由一個(gè)結(jié)論深度探究同構(gòu)思想在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用

柯桂宏 林彩鳳

【摘 要】 在近幾年高考題壓軸題研究中發(fā)現(xiàn)，用同構(gòu)思想解決問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn).本文立足于課本，探索同構(gòu)思想的來(lái)源，深度探究同構(gòu)思想在高考函數(shù)題、解析幾何題、經(jīng)典幾何結(jié)論證明中的巧妙應(yīng)用，讓學(xué)生理解和掌握同構(gòu)思想運(yùn)用的基本步驟和基本推理過(guò)程.本文先從具體例子過(guò)度到用同構(gòu)法探究證明解析幾何結(jié)論、一般的同構(gòu)函數(shù)模型，從個(gè)別到一般，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 同構(gòu)思想;深度探究;高考?jí)狠S題;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1 同構(gòu)思想原理溯源

數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指具有相同結(jié)構(gòu)的兩個(gè)式子，但是變量不同.同構(gòu)式的思想來(lái)源于函數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)的結(jié)論：設(shè)函數(shù)f（x）在定義域D上是一個(gè)增函數(shù)，當(dāng)f（x1）>f（x2），則有x1>x2;當(dāng)f（x1）=f（x2），則有x1=x2;當(dāng)f（x1）<f（x2），則有x1<x2.同構(gòu)思想的本質(zhì)就是構(gòu)建相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值f（x1）、f（x2）之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量x1、x2的關(guān)系，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易解決問(wèn)題.利用同構(gòu)思想需要掌握以下幾個(gè)關(guān)鍵的步驟：

（1）找出同構(gòu)函數(shù)，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)，化簡(jiǎn)，變形等方法找出相同結(jié)構(gòu)的函數(shù);

（2）研究同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)直接法或者求導(dǎo)研究同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性;

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值f（x1）、f（x2）之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量x1、x2的關(guān)系[1].

在高考中，函數(shù)題、解析幾何題基本是壓軸題，難度比較大，但對(duì)于近幾年高考?jí)狠S題，使用同構(gòu)思想可以巧妙簡(jiǎn)單地解決.下面以數(shù)學(xué)試題為例，從不同方面深度研究同構(gòu)思想的作用.

2 同構(gòu)思想的應(yīng)用

2.1 同構(gòu)思想在函數(shù)高考?jí)狠S題的應(yīng)用2.1.1 雙變?cè)耐瑯?gòu)式[2]

例1 （2020全國(guó)高考二卷理科數(shù)學(xué)11題）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ）.A.ln（y-x+1）>0? B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0? D.ln|x-y|<0

分析 （1）考察的對(duì)象是指數(shù)函數(shù)，將不等式移項(xiàng)變形為2x-3-x<2y-3-y，不等式左右兩邊是結(jié)構(gòu)相同的式子，得到同構(gòu)函數(shù)為f（t）=2t-3-t;

（2）由直接法得知函數(shù)f（t）是在R上單調(diào)遞增;

（3）因?yàn)閒（x）<f（y），由函數(shù)f（t）單調(diào)性知x<y.

因此去判斷各個(gè)選項(xiàng)得知A是正確，B是錯(cuò)誤，C，D是無(wú)法判斷，故選A.

例2 （2020全國(guó)高考一卷理科數(shù)學(xué)12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（? ）.

A.a>2b??? B.a<2bC.a>b2 ????D.a<b2

分析 （1）考察的對(duì)象是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，將等式右邊變形為4b+2log4b=22b+log22b-1，所以2a+log2a<22b+log22b，不等式左右兩邊是結(jié)構(gòu)相同的式子，得到同構(gòu)函數(shù)為f（t）=2t+log2t;（2）由直接法得知函數(shù)f（t）是在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

（3）因?yàn)閒（a）<f（2b），由函數(shù)f（t）單調(diào)性知a<2b.

因此去判斷各個(gè)選項(xiàng)得知B是正確，所以選B.

例3 （2017全國(guó)高考一卷理科數(shù)學(xué)11題）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（? ）.

A.2x<3y<5z? B.5z<2x<3y

C.3y<5z<2x? D.3y<2x<5z

分析 （1）本題要比較2x，3y，5z的大小，設(shè)2x=3y=5z=k（k>1），解得x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以2x=2lnkln2，3y=3lnkln3，5z=5lnkln5，又因?yàn)閘nk>0，故比較2x，3y，5z的大小，即比較2ln2，3ln3，5ln5大小，而這三個(gè)式子結(jié)構(gòu)相同，得到同構(gòu)函數(shù)為f（t）=tlnt;

（2）求導(dǎo)得知f（t）在（e，+∞）是增函數(shù);

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性知，因?yàn)閒（2）=f（4），所以f（3）<f（4）<f（5），故3y<2x<5z，選D.

以上三道高考?jí)狠S題的條件中有函數(shù)不等式，有方程，有二元或三元等不同條件，但本質(zhì)上都是比較函數(shù)自變量的大小.通過(guò)移項(xiàng)、放縮、變形等方法把復(fù)雜的式子變形成結(jié)構(gòu)相同的式子，從而找出同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題.通過(guò)對(duì)不同層次的高考?jí)狠S題的研究發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)思想真是一把利器，不用蠻力也能巧妙輕松解決問(wèn)題.

2.1.2 指對(duì)混合的同構(gòu)式

例4 （2020山東高考21（2））已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析 （1）由f（x）≥1，可得aex-1+lnax≥1，移項(xiàng)得aex-1≥1-lnax=lnexa，兩邊同時(shí)乘ex化簡(jiǎn)得xex≥exalnexa.如果結(jié)構(gòu)同左，用恒等式x=elnx化不等式右邊為exalnexa=elnexalnexa，所以不等式可變形為xex≥lnexaelnexa，不等式左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子，得到同構(gòu)函數(shù)為F（t）=tet;

（2）求導(dǎo)知函數(shù)F（t）=tet在（0，+∞）是增函數(shù);

（3）因?yàn)镕（x）≥Flnexa，由函數(shù)F（t）=tet的單調(diào)性知x≥lnexa，最后進(jìn)行參變分離得出lna≥lnx-x+1，求出a的取值范圍為[1，+∞）.

例5 （2018全國(guó)高考一卷文科數(shù)學(xué)21（2））已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1，證明：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥0.

分析 （1）當(dāng)a≥1e，先放縮得f（x）≥exe-lnx-1，所以要證f（x）≥0，即證exe-lnx-1≥0，移項(xiàng)化簡(jiǎn)得exe≥lnex，兩邊同乘ex得xex≥exlnex，如果結(jié)構(gòu)同左，即用x=elnx化不等式右邊為exlnex=elnexlnex，所以不等式為xex≥elnexlnex，得到同構(gòu)函數(shù)為F（t）=tet;

（2）求導(dǎo)知函數(shù)F（t）=tet在（0，+∞）是增函數(shù);

（3）因?yàn)镕（x）≥F（lnex），由函數(shù)F（t）=tet的單調(diào)性知x≥lnex，易證x≥lnex成立，所以當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥0.

以上兩道題目是高考的壓軸題，一個(gè)是恒成立求參數(shù)范圍，一個(gè)是證明不等式，兩道題都含有ex和lnx函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)屬于跳階函數(shù)，冪函數(shù)x是ex和lnx的溝通橋梁，通過(guò)恒等式x=elnx，可以把冪函數(shù)化成指數(shù)函數(shù)，通過(guò)恒等式x=lnex，可以把冪函數(shù)化成對(duì)數(shù)函數(shù).例如幾個(gè)常見(jiàn)的同構(gòu)函數(shù)：（1）f（x）=xlnx，（2）f（x）=lnxx，（3）f（x）=xex，（4）f（x）=exx，由恒等式x=elnx，可以把（1）轉(zhuǎn)化為f（x）=xlnx=elnxlnx.同理，用恒等式x=lnex可以把（3）轉(zhuǎn)化為f（x）=xex=exlnex.掌握了這種指對(duì)互化的魔法，就可以把指對(duì)函數(shù)化成相同結(jié)構(gòu)函數(shù)，從而輕松秒殺高考?jí)狠S題.2.1.3 常見(jiàn)的同構(gòu)函數(shù)模型

（1）雙變?cè)耐瑯?gòu)函數(shù)經(jīng)典模型[3]

①和差型：f（x1）-f（x2）>k（x1-x2）f（x1）-kx1>f（x2）-kx2同構(gòu)函數(shù)為φ（t）=f（t）-kt;

②商型：f（x1）-f（x2）x1-x2>k（當(dāng)x1>x2）f（x1）-f（x2）>k（x1-x2）同構(gòu)函數(shù)為φ（t）=f（t）-kt;

③積型：x1x2[f（x1）-f（x2）]>k（x1-x2）（當(dāng)x1x2>0）f（x1）-f（x2）>k1x2-1x1

f（x1）+kx1>f（x2）+kx2同構(gòu)函數(shù)為φ（t）=f（t）+kt.

（2）指對(duì)混合的同構(gòu)經(jīng)典模型

①和差型：x+ex>x+lnxx+ex>elnx+lnx同構(gòu)函數(shù)為φ（t）=t+et;

②商型：exx>xlnxexx>elnxlnx同構(gòu)函數(shù)φ（t）=ett;

③積型：xex>xlnxxex>elnxlnx同構(gòu)函數(shù)φ（t）=tet;

④湊型：kekx>lnxkxekx>xlnxkxekx>elnxlnx同構(gòu)函數(shù)為φ（t）=tet.2.2 同構(gòu)思想在解析幾何高考?jí)狠S題的應(yīng)用

同構(gòu)思想不僅在高考函數(shù)壓軸題中廣泛使用，在高考解析幾何壓軸題中也起到了很重要的作用.在解析幾何中，同構(gòu)法完美地結(jié)合數(shù)和形，利用圖形對(duì)稱(chēng)，方程結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)進(jìn)行同構(gòu)，設(shè)而不求地解決問(wèn)題，既打破了解析幾何的“聯(lián)立方程求解”的固定思維，還可以大大減少計(jì)算，化難為易，化繁為簡(jiǎn).下面通過(guò)例子不同解法深度探究同構(gòu)思想在解析幾何壓軸的應(yīng)用.

例6 （2021八省聯(lián)考單選第7題）已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為（? ）.

A.x+2y+1=0?? B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

解法1 設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與圓方程求解出直線方程，再由直線方程和拋物線方程求出點(diǎn)B、C，最后再求直線BC.（具體過(guò)程省略）圖1

解法2（同構(gòu)法） 點(diǎn)A在拋物線y2=2px上，即p=1，拋物線方程為y2=2x.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A（2，2）與圓（x-2）2+y2=1相切的直線的方程為：kx-y+2-2k=0，即圓心（2，0）到切線的距離d=1，解得k=±3，如圖1，kAB=3，kAC=-3.

設(shè)By212，y1，Cy222，y2，則kAB=y1-2y212-2=2y1+2=3，kAC=2y2+2=-3，分別平方得3y21+12y1+8=0，3y22+12y2+8=0，將y21=2x1，y22=2x2化簡(jiǎn)得直線AB：3x1+6y1+4=0，直線AC：3x2+6y2+4=0，所以BC：3x+6y+4=0，故選B.解法3（同構(gòu)法） 由題意已知拋物線為y2=2x，設(shè)By212，y1，Cy222，y2，設(shè)直線AB：y-2=y1-2y212-2（x-2），化簡(jiǎn)為2x-（y1+2）y+2y1=0，又因?yàn)橹本€AB是圓的切線，所以|4+2y1|4+（y1+2）2=1，化簡(jiǎn)得3y21+12y1+8=0，又y21=2x1化簡(jiǎn)得3x1+6y1+4=0;因?yàn)橹本€AC也是過(guò)A點(diǎn)的切線，結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，故直線AC：3x2+6y2+4=0，所以BC：3x+6y+4=0，故選B.從上面三種解法分析，第一種方法是通法，這一方法比較容易想到，但是計(jì)算非常復(fù)雜，讓學(xué)生望而生畏.解法2是發(fā)現(xiàn)切線AB，AC的斜率通過(guò)平方之后代數(shù)式的結(jié)構(gòu)相同，找出同構(gòu)方程，“設(shè)而不求”，減少計(jì)算量，解決問(wèn)題.解法3是從圖形的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，直線AB，AC都是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和圓的切線，從而發(fā)現(xiàn)直線方程的結(jié)構(gòu)是相同，通過(guò)同構(gòu)輕松巧妙解決問(wèn)題.2.3 同構(gòu)思想在解析幾何證明經(jīng)典結(jié)論中的應(yīng)用

同構(gòu)解法不僅是解高考?jí)狠S題的寶劍，也是我們數(shù)學(xué)結(jié)論證明的利器，下面通過(guò)證明以下兩個(gè)經(jīng)典結(jié)論體現(xiàn)同構(gòu)思想的作用.圖2

1.（蒙日?qǐng)A定理）如右圖2所示，設(shè)橢圓的方程是x2a2+y2b2=1，兩切線PN和PM互相垂直，交于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P在圓x2+y2=a2+b2上.

證明（同構(gòu)法） 設(shè)P（x0，y0），設(shè)過(guò)P（x0，y0）的直線方程為y-y0=k（x-x0），與橢圓方程為聯(lián)立為y-y0=k（x-x0），x2a2+y2b2=1，化簡(jiǎn)得（a2k2+b2）x2+2ka2（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.令Δ=0，化簡(jiǎn)得a2k2+b2=（y0-kx0）2，整理得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.設(shè)PM，PN的斜率為k1，k2，k1，k2是（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0的兩根，所以k1·k2=b2-y20a2-x20=-1，所以得x20+y20=a2+b2，故點(diǎn)P在圓x2+y2=a2+b2上.

2.（阿基米德三角形性質(zhì)）拋物線的弦兩端點(diǎn)M，N，

過(guò)M，N分別做切線交于P，三角形PMN叫阿基米德三角形，設(shè)底邊MN的中點(diǎn)為K，則PK平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸[4].

證明 （如圖3所示）設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），則過(guò)M點(diǎn)的切線方程為x1x=p（y+y1），同理過(guò)N點(diǎn)的切線方程為x2x=p（y+y2），又同時(shí)過(guò)P（x0，y0），代入得x1x0=py0+x212p，x2x0=py0+x222p，由于上述兩個(gè)式子結(jié)構(gòu)相同，可以得到關(guān)于x1，x2的同構(gòu)方程xx0=py0+x22p，化簡(jiǎn)得x2-2x0x+2py0=0，因此x1+x22=x0，所以PK∥y軸.

3 結(jié)束語(yǔ)

從上述的例子中看出同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)中的重要作用，同構(gòu)思想突破常規(guī)的思維，為我們解題帶來(lái)了新的思路，新的方法，新的視野.

從具體的函數(shù)和解析幾何同構(gòu)式的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)思想不僅可以提高學(xué)生運(yùn)算能力和分析能力，還可以提升學(xué)生邏輯推理能力，這符合《新課標(biāo)》數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)計(jì)算最高水平要求，也是計(jì)算的最高層次素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1] 陳選明.變形無(wú)意同構(gòu)有法，同構(gòu)遇上相似的你[J].高中數(shù)理化，2021（05）：1-2.

[2] 候有岐.解開(kāi)三道高考試題背后的“秘密”——同構(gòu)[J].數(shù)理天地（高中版），2021（6）：24-28.

[3] 張春華.同構(gòu)函數(shù)在解決高考?jí)狠S題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2021（10）：42-43.

[4] 周正文.同構(gòu)算法顯神力，核心素養(yǎng)從中來(lái)[J].知識(shí)文庫(kù)，2021（04）：53-55.

作者簡(jiǎn)介 柯桂宏（1990—），女，中學(xué)二級(jí)教師;榮獲廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)等;主要從事高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究.林彩鳳（1989—），女，中學(xué)二級(jí)教師;主要從事高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究.