相應地，T的概率密度函數如以下（2）式所示：

本文所討論的GBS 分布，在形狀參數α和尺度參數β的基礎上增加了指數參數θ，其核仍服從正態(tài)分布，則GBS 的累積分布函數如以下（3）式所示：

其中α＞ 0為形狀參數，β＞ 0為尺度參數，θ＞ 0為指數參數.

1.2 概率密度函數的圖像特征

GBS 分布概率密度函數的圖像如圖1-圖3 所示，總體趨勢為先遞增后遞減，存在一個極大值點，可總結為以下幾個基本特征.

1）形狀參數α對概率密度函數圖像的影響.當0＜α＜ 1時，α越小，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠左；當α＞ 1時，α越大，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠右；無論形狀參數α取何值，函數圖像極值點所對應的t的值的取值范圍都在(0,1)內.以上特征從圖1 可以看出.

圖1 α 變量密度函數對比圖

2）尺度參數β對概率密度函數圖像的影響.β越小，函數圖像峰值越大，極值點越靠左，函數遞減速度越快，尾部越窄；反之，β越大，函數圖像峰值越小，極值點越靠右，函數遞減速度越慢，尾部越厚.以上特征從圖2 可以看出.

圖2 β 變量密度函數對比圖

3）指數參數θ對概率密度函數圖像的影響.當0＜θ＜0.5時，θ越小，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠左；當0.5＜θ＜ 1時，θ越大，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠右；無論形狀參數θ取何值，函數圖像極值點所對應的t的值的取值范圍都在內(0,1)內.以上特征從圖3 可以看出.

圖3 θ 變量密度函數對比圖

1.3 失效率函數的圖像特征

失效率函數的表達式在上文中已經給出，各參數在不同的范圍內取值時，函數圖像呈現完全不同的變化趨勢，如圖4-圖6 所示.下文將分別討論形狀參數α、尺度參數β、指數參數θ對失效率函數的影響.

圖4 α 變量失效率函數對比圖

圖5 α 變量失效率函數對比圖

圖6 α 變量失效率函數對比圖

1）形狀參數α對失效率函數圖像的影響.當α＜ 1時，函數圖像先上升之后維持在一個相對平穩(wěn)的狀態(tài)，α越小，函數圖像上升速度越慢，函數值越大.當α＞ 1時，函數圖像先上升后下降，α越大，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠左；反之，α越小，函數圖像峰值越小，函數極值點越靠右.以上特征從圖4 可以看出.

2）尺度參數β對失效率函數圖像的影響.β越小，函數圖像峰值越大，極值點越靠左，但函數圖像下降趨勢較緩，尾部較厚；反之，β越大，函數圖像峰值越小，極值點越靠右，函數圖像下降較快，尾部較薄.以上特征從圖5 可以看出.

3）指數參數θ對失效率函數圖像的影響.當0＜θ＜0.5時，θ越小，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠左，失效率函數圖像先上升后下降，函數圖像尾部較窄；當0.5＜θ＜ 1時，θ越大，函數圖像峰值越大，函數極值點越靠右；失效率函數圖像先上升后下降，但下降趨勢較緩，函數圖像尾部較厚.

2 廣義Birnbaum-Saunders 分布的原點矩與中心矩

2.1 第三類修正的貝塞爾函數及其性質

第三類修正貝塞爾函數（以下簡稱貝塞爾函數）對于GBS 分布的矩的計算和簡化具有重要的作用[6].在此，先簡單介紹貝塞爾函數及其部分性質.

第三類修正的貝塞爾函數：對于任意ν∈R，以ν為索引的貝塞爾函數可以表示為：

其中x＞ 0.以下3 個貝塞爾函數的相關性質[6]，有助于計算結果的簡化.

2.2 廣義Birnbaum-Saunders 分布的原點矩

廣義Birnbaum-Saunders 分布的概率密度函數表示為：

其中α＞ 0，β＞ 0，θ＞ 0.利用貝塞爾函數及其性質可以計算GBS 分布的m階原點矩μm.

定理1 若隨機變量T～GBS(α,β,θ)，則m階原點矩μm可以表示為：

特別地，GBS 分布的期望和方差具體表達式如下：

3 廣義Birnbaum-Saunders 分布的極大似然估計

設有n個觀測值T(t1,t2,t3…,tn)～ GBS(α,β,θ)，其中GBS 分布的概率密度函數為：

則其極大似然函數為：

似然函數取對數，得到對數似然函數：

這個計算過程相對復雜，需要采用數值解法（如BFGS 準牛頓法）來完成，由此得到GBS 分布的3 個參數的點估計，數值結果將在下一節(jié)的實例分析中展示.

4 實例論證

本數據最早來源于Proschan[7]在1963 年發(fā)表的成果中，后來Cordeiro[8]在2011 年分析過該數據，研究的對象是由13 架波音720 飛機組成的機隊中每架飛機的空調系統連續(xù)故障數組成的數據集，如表1 所示.利用該數據集分別估計出BS 分布的兩個參數,以及GBS 分布的三個參數的估計值以及兩個分布的AIC 值和BIC 值（見表2）.

表1 空調系統連續(xù)故障次數

表2 不同分布的數據分析

其中k表示參數個數，n表示樣本容量，ln(L)表示對數似然函數.

由表2 數據可以看出，GBS 分布相較于BS 分布AIC 值更小，因此可以認為在權衡估計模型復雜度和擬合數據優(yōu)良性的情況下，GBS 分布更加優(yōu)良.BAC 值與AIC 值作用相似，但相比AIC值增加考慮了樣本容量的影響，此時GBS 分布在這組數據下相較于BS 分布仍然具有較小的BAC值，這驗證了GBS 分布在這個實例應用中具有更加優(yōu)良的擬合性能.

圖7 展示了GBS 分布以及BS 分布的概率密度函數（PDF）的函數圖與頻率分布直方圖，圖8 展示了GBS 分布以及BS 分布的累積分布函數（CDF）圖與經驗分布函數圖.

圖7 密度函數對比圖

圖8 分布函數對比圖

從圖7 可以看出，GBS 分布的概率密度函數圖像基本穿過直方塊的中點處，整體趨勢也更加符合實際數據的分布情況，因此可以判斷為GBS 分布相對于BS 分布具有更優(yōu)良的擬合性質.

從圖8 可以看出，GBS 分布的圖像與真實數據的分布更為接近，擬合效果明顯優(yōu)于BS 分布，結合AIC 值和BAC，值的比較可以認為GBS 分布在這個實例應用中擁有更優(yōu)良的擬合效果.

5 結 論

本文主要研究了GBS 分布及其統計性質，通過拓展BS 分布的核分布，引出了GBS 分布的定義，給出了GBS 分布的概率密度函數和失效率函數，并研究了其圖像變化的基本特征.關于GBS 分布的統計性質，本文根據第三類修正的貝塞爾函數及其性質推導出了GBS 分布的原點矩和中心矩的表達式.利用極大似然估計法求出GBS 分布的參數點估計.最后本文通過一個實例應用，展示了GBS 分布相較于BS 分布擬合效果的優(yōu)越性，充分說明GBS 分布在某些特定領域相較于BS 分布更加貼近實際數據的狀態(tài)，具有廣闊的研究前景和良好的實用價值.