紡織裝備行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)修形研究

莫 帥， 劉志鵬， 羅炳睿， 岑國建， 徐家科， 高瀚君

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387； 2. 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387； 3. 寧波中大力德智能傳動(dòng)股份有限公司， 浙江 寧波 315301； 4. 北京航空航天大學(xué) 虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191)

現(xiàn)代紡織裝備中的大量傳動(dòng)機(jī)構(gòu)都采用齒輪傳動(dòng)，而行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)作為一種體積小、傳動(dòng)范圍大、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于各類紡織裝備、航空航天、汽車船舶、精密機(jī)器人等工業(yè)領(lǐng)域。紡織機(jī)器人在紡織行業(yè)得到了大量應(yīng)用，其機(jī)器人關(guān)節(jié)采用了各類齒輪減速器，行星減速器作為比較成熟的減速器被廣泛應(yīng)用。在行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)用過程中由于制造、裝配等誤差會(huì)造成行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在傳動(dòng)中精度降低，產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲等缺陷，影響傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度[1]。在齒輪參數(shù)和制造裝配精度相同的情況下，齒輪修形是一種有效提升齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的方法[2]。齒輪修形包括齒廓修形、齒向修形和綜合修形，選擇合理的修形參數(shù)和修形方法可以有效提升行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)質(zhì)量[3]。

國內(nèi)外學(xué)者對齒輪修形開展了大量研究。魏靜等[4-5]提出了齒廓修形嚙合剛度計(jì)算模型，建立齒輪修形的剛度與誤差非線性模型，分析了不同修形參數(shù)對嚙合剛度的影響。陳洪月等[6]建立了一種齒廓修形前后的傳遞誤差數(shù)學(xué)模型，采用多種方法分析了修形參數(shù)對傳遞誤差的影響。唐進(jìn)元等[7]用有限元方法推導(dǎo)出修形齒輪嚙合剛度計(jì)算方法,利用數(shù)值方法闡述了修形量與嚙合剛度的定量關(guān)系。Ni等[8]提出斜齒輪拋物線修形方法，分析了斜齒輪拋物線修形特性。金亭亭等[9]建立斜齒輪接觸分析模型，分析了齒輪接觸區(qū)的應(yīng)力分布。張俊等[10]建立行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型，以齒輪傳遞誤差波動(dòng)量為評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行修形研究，提出的修形方法有效改善齒面受載狀況，降低了齒輪副的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差波動(dòng)量。

目前的修形研究大都只考慮齒廓和齒向的單一修形方案下的某一參數(shù)變化，對考慮多種修形的綜合方案較少。本文研究某紡織裝備行星減速器中第二級(jí)行星輪系在齒廓加齒向的綜合修形方案下對傳動(dòng)誤差、齒面法向力、嚙合剛度等特性的影響，來改善行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度和嚙合質(zhì)量，降低傳動(dòng)誤差和噪聲，對提升紡織裝備的傳動(dòng)精度具有一定意義。

1 齒輪修形原理

1.1 齒廓修形原理

齒廓修形在齒頂和齒根處對齒輪漸開線合理修正，去除部分材料，以減小齒輪嚙入、嚙出沖擊，提高齒輪傳動(dòng)精度，降低振動(dòng)噪聲，如圖1所示。

注：圖中曲線是修形曲線，Caa為齒頂最大修形量；Caf為齒根最大修形量；dCa為齒頂修形起始點(diǎn)，dNa為終止點(diǎn)；dCf為齒根修形起始點(diǎn)，dNf為終止點(diǎn)；Lca為齒頂修形長度，Lcf為齒根修形長度。圖1 齒廓修形示意圖Fig.1 Tooth profile modification diagram

修形曲線、修形長度和修形量為齒廓修形參數(shù)。其中最大修形量是齒廓修形過程中主要考慮的參數(shù)，直接影響修形效果。

標(biāo)準(zhǔn)的齒廓最大修形量為

(1)

式中：KA為工況系數(shù)；Ft為圓周力,N；b為齒寬,mm；εα為端面重合度；kγ為綜合剛度,N/m。

修形曲線計(jì)算公式如下：

(2)

式中:Lcx為修形曲線上任一點(diǎn)到修形起始點(diǎn)的距離，mm；Lc為修形長度，mm；當(dāng)s=1時(shí)為直線修形,s=1.5時(shí)為指數(shù)曲線修形，s=2時(shí)為拋物線修形。

修形長度采用長齒廓修形：

Lc=Pb(εα-1)

(3)

式中：Pb為基圓節(jié)距,mm；εα為端面重合度。

1.2 齒向修形原理

圖2示出齒向修形示意圖?？芍X向修形是在齒寬方向?qū)X輪表面鼓形修整、齒端修薄，以改善齒輪表面載荷分布，提升齒輪承載能力、降低偏載現(xiàn)象。

齒向修形量Cβx為

(4)

(5)

式中：r為修形圓弧半徑,mm；Cβ為最大修形量,μm；x為修形起始點(diǎn)到齒寬的距離,mm。

圖2 齒向修形示意圖Fig.2 Tooth modification diagram

2 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)修形評價(jià)指標(biāo)

2.1 靜態(tài)傳動(dòng)誤差

理想齒輪齒面完全共軛，而實(shí)際傳動(dòng)中由于齒輪受載變形、制造和安裝誤差造成實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角產(chǎn)生偏差而引起傳動(dòng)誤差(TTE)[11]。傳動(dòng)誤差很大程度上影響齒輪傳動(dòng)精度，是齒輪產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的根本所在，因此可通過齒面微觀修形來改善齒輪傳動(dòng)狀況、降低傳動(dòng)誤差波動(dòng)、減小振動(dòng)和噪聲。

單對齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角誤差表示的傳動(dòng)誤差為

(6)

式中：θ1為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角，rad；θ2為從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角，rad；z1為主動(dòng)輪齒數(shù)；z2為從動(dòng)輪齒數(shù)。

齒輪嚙合線上的位移表示的傳動(dòng)誤差為

(7)

式中，rb2為從動(dòng)輪基圓半徑,mm。

齒輪修形會(huì)引起無負(fù)載傳動(dòng)誤差(TNLTE) ：

(8)

式中：rb1為主動(dòng)輪基圓半徑，mm;ω1和ω2分別為主從動(dòng)輪不受外載荷時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,rad/s。

齒輪修形后受載時(shí)傳動(dòng)誤差[8]為

TLTE=rb1θ1-rb2θ2-TNLTE

(9)

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差可表示為輸出軸的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角與其理論轉(zhuǎn)動(dòng)角之差：

(10)

式中：θ0為輸出軸實(shí)際轉(zhuǎn)角,rad；φI為輸入軸轉(zhuǎn)角,rad。

2.2 齒面法向力

齒輪的齒面法向力可以直接反映齒面受載情況，一般齒輪在傳動(dòng)過程中由于嚙入、嚙出沖擊和載荷變化會(huì)使齒面磨損、產(chǎn)生偏載現(xiàn)象,因此進(jìn)行齒面修形降低嚙入和嚙出沖擊、改善齒面偏載現(xiàn)象、提升齒輪使用壽命顯得尤為必要。

斜齒輪的法向力Fn垂直作用于齒面上,齒面法向力Fn計(jì)算如下：

(11)

式中：Ft為齒輪圓周力,N；αn為壓力角,(°)；β為螺旋角,(°)。

Ft計(jì)算如下：

(12)

式中：T為齒輪輸入力矩,N·m；d為節(jié)圓直徑,mm。

2.3 齒輪嚙合剛度

齒輪嚙合剛度是衡量齒輪修形的重要指標(biāo)，是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)[12]。通過齒面微觀修形可使嚙合剛度不同程度地降低、其波動(dòng)變得更加平穩(wěn)，對齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的減振降噪具有重要意義。

齒輪單位齒寬上的法向力與變形量的比值稱為齒輪嚙合剛度，嚙合剛度計(jì)算如下：

(13)

式中：Fn為齒面法向力，N；b為齒寬,mm；δ為齒輪變形量,mm。

齒輪變形量用齒輪轉(zhuǎn)角Δθ表示如下：

δ=Δθrb

(14)

式中：rb為基圓半徑,mm。

對齒輪仿真處理提取齒輪轉(zhuǎn)角Δθ，將斜齒輪做切片處理，計(jì)算單片齒輪的嚙合剛度，求和得到全齒嚙合剛度。利用單片齒輪的壓力角大小判別齒輪是否進(jìn)入嚙合，第i片嚙合齒輪的壓力角為

αmin≤αi≤αmax

(15)

式中：αmin為最小壓力角，(°)；αmax為最大壓力角，(°)。

第1薄片齒輪的轉(zhuǎn)角為φ0，以其為基準(zhǔn)，第i片齒輪的轉(zhuǎn)角為

(16)

式中：li為齒面到中心線的距離,mm；β為齒輪螺旋角，(°)；r1為齒輪分度圓半徑,mm；z為齒輪輪齒編號(hào)。

第i片齒輪壓力角αi計(jì)算如下：

αi=arctan(αmin+inv(αmin)+φ0)

(17)

齒輪總時(shí)變嚙合剛度計(jì)算如下：

(18)

式中,N為齒輪切片數(shù)。

(19)

3 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)修形

3.1 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型

本文以某型號(hào)精密行星減速器的第二級(jí)行星齒輪為研究對象，輸入扭矩100 N·m，其他設(shè)計(jì)參數(shù)見表1。其數(shù)字化樣機(jī)如圖3所示。

表1 第2級(jí)行星齒輪參數(shù)Tab.1 Parameters of the second stage planetary gear

圖3 精密行星減速器Fig.3 Precision planetary reducer

3.2 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)修形方法

由于行星輪系中行星輪同時(shí)與太陽輪和內(nèi)齒圈嚙合，本文只對行星輪進(jìn)行修形研究，采用齒頂、齒根圓弧修形和齒向鼓形綜合修形方法。

3.2.1 齒廓修形

均方差可以反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，選擇不同的修形曲線，計(jì)算傳動(dòng)誤差均方差用以反映不同修形方式時(shí)的傳動(dòng)誤差波動(dòng)量，從而選取一種最佳的修形曲線。傳動(dòng)誤差均方差計(jì)算如下：

(20)

式中：TTEi為嚙合周期內(nèi)任意時(shí)刻的傳動(dòng)誤差；TTEm為平均傳動(dòng)誤差。

選取1.1節(jié)所述的不同修形曲線，保持修形量和修形長度不變研究不同修形曲線對傳動(dòng)誤差的影響,結(jié)果如圖4所示。直線修形相比修形前傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值明顯降低，而其他2種修形方式傳動(dòng)誤差波動(dòng)反而更大，因此本文選擇直線修形方式。

圖4 不同修形曲線時(shí)傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)誤差均方差Fig.4 Transmission error (a) and mean square error of transmission error (b) under different modification curves

先不考慮其他修形方式，僅進(jìn)行齒廓修形，齒頂修形量和齒根修形量Ca分別取0、5、8、10、14、18 μm，得到第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)誤差、齒輪法向力、嚙合剛度的變化規(guī)律。

圖5(a)和(b)分別示出齒頂修形量和齒根修形量Ca取上述不同修形量時(shí)太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈的傳動(dòng)誤差。由圖可見，隨著修形量的增大，太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈的傳動(dòng)誤差峰峰值波動(dòng)降低，當(dāng)修形量為14 μm時(shí)，傳動(dòng)誤差峰峰值波動(dòng)最小。

圖5 不同齒廓修形量的傳動(dòng)誤差和法向力Fig.5 Transmission error and normal force of different tooth profile modification. (a) Sun gear-planetary gear transmission error; (b) Planetary gear-ring gear transmission error; (c) Transmission error of the secondary planetary gear train; (d) Mean square error of planetary gear train transmission error; (e) Sun gear-planetary gear normal force; (f) Planetary gear-inner gear ring normal force

Ca取不同值的第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)誤差和傳動(dòng)誤差均方差如圖5(c)和(d)所示，未修形時(shí)行星輪系的傳動(dòng)誤差峰峰值較高，波動(dòng)較大，當(dāng)Ca小于14 μm時(shí)，傳動(dòng)誤差峰值波動(dòng)隨著修形量的增加逐漸降低，波動(dòng)趨于平穩(wěn)，當(dāng)Ca為14 μm時(shí)，傳動(dòng)誤差均方差達(dá)到最小，即傳動(dòng)誤差波動(dòng)最小，當(dāng)Ca繼續(xù)增大時(shí)，傳動(dòng)誤差峰峰值波動(dòng)開始增大，與未修形的傳動(dòng)誤差均方差減小約77.97%。

圖5(e)和(f)分別示出太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈的法向力。由圖可見，未修形時(shí)太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈嚙入、嚙出有較大沖擊，此時(shí)的法向力較大，傳動(dòng)不平穩(wěn)，隨著修形量的增加法向力變化趨于平緩，當(dāng)Ca為14 μm時(shí)法向力緩慢增大，太陽輪與行星輪法向力在180 N/mm附近波動(dòng)，行星輪與內(nèi)齒圈法向力在150 N/mm附近波動(dòng)，齒輪嚙出時(shí)逐漸降低，整個(gè)傳動(dòng)過程較修形前法向力有所降低，在嚙入、嚙出時(shí)變化較平緩，對齒輪的沖擊降低。

圖6、7分別示出齒頂修形量和齒根修形量Ca分別為0，5，8，10，14，18 μm時(shí)的嚙合剛度。由圖可見，Ca增大時(shí)，嚙合剛度降低。綜合考慮傳動(dòng)誤差和齒輪法向力，選取最佳齒頂修形量和齒根修形量Ca為14 μm。

圖6 太陽輪-行星輪嚙合剛度Fig.6 Sun gear-planetary gear meshing stiffness

圖7 行星輪-內(nèi)齒圈嚙合剛度Fig.7 Planetary gear-ring gear meshing stiffness

3.2.2 齒向修形

在無齒廓修形情況下，齒向鼓形量Cβ分別取0,2,5,8,10,12 μm，由于得到的各修形量下的嚙合剛度曲線完全重合，即齒向鼓形對行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各齒輪剛度影響不大，所以給出了太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈和第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)誤差、齒面法向力的變化規(guī)律。

圖8(a)、(b)、(c)和(d)分別示出Cβ取上述修形量時(shí)的傳動(dòng)誤差曲線圖和傳動(dòng)誤差均方差。由圖可見，修形前傳動(dòng)誤差峰峰值波動(dòng)較大，Cβ從2 μm增加到10 μm時(shí)的傳動(dòng)誤差均方差逐漸減小，當(dāng)Cβ=10 μm時(shí)達(dá)到最小，波動(dòng)量最小，此后開始增大，與未修形相比傳動(dòng)誤差均方差減小了約65.12%。

圖8(e)和(f)分別示出Cβ分別為0,2,5,8,10,12 μm時(shí)的法向力曲線。由圖可見Cβ增大，齒輪法向力隨即增大，參考傳動(dòng)誤差，Cβ取10 μm時(shí)的法向力波動(dòng)量較小，第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)較穩(wěn)定。故最佳Cβ為10 μm。

圖8 不同齒向修形量的傳動(dòng)誤差和法向力Fig.8 Transmission error and normal force of different tooth modification amount. (a) Sun gear-planetary gear transmission error; (b) Planetary gear-ring gear transmission error; (c) Transmission error of the secondary planetary gear train; (d) Mean square error of planetary gear train transmission error; (e) Sun gear-planetary gear normal force; (f) Planetary gear-inner gear ring normal force

3.2.3 齒廓與齒向綜合修形

Ca取14 μm，保持齒廓修形長度和修形量不變，取不同齒向鼓形量Cβ，由3.2.2節(jié)內(nèi)容可知，齒向鼓形對行星輪系各齒輪剛度影響不大，得到太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈和第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)誤差、齒面法向力變化規(guī)律。

圖9(a)、(b)、(c)和(d)示出Cβ分別為0、2、5、8、10、12 μm時(shí)的系傳動(dòng)誤差均方差。由圖可見，太陽輪-行星輪、行星輪-內(nèi)齒圈的傳動(dòng)誤差峰峰值在Cβ增大時(shí)逐漸減小，第二級(jí)行星輪系的傳動(dòng)誤差均方差逐漸減小，當(dāng)Cβ為10 μm時(shí)達(dá)到最小，即傳動(dòng)誤差波動(dòng)最小，與修形前的傳動(dòng)誤差均方差相比減小了約79.78%，此后開始增大。

由圖9(e)和(f)可見Cβ增大，齒輪法向力隨即增大，鼓形量Cβ為10 μm時(shí)的法向力波動(dòng)量較小，第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)較穩(wěn)定。

圖9 綜合修形不同修形量的傳動(dòng)誤差和法向力Fig.9 Transmission error and normal force of comprehensive modification with different modification amount. (a) Sun gear-planetary gear transmission error; (b) Planetary gear-ring gear transmission error; (c) Transmission error of the secondary pla-netary gear train; (d) Mean square error of planetary gear train transmission error; (e) Sun gear-planetary gear normal force; (f) Planetary gear-inner gear ring normal force

綜上所述，得到行星輪的齒面載荷分布如圖10所示，修形前齒面存在邊緣接觸，齒面載荷分布不規(guī)則，修形后的齒面載荷呈橢圓形均勻分布。由此，精密行星減速器第二級(jí)行星輪系的最佳齒頂修形量和齒根修形量為14 μm，最佳齒向鼓形量為10 μm。

圖10 行星輪接觸區(qū)Fig.10 Contact area of planetary gear

4 結(jié) 論

1)本文以紡織裝備用行星減速器第二級(jí)行星輪系傳動(dòng)誤差、齒輪法向力、齒輪嚙合剛度為修形評價(jià)指標(biāo)，進(jìn)行了齒廓和齒向鼓形修形研究，綜合對比不同修形量下的各參數(shù)變化，得出行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)最佳修形量。

2)在輸入載荷不變的情況下，通過改變行星輪的修形量改善傳動(dòng)嚙合質(zhì)量，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)齒頂、齒根修形量為14 μm，齒向鼓形量為10 μm時(shí)，齒輪法向力有所降低、變化平穩(wěn)，降低了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的噪音。

3)通過對齒廓修形和齒向鼓形修形的綜合研究，得出行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差峰峰值由修形前的0.68 μm降為修形后的0.25 μm，降低了約63%，使行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)趨于平穩(wěn)，為精密行星減速器的減振降噪分析提供參考依據(jù)。

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