依托數(shù)形結(jié)合 助推圖形測(cè)量

[摘? 要] “圖形的測(cè)量”是積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間思維的主要載體。在“圖形的測(cè)量”板塊教學(xué)時(shí)，通過(guò)結(jié)合實(shí)例、動(dòng)手操作、溝通聯(lián)系，以形助數(shù)讓圖形度量更直觀;通過(guò)對(duì)比、梳理、反思，以數(shù)釋形讓圖形計(jì)算走向深刻;通過(guò)以形表思、以數(shù)輔形、數(shù)形互通，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題直觀化，使知識(shí)的學(xué)習(xí)更加深刻明了。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;圖形度量;圖形計(jì)算;問(wèn)題解決

數(shù)形結(jié)合思想是新課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。“圖形的測(cè)量”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念的主要載體。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”在“圖形的測(cè)量”的教學(xué)過(guò)程中，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容（圖1），能貫通學(xué)生心中數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還能引導(dǎo)學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)空間思維，提高問(wèn)題解決能力。

一、以形助數(shù)，助推圖形度量板塊

加強(qiáng)對(duì)度量單位實(shí)際意義的理解，對(duì)“圖形的測(cè)量”板塊的教學(xué)起到?jīng)Q定性的作用。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生明白為什么要統(tǒng)一度量單位，經(jīng)歷度量單位產(chǎn)生的過(guò)程，以及度量單位間的區(qū)別與聯(lián)系。要想準(zhǔn)確區(qū)分這些度量單位并正確運(yùn)用，教師應(yīng)嘗試以形助數(shù)，讓“度量單位”變直觀，構(gòu)建完整的度量單位的知識(shí)網(wǎng)，以便知識(shí)的靈活應(yīng)用（圖2）。

（一）結(jié)合實(shí)例，在直觀中感知度量

度量板塊教學(xué)時(shí)，教師要著眼于度量表象的建立。讓學(xué)生親密接觸度量的對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行觀察、比較等感知活動(dòng)，給學(xué)生豐富感知的機(jī)會(huì)。

例如“面積的認(rèn)識(shí)”，身邊哪些物體有面？讓每個(gè)學(xué)生都找一找，會(huì)發(fā)現(xiàn)面無(wú)處不在，桌子、凳子、練習(xí)本、文具盒等，這些物體都有面，面是長(zhǎng)在物體上的，這些物體如果畫下來(lái)就是一個(gè)平面圖形。再看一看、摸一摸這些面，會(huì)知道面是看得見、觸摸得到的。再比一比，會(huì)發(fā)現(xiàn)這些面有大有小，面的大小就是它們的面積。如此，學(xué)生對(duì)面的大小有了直觀的感知。

“面積”的學(xué)習(xí)，標(biāo)志著學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域從一維空間延伸到二維區(qū)域，這是學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)一個(gè)質(zhì)的飛躍。通過(guò)摸一摸，直觀感知面是立體圖形的一部分，有曲面和平面之分;再通過(guò)比一比，認(rèn)識(shí)到面是有大小的。結(jié)合具體實(shí)例，理解面積的含義，對(duì)面積的進(jìn)一步學(xué)習(xí)有很好的促進(jìn)作用。

（二）動(dòng)手操作，在實(shí)踐中體驗(yàn)度量

度量知識(shí)的即時(shí)掌握并不重要，重要的是在獲取知識(shí)的過(guò)程中學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。度量知識(shí)的真正掌握需要教師給學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方式進(jìn)行測(cè)量、感受、理解的過(guò)程。讓學(xué)生在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中掌握。在反復(fù)操作中體驗(yàn)度量單位，加深對(duì)度量單位的理解，建立度量單位的概念，讓度量知識(shí)真正內(nèi)化。

例如“面積單位的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，讓學(xué)生找一找，找身邊的1平方厘米、1平方分米、1平方米的平面;比一比，用學(xué)具驗(yàn)證自己對(duì)這些面大小的估計(jì)是否準(zhǔn)確;量一量，用1平方厘米的小正方形度量橡皮的一個(gè)面;鋪一鋪，用1平方厘米的小正方形來(lái)密鋪1平方分米的正方形;站一站，在1平方米大小的正方形紙上站一站，看看能站幾個(gè)小朋友。再如容積單位“毫升的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，可以這樣安排：讓學(xué)生猜一猜，1毫升的水大概有多少;量一量，用量筒量出1毫升水;數(shù)一數(shù)，1毫升水有幾滴;玩一玩，把1毫升水倒在手心來(lái)感受;比一比，在杯子中倒入10毫升水，與1毫升水比一比。

長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位等這些度量單位都是比較抽象的概念，所以教師在教學(xué)時(shí)更要提供多種實(shí)踐的機(jī)會(huì)，設(shè)置豐富的體驗(yàn)活動(dòng)。在動(dòng)手操作的過(guò)程中，深度體驗(yàn)度量，讓學(xué)生在多維的體驗(yàn)活動(dòng)中建立度量單位的表象，形成對(duì)度量單位的建模。

（三）加強(qiáng)聯(lián)系，在溝通中頓悟度量

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要從知識(shí)間的聯(lián)系去思考問(wèn)題，度量的學(xué)習(xí)更不能孤立地進(jìn)行。不同度量單位間的進(jìn)率有差異，而且它們的教學(xué)零散地分布在不同的年級(jí)，所以學(xué)生對(duì)度量單位的掌握也是碎片化的，這樣的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生造成很大困擾。因此，教師要從整體上進(jìn)行溝通聯(lián)系，構(gòu)建度量單位的知識(shí)網(wǎng)，讓知識(shí)變得更直觀、更有序。

例如在理解體積單位之后，可以進(jìn)行長(zhǎng)度、面積、體積單位之間的溝通整理教學(xué)，讓學(xué)生用手分別比畫出1厘米、1平方厘米、1立方厘米的大小。在比畫的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生去感受：三者所表示的形狀不同，意義也不同，1厘米是一條線，只需從一個(gè)方向進(jìn)行比畫;1平方厘米是一個(gè)面，要比畫長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向;而1立方厘米是一個(gè)體，要比畫長(zhǎng)寬高三個(gè)方向。然后復(fù)習(xí)長(zhǎng)度單位間、面積單位間、體積單位間的進(jìn)率，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)面積單位間的進(jìn)率就等于相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位間進(jìn)率的平方，兩個(gè)體積單位的進(jìn)率就等于相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位間進(jìn)率的立方。

數(shù)學(xué)知識(shí)是層層深入、不斷推進(jìn)的過(guò)程，度量教學(xué)借助形來(lái)描述度量單位，找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。從一維到二維再到三維，讓度量由線及面，面動(dòng)成體，由體成系，在溝通中理解度量，掌握各度量單位之間的進(jìn)率，能獲得理想的教學(xué)效果。

二、以數(shù)釋形，助推圖形計(jì)算板塊

圖形具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)，所以不管是立體圖形的表面積和體積的計(jì)算，還是平面圖形的周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)，在初學(xué)時(shí)都會(huì)給學(xué)生一種假象，讓他們覺得這些知識(shí)很簡(jiǎn)單，易學(xué)，但等到知識(shí)一綜合，就會(huì)發(fā)現(xiàn)情況不妙了，周長(zhǎng)與面積混淆了，表面積跟體積的內(nèi)容又沒那么清晰了。光靠直觀的表象不能很好地解釋圖形里面蘊(yùn)藏的本質(zhì)，很難讓知識(shí)深刻。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察各圖形的特點(diǎn)，溝通圖形之間的聯(lián)系，發(fā)掘里面的隱含信息，從“形”中抽象出“數(shù)”，以數(shù)釋形，讓直觀走向深刻（圖3）。這樣才能真正理解圖形計(jì)算，明白圖形計(jì)算的本質(zhì)，讓圖形的計(jì)算落地生根。

（一）在對(duì)比中明理，讓算理更清晰

在圖形計(jì)算的教學(xué)中，不能讓學(xué)生直接進(jìn)行計(jì)算公式的死記硬背。知識(shí)的混淆，究其原因，都是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)、方法的本質(zhì)理解不清晰、不深刻。應(yīng)加強(qiáng)對(duì)比教學(xué)，凸顯其本質(zhì)特征。平面圖形之間、立體圖形之間都不是孤立存在的，這些知識(shí)相互關(guān)聯(lián)，有聯(lián)系又有區(qū)別。需要教師創(chuàng)設(shè)條件，組織學(xué)生在觀察中找到聯(lián)系，在不斷地對(duì)比中，總結(jié)方法，構(gòu)建知識(shí)框架，梳理出知識(shí)脈絡(luò)。

“平行四邊形的面積”的教學(xué)，都是把“新知”平行四邊形轉(zhuǎn)化成“舊知”長(zhǎng)方形（如圖4），左邊圖形是把平行四邊形“推拉”成長(zhǎng)方形，右邊圖形是把平行四邊形“割補(bǔ)”成長(zhǎng)方形，為什么一個(gè)不可以計(jì)算出平行四邊形的面積，一個(gè)卻可以？“推拉”“割補(bǔ)”后的圖形與原來(lái)的比較，什么沒變，什么變了？“推拉”之后，周長(zhǎng)不變，面積變了，所以平行四邊形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（鄰邊+底）×2;“割補(bǔ)”之后，面積不變，周長(zhǎng)變了，所以平行四邊形的面積=長(zhǎng)方形的面積=底×高。

平面圖形、立體圖形相互之間都是有著內(nèi)在聯(lián)系的，所以需要找到其中的連接點(diǎn)，不斷地對(duì)比學(xué)習(xí)。包括新知與舊知的對(duì)比學(xué)習(xí)，易錯(cuò)點(diǎn)的對(duì)比學(xué)習(xí)，在對(duì)比學(xué)習(xí)中清晰概念，理解計(jì)算。

（二）在梳理中構(gòu)建，讓方法聯(lián)成網(wǎng)

圖形計(jì)算的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)分散在各個(gè)年級(jí)、各章節(jié)的教材中。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的特征進(jìn)行觀察探究，讓學(xué)生感受圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，并經(jīng)歷推導(dǎo)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形計(jì)算方法形成深刻體驗(yàn)，在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算方法的梳理、歸納、總結(jié)。還要貫通知識(shí)的前后聯(lián)系，注重知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)系，溝通它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在形的學(xué)習(xí)中抽象出數(shù)的規(guī)律，以數(shù)釋形。

從學(xué)生獨(dú)立整理的作品反饋中（圖5為其中之一），可以看出學(xué)生能對(duì)這些在不同時(shí)間段學(xué)習(xí)的平面圖形知識(shí)有序梳理，并進(jìn)行溝通、聯(lián)系。由此可見平面圖形、立體圖形的學(xué)習(xí)，都需要通過(guò)一條主線將各知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)，使之“豎成線”“橫成片”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，構(gòu)成完整的知識(shí)體系。

（三）在反思中內(nèi)化，讓能力得升華

波利亞曾說(shuō)：?jiǎn)栴}的解決只是數(shù)學(xué)研究工作的一半，更重要的是解題后的反思與回顧。任何知識(shí)都需要一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程，通過(guò)反思，能夠更深層次地理解知識(shí)，在不斷地反思中對(duì)圖形重新認(rèn)識(shí)和理解，從而探尋出圖形計(jì)算的本質(zhì)。

例如梯形面積的計(jì)算的教學(xué)，有了三角形面積計(jì)算的基礎(chǔ)，可讓學(xué)生將兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)大平行四邊形，再把大平行四邊形的面積除以2就是其中一個(gè)梯形的面積，所以梯形的面積=大平行四邊形的面積÷2=（上底+下底）×高÷2。公式的得到可以說(shuō)是水到渠成，可在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生忘記除以2，所以在得出結(jié)論后，教師還要追問(wèn)，以引發(fā)學(xué)生反思：“為什么要除以2？”“（上底+下底）×高計(jì)算的是什么？”“先算出上底加下底的和又是為什么？”在不斷追問(wèn)中，回顧和思考剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓梯形面積的計(jì)算方法在反思中鞏固。有了這樣的討論和理解，后面當(dāng)已知梯形的面積，計(jì)算梯形的高或上下底時(shí)，都要用梯形的面積先乘2，學(xué)生也能很快反應(yīng)出“梯形面積乘2”這是算大平行四邊形的面積，再用這個(gè)面積除以底等于高，除以高等于底。有了這樣的經(jīng)驗(yàn)六年級(jí)學(xué)習(xí)圓錐的體積、計(jì)算圓錐的高，也就有基本的思維模式了。

任何學(xué)習(xí)都需要不斷回顧與反思，圖形的學(xué)習(xí)更甚，反思有助于圖形與算式的溝通，對(duì)圖形的理解更加深刻。反思更是為后面的學(xué)習(xí)提供更多的思維方式，有了這樣的思考習(xí)慣，圖形的學(xué)習(xí)會(huì)變得更加深刻。

三、數(shù)形互譯，助推解決問(wèn)題板塊

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想方法，通過(guò)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，把數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)形結(jié)合能使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀。數(shù)形互譯能使“圖形的測(cè)量”板塊的教學(xué)問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單有趣，從而吸引學(xué)生主動(dòng)參與解決問(wèn)題的過(guò)程。

（一）以形表思，讓抽象問(wèn)題直觀化

笛卡爾曾說(shuō)：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來(lái)表達(dá)事物是非常有益的?！睂?duì)于純文字的題目，借用圖形將關(guān)鍵信息表達(dá)出來(lái)，有助于更加有效地思考問(wèn)題、分析問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的方法。

例如：一個(gè)圓柱的高是10厘米，如果高減少3厘米，那么表面積比原來(lái)減少94.2平方厘米。原來(lái)圓柱的表面積是多少平方厘米？教師講解時(shí)通過(guò)畫圖（圖6），學(xué)生很容易明白：94.2平方厘米就是減少部分的側(cè)面積。所以底面周長(zhǎng)為94.2÷3=31.4（厘米），底面半徑為31.4÷3.14÷2=5（厘米），表面積為31.4×10+3.14×5×5×2=471（平方厘米）。再如推導(dǎo)圓柱體積公式時(shí)，教師把圓柱切拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，切拼前和切拼后，體積不變。那表面積呢？增加了，增加了多少？通過(guò)圖形的幫助（圖7），學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)增加的部分是兩個(gè)底面半徑乘高，也就是2rh。這樣把文字信息轉(zhuǎn)化成圖形的形式，可以讓思考有了拐杖，有了具體的表象，以形表思，讓解題思路一目了然，讓抽象問(wèn)題直觀化。

（二）以數(shù)輔形，讓幾何問(wèn)題代數(shù)化

圖形的知識(shí)可以通過(guò)數(shù)和計(jì)算幫助理解，還可以由算式探究圖形蘊(yùn)含的規(guī)律，增進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的理解。在教學(xué)中，通過(guò)觀察、找規(guī)律、歸納等方法，可以尋找出解決問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式，使幾何問(wèn)題代數(shù)化。以數(shù)輔形，用代數(shù)的方法使問(wèn)題能更順利地得到解決。

例如計(jì)算多邊形的內(nèi)角和，可從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線把多邊形分成若干個(gè)三角形，分成了幾個(gè)三角形，就是幾個(gè)180°，由此可以求出多邊形的內(nèi)角和。再通過(guò)畫圖，找到其中的規(guī)律，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)跟邊數(shù)之間是有關(guān)系的，多邊形內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°，為問(wèn)題的解答找到了更簡(jiǎn)便的方法。如圖8，已知正方形OABC的面積是10平方厘米，求圓的面積。按常規(guī)思路，求圓的面積，我們需要知道圓的半徑?？墒莾H從小學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備，不能算出半徑的長(zhǎng)度。但已知正方形的面積是10平方厘米，從圖可以看出正方形的邊OA、OC都是圓的半徑，所以半徑的平方就等于10平方厘米。圓的面積等于半徑的平方乘圓周率，也就不需要算半徑是多少，圓的面積就等于10×3.14=31.4平方厘米。

可見根據(jù)已知的圖形信息和圖形本身的特點(diǎn)，尋找其中的關(guān)聯(lián)，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，讓問(wèn)題解決更加快捷、準(zhǔn)確。

（三）數(shù)形互通，讓方法技能靈動(dòng)化

數(shù)形結(jié)合能使隱藏的數(shù)量關(guān)系變得直觀，能將淺顯的圖形問(wèn)題變得深刻，在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)不斷嘗試，學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

如圖9，密閉容器中的水，若倒過(guò)來(lái)，水面的高度是多少？從圖中，可以知道現(xiàn)在水的高度是23厘米，由等底的圓柱和圓錐組成，其中圓錐的高為18厘米，所以計(jì)算得出圓柱的高為23-18=5（厘米）。若倒過(guò)來(lái)，那么圓柱部分形狀不變，可是圓錐部分將變成一個(gè)跟現(xiàn)在等底的圓柱。因?yàn)榈鹊椎润w積的圓柱與圓錐，它們的高是3倍的關(guān)系，所以新圓柱的高為18÷3=6（厘米），所以水的高度為5+6=11（厘米）。

數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，因此，在問(wèn)題解決教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，并培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合的思想，提升他們解決問(wèn)題的能力。

綜上所述，在“圖形的測(cè)量”板塊教學(xué)時(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)與形之間搭建腳手架，讓數(shù)形結(jié)合成為“圖形的測(cè)量”教學(xué)的助推器。幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解圖形的本質(zhì)，積極探討數(shù)與形之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，讓數(shù)直觀，讓形入微。教師需要不斷提高自身的素養(yǎng)，研究相關(guān)的理論，做教學(xué)的有心人，挖掘數(shù)形結(jié)合點(diǎn)，設(shè)計(jì)科學(xué)有效的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生建立空間思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介：金姻脂（1983—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，溫嶺市名師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。