《崇天歷》行星算法及精度分析

葉 杰

（西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，陜西 西安 710127）

中國古代對五星視運(yùn)動規(guī)律的觀測和記錄很早，早在戰(zhàn)國時期，天文學(xué)家甘德和石申就對五星運(yùn)動進(jìn)行了認(rèn)真的觀測和研究，在提出會合周期和恒星周期的概念同時，還發(fā)現(xiàn)了五星逆行現(xiàn)象[1]。從西漢《太初歷》始，每部歷法中都會專列一章討論行星運(yùn)動理論[2]。

在北齊張子信發(fā)現(xiàn)行星公轉(zhuǎn)與太陽視運(yùn)動的不均勻性之前（565年前后），歷法家只能推算行星的地心平黃經(jīng)。隋唐歷法家在張子信天文大發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮行星中心差和太陽中心差的修正，隋代《皇極歷》（600）在行星理論中設(shè)計(jì)了“五星入氣加減差”算法，用于修正行星中心差。一行在《大衍歷》（727）中將文字描述的“五星入氣加減差”改造為表格形式的“五星爻象歷”，《大衍歷》步五星術(shù)奠定了中國古代行星理論的基本框架。經(jīng)過宋初三歷的探索，至宋代《崇天歷》（1024）時，行星理論基本趨向成熟[3]，此后的歷法基本沒有太多實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)。

中國古代行星理論一直受到科學(xué)史家的高度關(guān)注。曲安京[4-5]研究了行星理論的目的、整體框架以及行星盈縮差算法的數(shù)學(xué)模型。劉金沂[6]利用現(xiàn)代天文學(xué)方法分析討論了《麟德歷》的行星運(yùn)動理論。陳美東[7]研究了五星的盈縮歷表的構(gòu)造、精度及其數(shù)值校勘。唐泉[8]研究了唐宋時期五星盈縮差算法的演變軌跡。李東生[9]研究了五星會合周期和恒星周期。鈕衛(wèi)星[10]研究了行星運(yùn)動數(shù)值的來源。張培瑜、薄樹人[11]、張健[12-13]、李勇[14]、唐泉[15-20]等人研究《授時歷》《大統(tǒng)歷》《紀(jì)元?dú)v》《皇極歷》五星視位置的計(jì)算精度，并在計(jì)算精度的基礎(chǔ)上分析了影響行星計(jì)算精度的因素。以上學(xué)者的工作，對我們?nèi)胬斫庵袊糯行抢碚摼哂蟹浅Ｖ匾膮⒖純r(jià)值。

《崇天歷》步五星術(shù)是中國傳統(tǒng)行星理論走向成熟的重要標(biāo)志，然而關(guān)于《崇天歷》行星算法及精度分析的討論，目前的研究還比較少見。行星理論的主要目的是計(jì)算五星任意時刻的赤道宿度或黃道宿度。北宋天文學(xué)家周琮提出了當(dāng)時歷法家對行星計(jì)算精度的期望：“其較星度，以差天二度以下為親，三度以下為近，四度以上為遠(yuǎn)”。[21]那么《崇天歷》行星計(jì)算精度能否達(dá)到以上標(biāo)準(zhǔn)呢？本文將在全面解讀《崇天歷》行星算法的基礎(chǔ)上，利用python 語言模擬《崇天歷》行星算法，并討論《崇天歷》頒行初期30年行星的計(jì)算精度，同時對誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析。

1 《崇天歷》步五星術(shù)中的天文常數(shù)與表格

1.1 《崇天歷》步五星術(shù)中的天文常數(shù)

《崇天歷》步五星術(shù)中用到的天文常數(shù)大多在步五星章[21]直接給出，以木星為例五星常數(shù)見表1，部分常數(shù)在步氣朔章、步日躔章給出。

表1 《崇天歷》步五星常數(shù)（以木星為例）

“五星會策”表示行星近點(diǎn)周期的二十四分之一?！澳拘侵苈省北硎灸拘菚现芷诘娜辗??！爸苋铡北硎灸拘且匀諡閱挝坏臅现芷?，周率除以樞法即得周日?！皻q差”表示行星近日點(diǎn)每年相對于冬至點(diǎn)進(jìn)動的數(shù)值，單位為度分。

行星視位置的計(jì)算除步五星章所列常數(shù)外，步氣朔、步日躔也有涉及。在步氣朔章給的天文常數(shù)有：“樞法”表示一日的日分?jǐn)?shù)，“歲周”表示一個回歸年的日分?jǐn)?shù)，“紀(jì)法”是天干地支的組合數(shù)。步日躔章給的天文常數(shù)有：“周天分”，《崇天歷》將整個圓周分為3 868 065.02分，此處的周天指的是天球上的赤道或黃道。

1.2 《崇天歷》中的五星動態(tài)表

“五星動態(tài)表”是以五星平運(yùn)動為模型建立的天文表格，主要用于計(jì)算五星的平位置。由于行星在一個會合周期內(nèi)的視運(yùn)動呈現(xiàn)出順、逆、伏、留多種狀態(tài)，很難用統(tǒng)一的方法進(jìn)行分析，因此歷法家通常是采用分段處理的方法，來描述行星在一個會合周期內(nèi)的運(yùn)動。以木星動態(tài)表（表2）為例解釋。

表2 木星動態(tài)表

“變目”是歷法家根據(jù)行星視運(yùn)動的規(guī)律，將行星在一個會合周期內(nèi)的平運(yùn)動分劃為若干段目，單位為日，不同的行星就有不同的段目數(shù)和段目名，例如在《崇天歷》中金星段目最多，分成了20段，水星最少，只有10段。

“變?nèi)铡敝傅氖切行窃诓煌文績?nèi)運(yùn)行的時間，單位為日。日下分為百進(jìn)制，即一日為100分。如木星“前伏”段變?nèi)諡椤笆瞻耸?，亦?6.86 日，變?nèi)罩偷扔谖逍菚现芷凇?/p>

“變度”是五星在每個段目內(nèi)平均運(yùn)行的度距，單位為度，“退行”段即逆行，其度距在實(shí)際計(jì)算時應(yīng)取為負(fù)值，木星各段目變度之和為34.73 度，其意為木星在一個會合周期內(nèi)運(yùn)行的度距。

“限度”是計(jì)算行星各段目初始時刻盈縮差的自變量時需要用到的一個參數(shù)，單位為度。木星各段目限度之和為33.64度，約等于變度之和。

“初行率”是行星在各段目初始時刻行星視運(yùn)動的瞬時速度，不等于“初日行分”，只有在“求五星諸變初日晨前夜半定星”算法時才用到，單位為分/日。如木星“前伏”段初行率為“二十二”，意為22 分/日，或0.22度/日。

1.3 《崇天歷》中的五星盈縮歷

“五星盈縮歷”是計(jì)算五星盈縮差時需用到的天文表。唐代《大衍歷》首先將前歷用文字描述的“五星入氣加減差”算法改造為表格形式的“五星爻象歷”，用于修正五星平運(yùn)動與真運(yùn)動的差值?！洞笱軞v》后的歷法都會在步五星章中設(shè)計(jì)類似“五星爻象歷”的表格，發(fā)展到《崇天歷》時，該類表格統(tǒng)一稱為“五星盈縮歷”。盈縮差與行星中心差有關(guān)，但不等于行星中心差，關(guān)于五星盈縮差的天文涵義，已有學(xué)者進(jìn)行過詳細(xì)討論[22]?！冻缣鞖v》中的五星盈縮歷包括6 欄內(nèi)容，這6 欄可以分為兩個部分，即盈歷和縮歷，盈歷的內(nèi)容包括：會數(shù)、損益率、盈積度，縮歷的內(nèi)容包括：會數(shù)、損益率、縮積度。以“木星”盈縮歷（表3）為例描述。

表3 木星盈縮歷

《崇天歷》盈縮歷表是將五星在一個近點(diǎn)周期內(nèi)運(yùn)行的度數(shù)分成24段，段數(shù)稱為“會數(shù)”。從盈縮歷起點(diǎn)開始，五星的實(shí)行度總在其平行度之前，故稱為盈歷（前12段），后12段的五星實(shí)行度總落后于其平行度，故稱為縮歷。[4]

“損益率”單位為分，是五星實(shí)行度與平行度的差值。損益率是長期觀測所得[7，23]，歷法家以近日點(diǎn)為起點(diǎn)，分別測得五星各會的實(shí)行度，減去相應(yīng)的平行度，便得到了損益率。從表中數(shù)據(jù)可知，損益率在數(shù)值上等于相鄰二會盈縮積度之差。

“盈、縮積度”單位為度，表示各會起點(diǎn)處五星的盈縮差，其值等于損益率的代數(shù)和。

2 《崇天歷》步五星術(shù)的基本思路

計(jì)算《崇天歷》五星任意時刻視位置的基本思路是：先算出五星運(yùn)動的起點(diǎn)位置和起點(diǎn)時刻后，再根據(jù)行星動態(tài)表中行星在一個會合周期內(nèi)各段運(yùn)行的時間和度距求出各段對應(yīng)的平時間和平位置（可以轉(zhuǎn)化為平黃經(jīng)），然后借助五星盈縮歷表中給出的平黃經(jīng)和真黃經(jīng)的差（即“損益率”“盈縮積”），結(jié)合“五星諸變盈縮定差”算法求出“盈縮定差”，最終求出行星運(yùn)動到各段首時對應(yīng)的真黃經(jīng)和真時間。

在已知各段的真黃經(jīng)和真時間后，利用線性插值法得出五星各段的“初日行分”（初日速度）、“末日行分”（末日速度）、“日差”（加速度），最終得到“每日行分”（行星每一天所運(yùn)動的真距離），累加行星起點(diǎn)的真位置便可得“每日晨前夜半行星宿次”。

本文僅給出歷法中與五星視位置計(jì)算相關(guān)子算法的名稱、意義和算法思路[19]。《崇天歷》步五星算法共有18段術(shù)文，與行星視位置運(yùn)動計(jì)算相關(guān)的有11段，這11段術(shù)文大致可以分為以下3部分內(nèi)容。

2.1 求五星各段中積中星

術(shù)文7-1①術(shù)文標(biāo)號為“7-X”，“7”為《崇天歷》第七章，“X”為與五星視位置計(jì)算相關(guān)的算法。推五星天正冬至后諸變中積中星。[21]2621

即推算五星所求年前一年冬至后各段段首的“中積”和“中星”?！捌胶现蟹e”，指在平合時刻五星到所求年冬至?xí)r刻的平時間，單位為日?！捌胶现行恰保冈谄胶蠒r刻五星到所求年冬至點(diǎn)的平度距，單位為度。因?yàn)槠胶蠒r刻太陽與行星的平黃經(jīng)重合，太陽平運(yùn)動速度為日行一度，所以平合中星的數(shù)值等于平合中積，故天正冬至后平合中積中星計(jì)算公式如下：

其中N為正整數(shù)。“平合中積”累加動態(tài)表中各自對應(yīng)的變?nèi)占吹谩爸T變中積”，“平合中星”累加動態(tài)表中各自對應(yīng)的變度即得“諸變中星”。

2.2 求五星各段盈縮定差

術(shù)文7-2 求五星諸變?nèi)霘v。[21]2621

即求五星各段段首與近日點(diǎn)的度距，單位為度。首先要求出“平合入歷”，即平合時刻五星與近日點(diǎn)的度距，計(jì)算公式如下：

以“平合入歷”為起點(diǎn)，累加動態(tài)表中各段對應(yīng)的限度即得“諸變?nèi)霘v”。

術(shù)文7-3 求五星諸變盈縮定差。[21]2622

即求五星各段的平行星和真行星的時間、位置修正項(xiàng)，《崇天歷》求盈縮定差的算法是比例算法，單位為度。通過術(shù)文7-2，可知五星各段段首與近日點(diǎn)的度距，該“度距”會有與其相對應(yīng)的修正項(xiàng)（即盈、縮積度），由此可求出五星各段的盈縮定差。盈縮定差計(jì)算公式如下：

盈縮定差=盈縮程度+損益分。

2.3 求五星各段定積定星與每日夜半行星位置

術(shù)文7-4 求五星諸變定積。[21]2622

即求五星各段段首到所求年冬至?xí)r刻的真時間，五星各段的平合中積加上各段對應(yīng)的盈縮定差便得五星各段的定積，單位為日。由前段術(shù)文推五星天正冬至后諸變中積可以得到平合時刻五星到所求年冬至?xí)r刻的平時間，再盈加縮減各段對應(yīng)的修正項(xiàng)即盈縮定差，最終求得五星各段的真時間。定積計(jì)算公式如下：

諸段定積=諸段中積+諸段對應(yīng)的盈縮定差。

術(shù)文7-5 求五星諸變定星。[21]2623

即求五星各段段首與所求年冬至點(diǎn)的真度距，五星各段的平合中星加上各段對應(yīng)的盈縮定差就是五星各段的定星，單位為日。由前段術(shù)文推五星天正冬至后諸變中星可以得到平合時刻五星度距所求年冬至點(diǎn)的平度距，再加減各段對應(yīng)的修正項(xiàng)即盈縮定差，最終求得五星各段的真度距。定星計(jì)算公式如下：

諸段定星=諸段中星+諸段對應(yīng)的盈縮定差。

術(shù)文7-6 五星諸變初日晨前夜半定星。[21]2623

即求五行星在各段初日的晨前夜半時的位置與所求年天正冬至點(diǎn)的度距，此處是一個精細(xì)算法，單位為度，損益分，意為某一個段目節(jié)點(diǎn)所入會度相鄰整度數(shù)盈縮積度之差[21]。

術(shù)文7-7 求諸變?nèi)斩嚷?。[21]2623

即求五星各段的日率和度率?！叭章省奔聪噜弮啥纬跞粘壳耙拱胂嗑嗟恼諗?shù)。“度率”即相鄰兩段初日晨前夜半定星相距的度距。

術(shù)文7-8 求諸變平行分。[21]2623

即求五星各段的平均速度，單位為度/日?！捌叫蟹帧敝傅氖撬蠖文啃行且曔\(yùn)動的平均速度，度率與日率的比值就是平行分。

術(shù)文7-9 求諸變總差。[21]2624

《崇天歷》假定行星在每個段目上每天的視運(yùn)動速度呈等差數(shù)列變化，總差即為諸段初日速度與末日速度的落差。

術(shù)文7-10 求諸變初末日行分。[21]2624

即求五星各段初日速度和末日速度。五星各段的平行分分別加減該段總差的一半，便可得該段的初、末日行分。

如果后段行分大，則減之為初，加之為末；若后段行分小，則加之為初，減之為末；如果前后段平行分都比本段多，或者都比本段少，又或者本段總差小于0.01度，這三種情況都平注之（即取平均速度）；退行段，各以半總差，前段減之為初，加之為末。后段加之為初，減之為末。

術(shù)文7-11 求每日晨前夜半星行宿次。[21]2624

即求五星每日晨前夜半的黃道宿度或赤道宿度，由總差和日率可求出日差，日差即加速度，由初日行分累加日差，可以求出各日平行度分，由行星各段段首晨前夜半時的位置累加各日行度即得五星每日晨前夜半的真位置。

2.4 算例

中國古代歷法中的行星真位置均由宿度表示，不便于與現(xiàn)代天文學(xué)的黃經(jīng)、黃緯進(jìn)行比較，因此我們將宿度轉(zhuǎn)換為了黃經(jīng)值。雖然中國古代歷法一致是極黃經(jīng)坐標(biāo)，但其值與黃經(jīng)相差很小，故將極黃經(jīng)視為黃經(jīng)。具體計(jì)算過程為：

（1）《崇天歷》“推天正冬至”算法可以求出“天正冬至日辰及余”，“日辰”即日名，“余”即不足一日的小數(shù)，我們稱“天正冬至日辰及余”為歷取冬至?xí)r刻。

（2）通過《三千五百年歷日天象》[24]可以得到冬至點(diǎn)實(shí)際日名是幾日幾時幾分，我們稱該值為“理論冬至?xí)r刻”。用歷取冬至?xí)r刻減理論冬至?xí)r刻便可以得到冬至點(diǎn)的誤差，已知理論冬至點(diǎn)的黃經(jīng)為270°，在理論冬至點(diǎn)加上歷取冬至點(diǎn)與理論冬至點(diǎn)的差便可求出冬至點(diǎn)的真黃經(jīng)。

（3）若所求年會合周期的末日與下一個周期的首日相重，則以下一個周期的首日為新的起點(diǎn)。由術(shù)文7-11得到的“每日行度及分”，需將古度轉(zhuǎn)換為現(xiàn)代度。

為了更好地理解術(shù)文，本文以火星為例，對照2.1 至2.3 節(jié)行星視位置算法的解讀，計(jì)算自公元1024 年冬至夜半起算，首合日后第一個會合周期內(nèi)與行星位置算法相關(guān)的術(shù)文結(jié)果。

術(shù)文7-1 推五星天正冬至后諸變中積中星。

已知上元積年為97 556 340 年，火星歲周為3 867 940，火星周率為8 259 366.59 分，天正冬至后平合中積、中星的計(jì)算過程如下：

氣積分=歲周×歲積=377342069739600分，

不盡=氣積分-N×周率=5944 836.4268分，

平合中星=平合中積=218.5581度。

術(shù)文7-2 求五星諸變?nèi)霘v。

已知火星歲差（星差）為103.53 分，周天分為3 868 065.02分，由平合入歷計(jì)算公式得

術(shù)文7-3 求五星諸變盈縮定差。

平合入歷度為172.277 4度，在半周天度以下，入陽歷11會，該會對于的損益率為損396分，盈積度為盈3.96 度。又知五星會策為15.219，則“余數(shù)”為0.319 9，則在172.277 4度處的盈縮定差為

術(shù)文7-4 求五星諸變定積。

平合中積即為前伏段中積，又知該段節(jié)點(diǎn)的盈縮定差，故

前伏段定積=前伏段中積+盈縮定差=221.2513日。

術(shù)文7-5 求五星諸變定星。

前伏段定星=前伏段中星+盈縮定差=221.2513度。

術(shù)文7-6 求五星諸變初日晨前夜半定星。

由步氣朔章可求出天正冬至大小余為28.158 6日，前伏段定日為該段定積與冬至大小余之和，算得前伏段定日大小余為249.41日。查火星動態(tài)表可知其前伏段初行率為0.71 度/日，定日小余為0.41 日，故前伏段初日晨前夜半定星為

夜半定星=定星-初行率×定日小余=220.9602度。

術(shù)文7-7 求諸變?nèi)斩嚷省?/p>

火星前伏段的后段為前疾初段，根據(jù)上述計(jì)算公式可求出該段定日為305.571 2 日，晨前夜半定星為257.007度，故

前伏段日率=前疾初段定日-前伏段定日=56日，

前伏段度率=前疾初段夜半定星-前伏段夜半定日=36.0468度。

術(shù)文7-8 求諸變平行分。

術(shù)文7-9 求諸變總差。

因前伏段屬于“無前段平行分”的特殊情況，該段半總差等于后段初日行分減該段平行分，算得總差數(shù)值為0.010 6。

術(shù)文7-10 求諸變初末日行分。

由上述計(jì)算公式可得前疾初段平行分為0.638 4度/日，則前伏段平行分大余其后段平行分，故

術(shù)文7-11 求每日晨前夜半星行宿次。

每日行度及分=初日行分+日差=0.64919度/日。

3 《崇天歷》步五星術(shù)精度分析

本文主要目的是分析《崇天歷》五星視位置的計(jì)算精度，對其精度的全面分析，有助于我們客觀評價(jià)《崇天歷》行星理論的水平。中國古代行星算法具有很強(qiáng)的程序化和算法化特征，很容易在理解術(shù)文的基礎(chǔ)上借助計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)步五星算法，本文用python 語言將步五星算法進(jìn)行編程，最后將得到五星歷取黃經(jīng)與理論黃經(jīng)（提取自Skymap 天文軟件）進(jìn)行比較。因Skymap 只提供赤經(jīng)、赤緯，需將其轉(zhuǎn)換為黃經(jīng)、黃緯，此處的黃赤交角值取23.9°[25]。

為全面考察《崇天歷》計(jì)算精度，我們按照《崇天歷》步五星算法計(jì)算了五星自北宋天圣二年（1024）起大概30年內(nèi)的整周期每一日夜半的黃經(jīng)，并和其理論位置進(jìn)行比較。根據(jù)《崇天歷》步五星算法可知，天圣二年（1024）冬至后木星和太陽第一次合發(fā)生在1023年12月18日，火星和太陽的第一次合發(fā)生在1024年7 月24日，土星和太陽的第一次合發(fā)生在1024 年2 月29 日，金星和太陽的第一次合發(fā)生在1025 年3 月15 日，水星和太陽的第一次合發(fā)生在1024年2月8日。

為了更加直觀具象地展示《崇天歷》行星的計(jì)算精度，本文給出行星的黃經(jīng)絕對值誤差曲線圖，即圖1 到圖5。圖中橫坐標(biāo)表示五星自北宋天圣二年（1024）第一次合后的日數(shù)，單位為“日”，縱坐標(biāo)表示歷取黃經(jīng)與理論黃經(jīng)的差，單位為“°”。

通過圖1可知，木星黃經(jīng)誤差基本在3°以內(nèi)，任何一個整周期內(nèi)的誤差曲線趨勢基本相同。

圖1 《崇天歷》木星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

圖2 中，誤差超出5°的部分共有5 處，造成該誤差的主要原因有：（1）行星運(yùn)動在歷法中是“留”或“退行”，但其理論狀態(tài)卻是“順行”，因此造成了巨大誤差；（2）在計(jì)算火星時，因1029年末日與1031年初日、1043 年末日與1045 年初日，他們的黃經(jīng)差變化幅度都很大，導(dǎo)致相鄰周期的誤差曲線未能銜接上，最終造成后面周期的誤差更大。

圖2 《崇天歷》火星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

圖3中土星各周期的誤差變化規(guī)律很強(qiáng)，且理論黃經(jīng)與歷取黃經(jīng)的最大誤差都在2.5°之內(nèi)變化，土星歷取黃經(jīng)精度總體而言較好。

圖3 《崇天歷》土星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

通過圖4、圖5可知：在五星運(yùn)動中，水星的黃經(jīng)誤差最大的。主要是因?yàn)樗沁\(yùn)動速度快，古代觀測水平有限，水星位置最難測算，導(dǎo)致其誤差較大。

圖4 《崇天歷》金星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

通過圖1至圖5可知：五星的波動周期與其繞日公轉(zhuǎn)周期較吻合，五星各周期的起始位置的誤差基本都在2°以內(nèi)。

圖5 《崇天歷》水星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

為了便于后面分析數(shù)據(jù)，現(xiàn)將《崇天歷》五星黃經(jīng)誤差整理成表4。

表4 五星精度分析表

4 《崇天歷》定合日期、動態(tài)表與盈縮歷表誤差分析

《崇天歷》行星計(jì)算精度受多種因素影響盈縮歷表的數(shù)據(jù)將直接影響行星中心差修正項(xiàng)，而行星中心差修正項(xiàng)又對五星運(yùn)動的起點(diǎn)（定合）造成影響。此外根據(jù)行星動態(tài)表而建立起來的分段插值法能夠從數(shù)學(xué)上確保行星平時刻、平位置的精度。[4]因此，本章節(jié)將對《崇天歷》五星的定合日期、五星動態(tài)表及五星盈縮歷表誤差進(jìn)行研究，通過計(jì)算分析討論以上因素對行星計(jì)算精度的具體影響。

4.1 《崇天歷》五星運(yùn)動定合日期誤差分析

因五星運(yùn)動的時間起點(diǎn)是“合”，所以對于“歷取定合日”的誤差分析便顯得格外重要。表5給出了五星1023年—1052年歷取定合日及理論定合日，限于篇幅，水星只給出所求年第一次合的日期。對比分析表5 中的歷取定合日和理論定合日[26]可知：

表5 木星、火星、土星、金星、水星1023年-1052年歷取定合日與理論定合日

（1）對于地外行星，木星運(yùn)行28 個完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為0.857 1 天，其中有9 個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；火星運(yùn)行15個完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為7 天，平均相差近2 天，其中有3個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；土星運(yùn)行29個完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為0.551 7天，其中有7個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天。

（2）對于地內(nèi)行星，金星運(yùn)行19 個完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為1.052 6天，其中有11個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；水星運(yùn)行93個完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為13 天，平均相差為1.833天，其中有10個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天。

由此可知，在地外行星里，火星歷取定合日期與理論日期相差最大，土星最優(yōu)，木星歷取定合日推算準(zhǔn)確率最高。對于地內(nèi)行星，水星歷取定合日期與理論日期相差最大，在所求年第一次合的時候就可以相差10 日以上，但水星推算同一年的第三次歷取定合日的準(zhǔn)確率很高，與理論定合日重合的歷取定合日多都是出現(xiàn)在第三次定時刻。

4.2 《崇天歷》五星動態(tài)表誤差分析

本文在分析五星動態(tài)表精度時，引用了唐泉構(gòu)建的行星視運(yùn)動的理論模型[20，27]，在其模型的基礎(chǔ)上求得五星動態(tài)表各段目的理論“入平合度”，再與歷法值做差，得出五星各段目變度誤差（歷法變度-理論變度）及各段目節(jié)點(diǎn)誤差。限于篇幅，本文僅以火星（表6）為例分析：《崇天歷》火星動態(tài)表歷法變度與理論變度最大誤差的絕對值是“后遲初段”，達(dá)1.754 6°，各段目節(jié)點(diǎn)最大誤差的絕對值1.581 9°也是“后遲初段”。造成該結(jié)果的原因可能是該段位于“留”段之后，留的視運(yùn)動速度非常小，不利于觀測分析，最終導(dǎo)致后段的“后遲初段”誤差達(dá)最大。除火星外，《崇天歷》金星動態(tài)表歷法變度與理論變度的最大誤差的絕對值也是出現(xiàn)在“留”段之后的“晨遲初”段，達(dá)2.316 1°，造成該現(xiàn)象的原因可能與火星類似。木星、土星、水星行星動態(tài)表各段目理論計(jì)算值與歷法值所給變度的最大誤差的絕對值依次為：0.975 6°、0.428 9°、1.459 0°，各段目節(jié)點(diǎn)最大誤差的絕對值依次為0.969 5°、0.426 7°、2.496 4°。由此可知，木、土、水三星最大誤差都發(fā)生于不易觀察的留段或退行段?？傮w而言，《崇天歷》五星動態(tài)表的誤差都比較準(zhǔn)確。

表6 《崇天歷》火星動態(tài)表精度計(jì)算

4.3 《崇天歷》五星盈縮歷表誤差分析

根據(jù)唐泉推導(dǎo)的中國古代歷法行星盈縮差數(shù)學(xué)模型[22]，本文可以計(jì)算出《崇天歷》火星盈縮歷表的理論盈縮積度見表7，《崇天歷》火星盈縮歷表歷法盈縮積度與理論盈縮積度最大誤差為0.905 4°。通過計(jì)算可得：木星、土星、金星、水星盈縮歷表中盈縮積度與理論盈縮積度的最大誤差依次為0.389 6°、0.787 6°、1.751 6°、1.495 0°。總體而言，地內(nèi)行星的精度明顯不如地外行星，地外行星的誤差相對較小，都可以保持在1°以內(nèi)。

表7 《崇天歷》火星盈縮積度比較

5 結(jié)語

通過以上研究討論，我們可以得到如下結(jié)論：

（1）通過表4可知，對于《崇天歷》地外行星，土星的最大絕對誤差最小，為2.364°；木星次之，為4.572°；火星最差，為7.465°。雖然三星都沒有達(dá)到北宋歷法家“差天二度”的期望，但他們的誤差曲線所呈現(xiàn)的規(guī)律大體和同時期的《紀(jì)元?dú)v》類似，且火星最大誤差與西方16 世紀(jì)的火星誤差精度[27]相比僅相差2 度。對于《崇天歷》地內(nèi)行星，金星的黃經(jīng)最大絕對誤差為7.866°，水星最大絕對誤差為15.877°，金、水二星雖沒有達(dá)到當(dāng)時歷法家的期望，但《崇天歷》水星計(jì)算精度是優(yōu)于其同時期的《紀(jì)元?dú)v》?！冻缣鞖v》金星計(jì)算精度也是優(yōu)于其后期的《大統(tǒng)歷》，換言之，《崇天歷》金星、水星計(jì)算精度仍在可接受范圍之內(nèi)。

（2）五星盈縮歷表是影響行星計(jì)算精度的主要因素。在《崇天歷》中，木、火、土、金、水五星歷取盈縮積度與理論盈縮積度的最大誤差依次為0.389 6°、0.905 4°、0.787 6°、1.751 6°、1.495 0°，在地外行星中，火星的盈縮積度誤差最大，故而導(dǎo)致其精度也是最低。因?yàn)橛s積度將直接影響盈縮差的精度，而盈縮積度都是歷法家觀測所得，限于當(dāng)時的科技水平，其觀測器材與理論算法也會造成一定誤差。

（3）五星動態(tài)表對行星計(jì)算精度影響很大。由表6可知，因?yàn)榛鹦沁\(yùn)動速度較快，火星初行率是木、土二星的2 倍甚至3 倍，不容易觀測計(jì)算，因此導(dǎo)致火星的誤差精度為三星中最低，為1.754 6°。

（4）五星定合日的精確度也是行星精度誤差產(chǎn)生的重要原因。結(jié)合表5可知，火星歷取定合日推算結(jié)果在地外行星中最差，歷取定合日與理論定合日誤差最大可達(dá)7日，所以火星計(jì)算精度誤差是三星中最大的。而土星歷取定合日與理論定合日平均相差0.551 7 日，所以其最大絕對誤差為三星中最小。同理，對于地內(nèi)行星，金星歷取定合日與理論定合日最大相差3 日，平均相差為1.052 6 日，1023 年至1052年間19個完整周期中，有11個周期的歷取定合日與理論定合日是同一天，定合日精度明顯優(yōu)于水星，所以金星最大絕對誤差、平均誤差都要小于水星。

（5）五星天文常數(shù)準(zhǔn)確度也會影響行星計(jì)算精度，《崇天歷》中的“歲差”常數(shù)也是影響行星計(jì)算精度的原因。《崇天歷》歲差的天文意義可理解為現(xiàn)代天文學(xué)的的行星近日點(diǎn)相對于冬至點(diǎn)的進(jìn)動，但術(shù)文中的歲差是以回歸年為一個完整運(yùn)動周期，而不是以五星近點(diǎn)周期為運(yùn)動周期，因此也會造成誤差。

（6）行星軌道偏心率也對行星精度有影響?；鹦瞧穆蕿?.093、木星0.048、土星0.055，火星的軌道偏心率較大，周期也長，所以推算火星的視位置要比木、土二星困難，最終導(dǎo)致火星誤差最大。對于地內(nèi)行星，金星、水星的軌道偏心率分別為0.007、0.206，所以金星的計(jì)算精度高于水星。