關(guān)于3級(jí)Fibonacci數(shù)的一些恒等式

楊衍婷

（咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

在文獻(xiàn)[1]中，F(xiàn)ibonacci 數(shù)Fn與Lucas 數(shù)Ln分別定義為

滿足

其中α,β為方程x2-x-1=0 的兩個(gè)不同的根。

Fibonacci 數(shù)Fn和Lucas 數(shù)Ln可分別稱為2 級(jí)Fibonacci數(shù)和2級(jí)Lucas數(shù)。類似地，按照2級(jí)Fibonacci數(shù)與2級(jí)Lucas數(shù)的定義，3級(jí)Fibonacci數(shù)與3級(jí)Lucas數(shù)分別為

滿足

其中α,β,γ為方程x3-x2-x-1=0 的3 個(gè)不同的根。

長(zhǎng)期以來(lái)，關(guān)于Fibonacci 數(shù)的各種性質(zhì)的研究一直是數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中引人關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題，包含F(xiàn)ibonacci數(shù)的恒等式更是國(guó)內(nèi)外眾多專家和學(xué)者的研究熱點(diǎn)。楊海等[2-4]研究了二項(xiàng)式系數(shù)與Fibonacci 數(shù)冪的關(guān)系，得出了有趣的幾個(gè)恒等式；陳國(guó)慧[5]利用初等方法以及指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，給出了一組關(guān)于Fibonacci 數(shù)列及Lucas 數(shù)列的恒等式；Xue 等[6]研究了與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)的廣義Fibonacci與Lucas數(shù)的恒等式；吳振剛[7]研究了包含廣義Fibonacci 數(shù)列倒數(shù)積的恒等式；陳斌[8]研究了廣義Fibonacci 數(shù)的性質(zhì)，給出了關(guān)于廣義Fibonacci 數(shù)的兩個(gè)恒等式。2 級(jí)Fibonacci 數(shù)的研究理論相對(duì)比較成熟，關(guān)于3級(jí)及以上高級(jí)Fibonacci數(shù)的研究較少，但是高級(jí)Fibonacci 數(shù)也是很重要的一類數(shù)論函數(shù)，應(yīng)用也非常廣泛，例如，龐榮波[9]研究了4 級(jí)Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)，并給出4 級(jí)Fibonacci 數(shù)在正整數(shù)分拆中的應(yīng)用。本文利用3 級(jí)Fibonacci 數(shù)的生成函數(shù)，借助幾何級(jí)數(shù)的和函數(shù)，研究包含3 級(jí)Fibonacci 數(shù)的恒等變換，得出了一些有趣的恒等式與同余式。

1 相關(guān)引理

引理1對(duì)于任意的實(shí)數(shù)δ,x,有

其中δx≠1，i=1,2,…。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)i=k時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)i=k+1 時(shí)

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

從而有

所以結(jié)論成立。

引理2對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,ξ,η,有

其中ξx≠1,ηx≠1，m=1,2,…。

證明：當(dāng)m=1 時(shí)，

結(jié)論成立。

設(shè)m=k時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)m=k+1 時(shí)

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。

引理3對(duì)于3級(jí)Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)，有

證明：根據(jù)3 級(jí)Fibonacci 數(shù)與3 級(jí)Lucas 數(shù)的定義與性質(zhì)，有

2 主要結(jié)論

定理1對(duì)于任意的正整數(shù)a,b,n，有恒等變換

證明：基于Δ2=-44，根據(jù)引理1、引理2 和引理3，由幾何級(jí)數(shù)的和函數(shù)

其中

推論1對(duì)于任意的正整數(shù)n，有同余式

證明：由定理1可得。

定理2對(duì)于任意的正整數(shù)a,b,c,n，有恒等變換

證明：由幾何級(jí)數(shù)的和函數(shù)

由引理1 和引理2，將上式每一項(xiàng)展開成冪級(jí)數(shù)，然后對(duì)αn,βn,γn的系數(shù)分別組合合并同類項(xiàng)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將αn,βn,γn的系數(shù)表示成α,β,γ的冪(指數(shù)可以為負(fù))的多項(xiàng)式，基于Δ2=-44，得

由引理3和3級(jí)Fibonacci數(shù)的遞推關(guān)系可得結(jié)論。

推論2對(duì)于任意的正整數(shù)n，有同余式

證明：由定理2可得。

3 結(jié)論

Fibonacci 數(shù)與Lucas 數(shù)長(zhǎng)期以來(lái)是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，在已有研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，本文利用三階線性遞推數(shù)列的基本性質(zhì)，研究包含3 級(jí)Fibonacci 數(shù)的恒等變換，得出了一些有趣的恒等式與同余式，豐富和推廣了2 級(jí)Fibonacci 數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，為高級(jí)Fibonacci數(shù)列的研究提供一定的幫助。