在思維結(jié)構(gòu)的突破中促使學(xué)習(xí)發(fā)生

陳六一

一、單點(diǎn)喚醒

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，一般都是從他原有的思維結(jié)構(gòu)出發(fā)，以“舊知”來(lái)解釋“新知”。所以幾乎所有的認(rèn)知理論，都強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)會(huì)對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生作用。徐老師深諳理論，通過(guò)喚醒學(xué)生對(duì)小數(shù)意義、性質(zhì)等單點(diǎn)知識(shí)的理解，使其自然地通向多點(diǎn)知識(shí)的融通。

【教學(xué)片段1】

師：本學(xué)期我們接觸到的最多的知識(shí)是什么？

生：小數(shù)。

師：我們學(xué)過(guò)了小數(shù)的哪些知識(shí)？

生：加、減、乘、除。

師：這是四則運(yùn)算。

生：還有小數(shù)的性質(zhì)。小數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算。

師：除了計(jì)算，還學(xué)過(guò)小數(shù)的什么？

生：近似數(shù)。

師：學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)之前學(xué)了什么？

生：小數(shù)的意義。

師：對(duì)呀，小數(shù)是怎么產(chǎn)生的呢？

生：和分?jǐn)?shù)、整數(shù)有關(guān)。在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生，也在生活中產(chǎn)生。

師：的確，整數(shù)不夠用了，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)、小數(shù)，小數(shù)能精準(zhǔn)地表達(dá)。

生：十進(jìn)分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。

師：講得好，那接下來(lái)大家在作業(yè)單中，畫圖表示一些小數(shù)。

生：整數(shù)1，平均分成10份，其中一份用分?jǐn)?shù)表示是十分之一，寫成小數(shù)是0.1;平均分成100份，其中一份用分?jǐn)?shù)表示是一百分之一，寫成小數(shù)是0.01;平均分成1000份，其中一份用分?jǐn)?shù)表示是一千分之一，寫成小數(shù)是0.001。

【賞析】透過(guò)教學(xué)片段可以看出，憑借著回憶，學(xué)生大多對(duì)小數(shù)概念只是具備單點(diǎn)狀理解，還不能將多點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，進(jìn)而領(lǐng)悟到每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都指向核心概念——計(jì)數(shù)單位。而這，正是復(fù)習(xí)課的教學(xué)任務(wù)所在。所以徐老師一邊讓學(xué)生盡情地說(shuō)，一邊將學(xué)生的思維聚焦到核心概念。

二、多點(diǎn)關(guān)聯(lián)

基于片段1的教學(xué)，可以看見(jiàn)學(xué)生心中的小數(shù)缺乏系統(tǒng)性與整體性，這樣的小數(shù)知識(shí)只是小數(shù)的實(shí)然狀態(tài)，需要通過(guò)釋然加以結(jié)構(gòu)化，以達(dá)到小數(shù)與整數(shù)的一致性同構(gòu)。這樣，學(xué)生在思考“新知”與“舊知”不是一回事的失衡中，重新平衡到“新知”與“舊知”就是一回事。同時(shí)，因?yàn)橛辛怂季S的參與，“新知”的框架不但被擴(kuò)充，也被改良。

【教學(xué)片段2】

徐老師出示8道口算題：0.1+0.1，0.1+0.01，0.1-0.01，1-0.01，0.1×2，0.1×0.2，0.1÷2，0.1÷0.2。學(xué)生獨(dú)立完成。

師：能用計(jì)數(shù)單位的知識(shí)來(lái)解釋計(jì)算嗎？

生：①0.1+0.1，2個(gè)十分之一，是十分之二，就是0.2。②2個(gè)0.1就是0.2。③0.1+0.01，1個(gè)十分之一加1個(gè)一百分之一，是11個(gè)0.01，是0.11。④0.1-0.01，1個(gè)0.1是10個(gè)0.01，10個(gè)0.01減去1個(gè)0.01，得9個(gè)0.01。⑤1-0.01，1等于100個(gè)0.01，100個(gè)0.01減去1個(gè)0.01，得到99個(gè)0.01，是0.99。⑥0.1×2，表示2個(gè)0.1相加，是0.2。⑦0.1×0.2，0.1的十分之二，得2個(gè)0.01，是0.02。⑧0.1÷2，十分之一的一半，0.05。⑨0.1÷0.2，被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，也就是1÷2，商是0.5。

師：是不是可以想0.1里有幾個(gè)0.2？

生：半個(gè)，是0.5。

以上學(xué)生回答時(shí)，徐老師同步出示課件，如圖1。

師：會(huì)筆算嗎？帶著下面4個(gè)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算：①計(jì)算小數(shù)加減要注意些什么？②小數(shù)乘法積的小數(shù)點(diǎn)位置如何確定？③除數(shù)是小數(shù)為什么要化為整數(shù)？④小數(shù)四則運(yùn)算中哪些地方運(yùn)用了小數(shù)性質(zhì)？

徐老師出示筆算題：3.8+1.2，5-3.8，3.8×1.2，4.56÷3.8。

生：3.8+1.2=5，5-3.8=1.2。

師：做5-3.8，被減數(shù)5為什么要添一個(gè)小數(shù)點(diǎn)和0？根據(jù)什么理由添0的？

生：根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)，在小數(shù)的末尾添上0，小數(shù)的大小不變，添上0，就使得被減數(shù)的十分位和減數(shù)的十分位上都有了數(shù)，方便計(jì)算。

師：回到問(wèn)題①，小數(shù)加減法要注意什么呢？

生：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

師：為什么要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？

生：數(shù)位對(duì)齊，計(jì)數(shù)單位相同。

生：3.8×1.2，兩個(gè)乘數(shù)先當(dāng)做整數(shù)，然后把積縮小100倍，或者數(shù)出兩位小數(shù)。

生：4.56÷3.8，變成45.6÷38，得數(shù)1.2。

生：小數(shù)乘除法，先將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，除的時(shí)候依據(jù)的是商不變規(guī)律，乘的時(shí)候依據(jù)的是積的變化規(guī)律。

師：總結(jié)回顧，不管是做加減法時(shí)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，還是做乘除法時(shí)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，都和計(jì)數(shù)單位有關(guān)系。

師：哪些地方用了小數(shù)的性質(zhì)？

生：加法結(jié)果的化簡(jiǎn)，減法小數(shù)末尾添0……

師：今后學(xué)什么呢？可能和什么有關(guān)系？

生：分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，大概和分?jǐn)?shù)單位有關(guān)。

【賞析】片段2中的教學(xué)，徐老師讓學(xué)生在口算中，感悟到了小數(shù)加減乘除其實(shí)和之前學(xué)習(xí)的整數(shù)四則運(yùn)算一樣，算的都是計(jì)數(shù)單位;在筆算中，學(xué)生再一次體驗(yàn)了數(shù)位對(duì)齊是為了把相同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行加減，轉(zhuǎn)化成整數(shù)得到積與商也是為了數(shù)出計(jì)數(shù)單位。學(xué)生充分的說(shuō)理，說(shuō)明了他們已經(jīng)將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，并一致聯(lián)結(jié)到“計(jì)數(shù)單位”，于是小數(shù)的加減乘除做的其實(shí)還是整數(shù)的加減乘除，只要再走一步，接著去數(shù)有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位。

三、拓展結(jié)構(gòu)

教學(xué)的路徑是線性的，但學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，參透數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程是迂回的。徐老師的追問(wèn)，學(xué)生自我突破瓶頸時(shí)產(chǎn)生的疑惑，都會(huì)將學(xué)生帶到“失敗”與“挫折”面前。但是，走出“失敗”與“挫折”，學(xué)生便能舉一反三，將錯(cuò)誤問(wèn)題的解決變成實(shí)實(shí)在在的思維實(shí)驗(yàn)，于是學(xué)生的認(rèn)知獲得進(jìn)一步拓展，許多看上去的不同都找到了相同的原理。例如，解釋3.8×1.2的算理，學(xué)生認(rèn)識(shí)大多停留在將小數(shù)當(dāng)成整數(shù)，積有兩位小數(shù)，追問(wèn)“為什么積是兩位小數(shù)”，學(xué)生一般不會(huì)聯(lián)系到計(jì)數(shù)單位。計(jì)算算的是相同計(jì)數(shù)單位，而算是快速地?cái)?shù)，所以計(jì)算也可以納入“數(shù)是數(shù)出來(lái)的”認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生算3.8×1.2就是數(shù)38×12個(gè)0.01，于此認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)同步豐盈。

【教學(xué)片段3】

師：根據(jù)38×12=456直接寫得數(shù)，不計(jì)算，帶著找規(guī)律的眼光來(lái)思考。

生：①3.8×12，結(jié)果是456個(gè)0.1，也就等于45.6。②0.38×12，結(jié)果是456個(gè)0.01，也就等于4.56。③0.38×1.2，結(jié)果是456個(gè)0.001，也就等于0.456。④0.38×0.12，結(jié)果是456個(gè)0.0001，也就等于0.0456。

師：自己再出兩題。

生：0.038×12，結(jié)果是456個(gè)0.001，也就等于0.456。

生：我能出一個(gè)和你答案一樣的算式，0.0038×120，結(jié)果也是456個(gè)0.001。

生：這些題目在講同一個(gè)數(shù)學(xué)故事，都是數(shù)456個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位。

師：根據(jù)4.56÷3.8=1.2，填上合適的數(shù)，45.6÷（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）=1.2，0.456÷（? ? ）=1.2，（? ? ）÷380=1.2，（? ? ）÷0.038=1.2。

【賞析】徐老師在復(fù)習(xí)乘除法時(shí)，花了更多的時(shí)間，讓思維有了更多的“掙扎”。由此，學(xué)生也能體會(huì)到運(yùn)算的背后有著運(yùn)算律的支撐。例如，學(xué)生說(shuō)的“0.38×1.2，結(jié)果是456個(gè)0.001，也就等于0.456”，這是多次利用了乘法交換律和結(jié)合律，具體過(guò)程是：0.38×1.2=（38×0.01）×（12×0.1）=（38×12）×（0.01×0.1）=456×0.001=0.456。在此，也可以看到小數(shù)乘法運(yùn)算中還有一個(gè)難點(diǎn)就是理解兩個(gè)小數(shù)相乘，其結(jié)果的計(jì)數(shù)單位對(duì)于原來(lái)的兩個(gè)乘數(shù)已經(jīng)發(fā)生了變化，一如0.38×1.2中，0.38數(shù)的是38個(gè)0.01，1.2數(shù)的是12個(gè)0.1，兩數(shù)相乘，數(shù)的是0.01×0.1即0.001這個(gè)計(jì)數(shù)單位。而這也提醒我們小數(shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)要放在整體視野中考量，其意義要突出小數(shù)是不斷“十分”的產(chǎn)物，如0.01是0.1十分后，數(shù)出其中1份的數(shù)，0.001是0.01十分后，數(shù)出其中1份的數(shù)……

縱觀全課，徐老師從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)發(fā)端教學(xué)，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程中的表現(xiàn)，做出了單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（教學(xué)片段1）、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)（教學(xué)片段2）、拓展結(jié)構(gòu)（教學(xué)片段3）的診斷評(píng)價(jià)，然后分三個(gè)環(huán)節(jié)依次逐級(jí)提升學(xué)生的理解水平：學(xué)生一開(kāi)始只有關(guān)于小數(shù)的單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，接著徐老師引導(dǎo)串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，以核心概念“計(jì)數(shù)單位”統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)，最后學(xué)生在現(xiàn)象的一致性中，抽象出小數(shù)的四則運(yùn)算同整數(shù)四則運(yùn)算一樣，都是依據(jù)運(yùn)算律數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。三次教師的教，也是三次學(xué)生的學(xué)，我們看見(jiàn)了學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)維度、認(rèn)知結(jié)構(gòu)維度在增長(zhǎng)，面對(duì)思維的挑戰(zhàn)也逐漸組織得有序有理。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校？搖？搖？搖責(zé)任編輯：王彬）