歐拉引入多面體公式的動因探析

劉娜娜，王 昌

（西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，陜西 西安 710127）

拓撲學(xué)被認為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)課程之一，歐拉示性數(shù)作為一個重要的拓撲不變量，與數(shù)學(xué)的許多分支均有廣泛聯(lián)系，陳省身先生曾在國際微分幾何大會上說過：“歐拉示性數(shù)是大量幾何課題的源泉和出發(fā)點?！盵1]他將歐拉示性數(shù)與組合拓撲、橢圓拓撲、總曲率、同調(diào)、層的上同調(diào)和示性類聯(lián)系在一起，其中涉及到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多重要的公式和定理。如高斯-博內(nèi)公式、歐拉-龐加萊示性數(shù)、阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理、霍奇指標(biāo)定理、黎曼-羅赫定理、德拉姆同構(gòu)定理等等，這反映出歐拉示性數(shù)在當(dāng)代數(shù)學(xué)中的重要性。由于歐拉示性數(shù)最初的形式是歐拉多面體公式，因此，對歐拉多面體公式進行深入細致的研究，可以使我們更清楚地理解歐拉示性數(shù)的歷史演變過程。

歐拉多面體公式，可以理解為多面體的拓撲特性，關(guān)于凸多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F不變的關(guān)系：V-E+F=2，是歐拉（Leonhard Euler，1707—1783）在1750 年與哥德巴赫（Christian Goldbach，1690—1764）的通信中提及的。[2]478-480隨后，歐拉寫了兩篇關(guān)于多面體的文章，都發(fā)表于1758 年。第一篇文章寫于1751 年，是有關(guān)多面體公式的陳述。第二篇文章寫于1752年，包含了對多面體公式的證明。[3-4]在發(fā)表了這兩篇文章之后，他再也沒有回到多面體這個話題。

后來的研究發(fā)現(xiàn)，歐拉多面體公式的這種不變性質(zhì)對閉曲面、拓撲空間和高維流形等對象也有拓撲意義，現(xiàn)統(tǒng)稱為歐拉示性數(shù)。19世紀下半葉，拓撲學(xué)逐漸在若爾當(dāng)（Camille Jordan，1838—1921）、黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）、莫比烏斯（August Ferdinand M?bius，1790—1868）、克萊因（Felix Christian Klein，1849—1925）、貝蒂（Enrico Betti，1823—1892）、戴 克（Walther Franz Anton von Dyck，1856—1934）等人的工作中形成。龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854—1912）在他一系列拓撲論文中，[5-11]揭示了代數(shù)拓撲的藍圖，并給出了歐拉多面體公式的第一個真正現(xiàn)代意義的解釋——交錯和，現(xiàn)在被稱為歐拉-龐加萊示性數(shù)，是最基本的拓撲不變量之一。

V-E+F=2，這個看似簡單的公式，卻能夠推廣并應(yīng)用到數(shù)學(xué)的許多不同分支，由此我們可以看到歐拉的工作及其重要影響。關(guān)于歐拉多面體公式的歷史，國內(nèi)外數(shù)學(xué)史家有過相關(guān)論述，主要的關(guān)注點在于對這段歷史的核心人物歐拉和多面體公式的闡述，雖有一些論文介紹歐拉的多面體公式，但都未從原始文獻出發(fā)闡述歐拉引入多面體公式的動機。[12-20]有鑒于此，本文通過分析歐拉有關(guān)多面體的原始文獻，以及笛卡爾（René Descartes，1596—1650）的部分手稿，結(jié)合開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的《世界的和諧》相關(guān)章節(jié)，在“為什么數(shù)學(xué)”的研究范式下，[21]提出并回答這樣的一個問題：歐拉為什么引入多面體公式？

1 對多面體的研究

早在希臘和文藝復(fù)興時期，人們對多面體就有一定的研究。[17-20]畢達哥拉斯（Pythagoras，約前580—前500）、柏拉圖（Plato，前427—前347）、歐幾里得（Euclid，約前330—前275）和阿基米德（Archimedes，前287—前212），他們都曾癡迷于多面體。開普勒用柏拉圖體建立了太陽系的早期模型。

盡管從未明確指出，但畢達哥拉斯等人假設(shè)的多面體都是凸的，即滿足多面體的任何兩點都可以由其內(nèi)部的直線段連接起來。也就是說，不允許多面體有凹痕。對于我們接下來討論的對象，我們假設(shè)：（1）多面體是凸多面體；（2）空心和實心都可以。

關(guān)于多面體，最早的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是柏拉圖體，也就是正多面體，即滿足每個面是正多邊形，所有的面全等且每個頂點有相同數(shù)量的面。希臘人對正多面體的理論最后主要的貢獻要歸功于阿基米德。根據(jù)帕普斯相關(guān)論述（Pappus，290—350），[22]阿基米德提出了半正多面體，現(xiàn)稱為阿基米德體。和柏拉圖體類似，阿基米德體應(yīng)滿足每個面是正多邊形，允許不止一種類型的正多邊形。隨著希臘文明的衰落，數(shù)學(xué)活動中心的轉(zhuǎn)移，直到中世紀的歐洲才重新開始對多面體進行研究。

1596年，開普勒的太陽系模型出現(xiàn)在他的《宇宙的奧秘》中，認為太陽系模型與柏拉圖體的嵌套有關(guān)系。此外，在《世界的和諧》中，開普勒還對正多面體做出了新觀察：

然而，在這些立體中存在著兩組值得注意的不同等級之間的結(jié)合：雄性一方是初級形體中的立方體和十二面體，雌性一方則是次級形體中的八面體和二十面體，除此以外，還要加上一個獨身者或雌雄同體，即四面體，因為它可以內(nèi)接于自身，就像雌性立體可以內(nèi)接于雄性立體，仿佛隸屬于它一樣。雌性立體所具有的象征與雄性象征相反，前者是面，后者是角。此外，正像四面體是雄性的立方體的一部分。宛如其內(nèi)臟和肋骨一樣，從另一種方式來看，雌性的八面體也是四面體的一部分和體內(nèi)成分：因此，四面體是該組結(jié)合的中介。[23]3-4

開普勒對柏拉圖體給出了一個重要的新發(fā)現(xiàn)，即正八面體與正六面體之間存在反對稱關(guān)系（antisymmetric relationship），正二十面體與正十二面體之間存在反對稱關(guān)系，正四面體存在對稱關(guān)系。

如圖1，正八面體與正六面體是反對稱關(guān)系。正六面體的每一個面對應(yīng)于正八面體的每一個頂點，因此，正六面體的面數(shù)等于正八面體的頂點數(shù)。正八面體的每一條棱都可以與正六面體的一條棱相對應(yīng)，因此，這兩個多面體必須具有相同的棱數(shù)。此外，正六面體的每一個頂點對應(yīng)于正八面體的每一個面，因此正六面體的頂點數(shù)等于正八面體的面數(shù)。這樣，我們就可以找到上述的反對稱關(guān)系。類似的，開普勒說明了正二十面體和正十二面體也是反對稱關(guān)系，正四面體是自對稱的。此外，開普勒將這些正多面體賦予性別——正六面體和正十二面體是雄性，正八面體和正二十面體是雌性，而正四面體是雌雄同體的。

圖1 開普勒《世界的和諧》插圖

通過對上述引文的解讀，我們可以看出——開普勒對不同正多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)作了比較和歸類，并應(yīng)用于他的宇宙模型中。無論是古希臘的柏拉圖體和阿基米德體，還是開普勒的多面體宇宙，他們都想進一步了解多面體，觀察多面體的特性，認識其規(guī)律性。

2 笛卡爾的工作

笛卡爾利用初等幾何的觀點對多面體進行研究，他幾乎得到了我們現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的多面體公式V-E+F=2，也有人稱之為“笛卡爾失去的定理”。我們從笛卡爾在多面體的工作中可以看出，初等幾何影響了拓撲學(xué)。下面將從萊布尼的手稿出發(fā)，詳細解讀笛卡爾在多面體的工作，分析其數(shù)學(xué)思想。

2.1 關(guān)于多面體的研究

1860 年，在歐拉提出多面體公式的一個多世紀之后，有證據(jù)表明，笛卡爾在1630年就知道這種多面體的關(guān)系，比歐拉早一百多年。笛卡爾有一部拉丁文著作出現(xiàn)在萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）的一個抄件中，現(xiàn)存于漢諾威（Hanover）的一個圖書館里。[24]

笛卡爾在他的手稿中提供了許多關(guān)于多面體的性質(zhì)，他還可能給出了柏拉圖體不超過5個的第一個代數(shù)證明。與歐拉多面體公式有直接聯(lián)系的是有關(guān)平面角P的表達式：P=2F+2V-4。為了更好地理解笛卡爾的工作，需要兩個概念——平面角和立體角。平面角是在一個平面內(nèi)兩直線相交的傾斜角；立體角是不在同一平面內(nèi)多于兩條線且相交于一點的線構(gòu)成的立體圖形。下面我們將對笛卡爾的手稿進行詳細解讀。

對笛卡爾的平面角公式重要的一個命題是多面體外立體角和，他是這樣描述的：

正如在一個平面圖形中，所有外角加在一起等于4個直角。所以在一個立體中，所有的外角加在一起等于8 個直角。構(gòu)成立體角的所有平面角之和小于構(gòu)成平面的4個直角部分，稱為外立體角。[24]44

笛卡爾用“平面圖形”代表“多邊形”，我們用“立體”代表“多面體”，“一個直角”代表90o。很明顯，笛卡爾是通過與多邊形的類比推理發(fā)現(xiàn)，多邊形外角之和等于4個直角（4△），那么對于多面體來說所有外角加在一起等于8 個直角（8△）。笛卡爾繼續(xù)寫道：

在四面體中，面數(shù)總是和立體角數(shù)一樣多。在棱柱中，立體角數(shù)的一半比面數(shù)少2。在八面體中，面數(shù)的一半比立體角數(shù)少2。在其他立體中，人們可以想象更多的立體，一個立體中的平面角至少是立體角的3倍，如果一個立體中的立體角數(shù)減去2，然后將余數(shù)乘以2，則面數(shù)是最多的。但是把立體角數(shù)除以2，如果這個數(shù)是偶數(shù)，要加1，如果不是，把得到的商加2，則面數(shù)是最少的。面數(shù)和立體角之間存在很大的關(guān)系。[24]50

前三句是關(guān)于多面體的類型——四面體、棱柱、八面體，其面數(shù)和立體角數(shù)有特定的關(guān)系。第四句話指的是其他類型的多面體，他們的面數(shù)和立體角數(shù)之間也有特定的關(guān)系。顯然，笛卡爾的動機是通過和多邊形進行類比，因為多面體的面數(shù)和立體角數(shù)是多邊形的邊和角的推廣。但是由于多面體的面數(shù)和立體角數(shù)之間沒有特定的關(guān)系，所以他只能給出一些特殊類型的關(guān)系。

此外，笛卡爾還給出了關(guān)于多面體特征的一些不等式：比如立體各面的平面角之和等于立體角數(shù)的4 倍減8，即=4V-8；面數(shù)和立體角數(shù)的兩個不等式：V≥+2，F(xiàn)≥+2；以及平面角數(shù)與面數(shù)、平面角和的關(guān)系：P=，等等，其中Σ表示所有平面角之和。

2.2 與多面體公式有關(guān)的內(nèi)容

接下來，笛卡爾開始考慮多面體的頂點數(shù)，面數(shù)和平面角數(shù)的關(guān)系：

我經(jīng)常把α表示立體角數(shù)，用φ表示面數(shù)，所有平面角的總和是4α-8，如果計算立體的面數(shù)與所有的面是三角形立體相同，則φ=2α-4。通過計算兩個直角三分之一的角度，平面角數(shù)是6α-12?！矫娼堑膶嶋H數(shù)量是2φ+2α-4，這個不能超過6α-12，但如果少了，超出的就是4α-8-2φ。[24]54

現(xiàn)在對上述引文進行進一步的解讀，我們用V表示立體角數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)；P表示平面角數(shù)以及Σ表示所有平面角之和。

這些結(jié)論顯然是通過多邊形相應(yīng)命題類比提出的。通過類比多邊形中邊和角的關(guān)系，笛卡爾試圖發(fā)現(xiàn)立體角數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系。笛卡爾計算多面體的特征，并在他們之間建立代數(shù)聯(lián)系，可以推出平面角P的表達式：P=2F+2V-4。

正是因為笛卡爾發(fā)現(xiàn)了這個關(guān)系式，有學(xué)者認為歐拉多面體公式應(yīng)該以笛卡爾命名。[24]從某種程度上說，笛卡爾的平面角表達式和歐拉的多面體公式是等價的。因為：如果多面體的有E條棱，那么就會有P=2E個平面角。代入P=2F+2V-4，化簡得V-E+F=2。

3 歐拉的關(guān)鍵思想

歐拉在組合拓撲方面第一個結(jié)果是關(guān)于“哥尼斯堡七橋”問題的研究，[25]第二個結(jié)果就是關(guān)于多面體的歐拉多面體公式，他明確提出了多面體的頂點、棱和面的概念，這些其實是很深刻的拓撲概念。下面我們將從歐拉的原始文獻出發(fā)，詳細分析歐拉引入多面體公式的動因，體會其拓撲思想。

3.1 關(guān)于多面體特征的描述

歐拉在1750 年開始了多面體的研究，也就是他所說的“立體測量學(xué)”。1750年11月14日，歐拉給好朋友哥德巴赫通信中提到了多面體公式。[2]在信中，歐拉給出了多面體“棱”的概念：

兩個面沿著他們的邊會在一個結(jié)合點處會和，由于沒有專業(yè)的術(shù)語，我稱之為“棱”。[2]479

1751年和1752年，歐拉還寫了兩篇關(guān)于多面體的論文。[3-4]他的第一篇論文的研究對象是一般的多面體，需要以某種方式對他們進行分類。歐拉很快放棄了與平面圖形的類比，在平面的情況下，邊的數(shù)量等于角的數(shù)量，多邊形根據(jù)邊的數(shù)量進行分類，但是這不適合多面體。對于兩個不同的多面體，面數(shù)可以相同，而立體角數(shù)卻是不同的。

作為幾何學(xué)，在考慮平面圖形時，需要邊的數(shù)量和角的數(shù)量，現(xiàn)在我們必須做出讓步；在考慮立體時，需注意立體角……我會盡量從這個立體中找出它們涉及的某些一般特征。

因此，對立體的考慮必須指向它們的邊緣；當(dāng)包圍立體的邊緣已知時，立體就是已知的，就像平面圖形的本質(zhì)通常由它的周長定義一樣。[3]

由此，歐拉提出了多面體的3個特征：

由平面圖形包圍的每個立體的邊緣應(yīng)有：

第一：構(gòu)成其邊緣的相同平面圖形，被命名為面（hedrae）；

第二：兩個面沿著它們的面相遇，形成了立體的線性邊界。由于我在立體測量的作者中沒有找到任何特殊的名字，我將稱它們?yōu)槔猓╝cies）；

第三：三個或三個以上面相遇的點，這些點稱為立體角（angulus solidus）。[3]

歐拉對多面體的第一個偉大見解是多面體的表面是由一些0維、1維和2維的分量組成的。即頂點、棱和面，這3個量是所有拓撲曲面的組成部分。他寫道：

因此，任何立體都需要考慮這三種成分：即1）點、2）線、3）面，或特別使用的名稱：1）立體角、2）邊、3）面。這三種成分完全確定了立體。但是一個平面圖形只有兩種決定它的邊界，即1）點或角，2）線或邊。[3]

歐拉將立體角和一個點聯(lián)系起來。我們看到他認為立體角是0維的。所以，當(dāng)歐拉在說立體角時，指的是立體角的尖端，而不是面所包圍的3維區(qū)域。將立體角看做是頂點，這對理解他的定理至關(guān)重要。

3.2 歐拉的多面體公式

通過上面的描述，歐拉研究了多面體的三個特征——頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系，并開始計算不同的多面體。很快，他就發(fā)現(xiàn)了他們之間的數(shù)量關(guān)系：

在每一個被平面包圍的立體中，面數(shù)和立體角數(shù)的總和比棱數(shù)多2，或者是H+S=A+2。[3]

歐拉用字母H、A和S來分別表示多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)，我們對這些術(shù)語重新命名就會得到熟悉的關(guān)系式

其中F、E和V分別表示多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)。

龐加萊在他一系列拓撲論文（1892—1904）中給出了歐拉多面體公式的第一個真正現(xiàn)代意義的解釋——交錯和，現(xiàn)稱為歐拉-龐加萊示性數(shù)。代數(shù)拓撲課本里是這樣描述多面體的歐拉-龐加萊示性數(shù)的：多面體P的歐拉-龐加萊示性數(shù)可以用單純剖分所得單形的個數(shù)計算

其中αq表示多面體的各維貝蒂數(shù)。這也是我們?yōu)槭裁磳W拉多面體公式寫成V-E+F=2 交錯和的形式，同時也說明歐拉多面體公式的拓撲思想。

在第二篇文章的開頭，歐拉提到了引入多面體公式的部分動機

就像平面直線圖形的幾何性質(zhì)一樣，具有某些眾所周知的一般性質(zhì)——外角和是四個直角。所以，我最近也提出了類似類型的立體幾何的基本原理，包括屬于被平面包圍的立體的類似性質(zhì)。在立體幾何中，那些四面被平面包圍的立體值得首先考慮，就像直線圖形在平面幾何中所做的那樣。我已經(jīng)決定建立類似的立體幾何原理，以掌握立體的構(gòu)成，并在此基礎(chǔ)上特別證明它們的某些性質(zhì)。[4]

從這里我們可以看出歐拉想像平面幾何一樣來發(fā)展立體幾何，他提出多面體公式的部分動機是想對多面體進行分類。除此之外，歐拉還給出了證明多面體公式的方法——多面體剖分法。但歐拉證明具有缺陷：（1）沒有假設(shè)多面體的凸性；（2）沒有給出切除帶有頂點的四面體的詳細步驟。[27]

對數(shù)學(xué)家來說，多面體的凸性是一個問題，他們試圖確定什么樣的多面體才滿足歐拉多面體公式。這將會出現(xiàn)許多非凸多面體、隧道的多面體等。數(shù)學(xué)家們花了很長的時間才看到多面體公式的重要性，這個定理是關(guān)于維數(shù)和建立數(shù)學(xué)對象的重要定理。歐拉多面體公式標(biāo)志著幾何向拓撲過渡的開始。

為了更好地理解歐拉引入多面體公式的動機，如表1，我們將對開普勒、笛卡爾和歐拉的工作進行對比，分析其不同的內(nèi)在思想。

從表1中，我們可以看出，開普勒是基于不同的正多面體給出頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的（反）對稱關(guān)系；笛卡爾是基于和平面圖形的類比，得出平面角數(shù)與頂點數(shù)和面數(shù)的關(guān)系；而歐拉的工作則是基于對多面體本身特性的歸納。只有歐拉的多面體公式V-E+F=2 涉及到了拓撲思想。

表1 開普勒、笛卡爾和歐拉工作比較

大多數(shù)學(xué)者同意笛卡爾很接近發(fā)現(xiàn)歐拉多面體公式，但是他沒有邁出最后重要的那一步，認為平面角不是與面和頂點進行合適比較的對象。[24]笛卡爾是否領(lǐng)先發(fā)現(xiàn)了歐拉多面體公式，這是有爭議的，況且笛卡爾的工作從來沒有發(fā)表過。

4 結(jié)語

正如我們前面所看到的，歐拉認識到多面體的本質(zhì)——聯(lián)系了0 維對象（頂點）、1 維對象（棱）和2維對象（面），使之具有拓撲思想。那么，歐拉為什么引入多面體公式？

歐拉的目的是想對多面體分類，[28-29]我們從原始文獻出發(fā)，進一步論證了這個觀點。從數(shù)學(xué)史的角度來看，歐拉發(fā)現(xiàn)多面體公式的過程和平面意義下的多面體分類密不可分，他想像平面幾何一樣來發(fā)展立體幾何。在歐拉之前，從柏拉圖體到阿基米德體，有開普勒對不同正多面體的頂點數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)的比較；還有笛卡爾對一般多面體的頂點數(shù)、平面角數(shù)和面數(shù)的討論。這些數(shù)學(xué)家們試圖認識多面體的形狀，嘗試分類多面體，發(fā)現(xiàn)其一般規(guī)律。歐拉認識到多面體的本質(zhì)，才引入多面體公式

歐拉多面體公式具有幾何直觀性，了解歐拉多面體公式的歷史淵源，一定程度上可以幫助我們了解拓撲不變量的概念和拓撲變換的思想，培養(yǎng)抽象想象能力，進一步感受數(shù)學(xué)魅力。繼歐拉之后，黎曼在閉曲面拓撲分類上的工作是拓撲學(xué)歷史上的一個重大轉(zhuǎn)折點，而閉曲面分類的重要標(biāo)志是歐拉示性數(shù)。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，歐拉示性數(shù)和許多不變量都有聯(lián)系，比如虧格、貝蒂數(shù)、同調(diào)群等。龐加萊在1892年開始寫了一系列關(guān)于代數(shù)拓撲的論文，借助三角剖分、重心重分和貝蒂數(shù)等工具對歐拉多面體公式進行了推廣，現(xiàn)稱為歐拉-龐加萊示性數(shù)。20世紀中期，拓撲學(xué)在數(shù)學(xué)中發(fā)揮的作用日趨漸益，并對其他數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生了深刻的影響。