以概念構(gòu)圖促進(jìn)深層理解
——《圓的認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)實(shí)踐與思考

□ 胡佳萍 韋 丹

《圓的認(rèn)識(shí)》是一節(jié)概念課，這節(jié)課中涉及的概念比較多。教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)后能否主動(dòng)建立起這些概念之間的聯(lián)系。指向理解進(jìn)階的概念構(gòu)圖教學(xué)，可以充分把原本不可見(jiàn)的學(xué)生的理解狀態(tài)、思考路徑、思維方法呈現(xiàn)出來(lái)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，幫助他們形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。基于上述思考，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下教學(xué)路徑（如圖1）。

圖1

一、自學(xué)教材，初學(xué)構(gòu)圖，呈現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)性理解

學(xué)生通過(guò)自學(xué)，對(duì)“圓”會(huì)形成一種個(gè)性化的理解，有了初步的認(rèn)識(shí)。這時(shí)可請(qǐng)學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)性理解進(jìn)行初步概念構(gòu)圖。教師分析這些作品，按“概念缺失化呈現(xiàn)”“概念零散化呈現(xiàn)”“部分概念聯(lián)結(jié)化呈現(xiàn)”這三種情況進(jìn)行分類(lèi)整理（如表1）。

表1 學(xué)生經(jīng)驗(yàn)性理解的不同類(lèi)型

續(xù)表

從表1可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的概念理解水平呈現(xiàn)散點(diǎn)形態(tài)，缺乏內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解。由此確定本節(jié)課的重點(diǎn)：借助概念構(gòu)圖幫助學(xué)生建立概念聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的概念理解層次。

二、借助材料，互學(xué)論圖，形成衍生性理解

在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，針對(duì)性地設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)。一是畫(huà)圓操作，促進(jìn)學(xué)生理解概念之間的關(guān)系；二是比較史料，揭示圓的本質(zhì)。這兩個(gè)活動(dòng)能幫助學(xué)生逐步感悟圓的本質(zhì)，達(dá)到“明晰聯(lián)系、抽象本質(zhì)”的目標(biāo)。

（一）操作中明晰聯(lián)系

師：每位同學(xué)都準(zhǔn)備了圓規(guī)，你能用圓規(guī)在紙上畫(huà)一個(gè)圓嗎？你能在圓中標(biāo)出一條半徑和一條直徑嗎？大家先自己試試看。

（學(xué)生動(dòng)手操作）

生：我按牢針尖，旋轉(zhuǎn)鉛筆就畫(huà)出了一個(gè)圓。圓心到圓上的距離就是一條半徑，再延伸下去就是一條直徑。

生：我先確定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，再把圓規(guī)兩腳間的距離作為半徑，針尖不動(dòng)，鉛筆旋轉(zhuǎn)一圈。直徑是兩端都在圓上的，所以穿過(guò)圓心再畫(huà)一條線(xiàn)段就是直徑。

師（小結(jié)）：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫作半徑，一般用字母r表示；通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫作直徑，一般用字母d表示。

師：剛才同學(xué)們介紹的畫(huà)圓方法，有什么相同的地方？

生：都是繞著圓心畫(huà)一條曲線(xiàn)。

生：曲線(xiàn)離圓心的距離不能變（也就是曲線(xiàn)上的點(diǎn)離圓心的距離不能變）。

師（小結(jié)）：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都不變。

師：你還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：半徑可以畫(huà)無(wú)數(shù)條，同一個(gè)圓里半徑都相等。

生：一條直徑由兩條半徑組成，所以直徑是半徑的2倍。

生：圓規(guī)兩腳間的距離越大畫(huà)出的圓越大，圓規(guī)兩腳間的距離越小畫(huà)出的圓越小，因此半徑?jīng)Q定圓的大小。

生：圓心的位置不同，圓的位置就不同，因此圓心決定圓的位置。

師（小結(jié)）：通過(guò)剛才的活動(dòng)和討論，我們知道了因?yàn)閳A心決定圓的位置，所以在畫(huà)圓時(shí)針尖不能動(dòng)；因?yàn)榘霃經(jīng)Q定圓的大小，所以畫(huà)圓時(shí)圓規(guī)兩腳間的距離不能變。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)交流，你對(duì)原來(lái)的構(gòu)圖有什么修改或補(bǔ)充？

生：我把圖（如圖2）畫(huà)得太簡(jiǎn)單了，我可以再補(bǔ)充直徑、半徑和圓心的字母式以及它們的特征。

圖2

生：在我的圖（如圖3）中，我把書(shū)本上講到的所有知識(shí)都像一個(gè)圓圈一樣發(fā)散開(kāi)。自己動(dòng)手畫(huà)圓之后，我發(fā)現(xiàn)圓心決定位置，半徑和直徑?jīng)Q定圓的大小，因此我會(huì)再調(diào)整這個(gè)概念圖的位置和順序。

圖3

生：通過(guò)自學(xué)書(shū)本，我知道了圓心、半徑和直徑分別用什么字母表示，通過(guò)畫(huà)圓，我了解了這三者的數(shù)量以及它們的特征，接下去我會(huì)對(duì)作品（如圖4）做一些修改，把概念間的關(guān)系表達(dá)得更加清晰。

圖4

借助畫(huà)圓的過(guò)程，學(xué)生完善了腦海中缺失的概念，深刻體會(huì)到各概念之間的關(guān)系，讓概念構(gòu)圖從“原來(lái)的零散概念”走向了“概念之間的聯(lián)結(jié)”。例如，從“半徑”這個(gè)概念走向“半徑的定義（半徑是連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段）”“半徑的特征（半徑有無(wú)數(shù)條，并且半徑?jīng)Q定圓的大?。薄鞍霃脚c直徑的關(guān)系（在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍）”。學(xué)生自主修正和完善概念之間關(guān)系的過(guò)程，就是慢慢走向深度理解的過(guò)程。

同時(shí)，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生也更加深刻地感悟到“圓是一條曲線(xiàn)”的本質(zhì)屬性，明白“定點(diǎn)”和“定長(zhǎng)”是圓的特別之處。但這時(shí)讓學(xué)生來(lái)描述什么是圓，無(wú)疑是較煩瑣的或者是不精準(zhǔn)的，因此，引入史料進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)是幫助學(xué)生建立知識(shí)聯(lián)結(jié)的助推器。

（二）比較中抽象本質(zhì)

教師呈現(xiàn)我國(guó)古代名著《墨經(jīng)》中的這樣一句話(huà)：圓，一中同長(zhǎng)也。

師：怎么理解這句話(huà)呢？

生：一中指的是“一個(gè)圓心”，同長(zhǎng)指的是“半徑有無(wú)數(shù)條且相等”和“直徑有無(wú)數(shù)條且都相等”。

生：其實(shí)用圓規(guī)畫(huà)圓也是遵循“一中同長(zhǎng)”的原理，一中指的是針尖，同長(zhǎng)指的是圓規(guī)兩腳間叉開(kāi)的距離都相等。

生：圓是一條曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)與圓心都保持相等的長(zhǎng)度。

師：把《墨經(jīng)》中的“圓，一中同長(zhǎng)也”放到我們的概念圖里，可以嗎？你會(huì)怎么完善概念圖？

對(duì)史料的解讀和比較，可以讓學(xué)生更深刻地體會(huì)到圓的本質(zhì)，即圓是一條“一中同長(zhǎng)”的曲線(xiàn)。由此學(xué)生將用圓規(guī)畫(huà)圓的動(dòng)作、圓的三要素特征、《墨經(jīng)》中“一中同長(zhǎng)”這三種不同的表征方式有效關(guān)聯(lián)起來(lái)，形成豐富、深入、抽象的概念理解。

三、把握整體，合學(xué)正圖，完善結(jié)構(gòu)化理解

學(xué)生在弄清了各概念之間的聯(lián)系、明晰了圓的本質(zhì)后，依舊不一定能將其理解清晰、有序地表示出來(lái)。這時(shí)，教學(xué)進(jìn)入“合學(xué)正圖”階段，即讓學(xué)生通過(guò)討論、合作等方式來(lái)完善理解，對(duì)已有概念圖進(jìn)行修正或重構(gòu)，如補(bǔ)充、關(guān)聯(lián)、提煉等。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中會(huì)呈現(xiàn)出不同的理解成果，不斷地深化理解。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你帶著自己的理解與小組成員一起討論如何修改概念圖?？梢栽谠瓉?lái)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上修改，也可以重新構(gòu)圖。

（小組討論后合作構(gòu)圖）

生：我來(lái)解釋一下我們小組的作品（如圖5）。我們認(rèn)為圓有圓心、半徑和直徑三要素，所以把這三者放在圓的后面，加上連接詞就能把這些概念之間的關(guān)系說(shuō)得更清楚了。它們都有自己的特征，如圓心用字母O表示，只有1 個(gè)，它決定圓的位置。半徑和直徑也有自己的特點(diǎn)。

圖5

生：我們組認(rèn)為應(yīng)該把“直徑”和“半徑”放在同一邊，“圓心”放在另一邊（如圖6）。因?yàn)樗鼈兊奶攸c(diǎn)完全不同，也沒(méi)有聯(lián)系。同時(shí)，把無(wú)數(shù)條且都相等和半徑、直徑?jīng)Q定圓的大小這兩個(gè)共同特征，放在“直徑”和“半徑”這一邊。

圖6

生：聽(tīng)了前面同學(xué)的討論，我認(rèn)為在構(gòu)圖的過(guò)程中還可以增加一些東西，比如直徑與半徑的聯(lián)系、畫(huà)圓的方法等。我還想到，圓心是直徑的中點(diǎn)，也是半徑的端點(diǎn)，因此還可以繼續(xù)深挖這些概念間的聯(lián)系。

“正圖”這個(gè)動(dòng)態(tài)修正的過(guò)程可以促使學(xué)生不斷自主學(xué)習(xí)、深入思考、求聯(lián)求通。概念構(gòu)圖以圖促思，其實(shí)質(zhì)是把理解外化，這有利于學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展元認(rèn)知，形成具有一定層級(jí)關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)理解。

四、聯(lián)系生活，拓學(xué)用圖，促進(jìn)抽象性理解

拓學(xué)用圖是學(xué)生在理解了圓的本質(zhì)、形成了結(jié)構(gòu)化理解之后，檢驗(yàn)自己能否自覺(jué)運(yùn)用這些理解來(lái)解釋生活中的現(xiàn)象或概念的過(guò)程，是教學(xué)時(shí)不可忽視的環(huán)節(jié)。在此環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了兩個(gè)研究任務(wù)（如圖7），以幫助學(xué)生應(yīng)用和拓展，進(jìn)一步強(qiáng)化理解，從而形成抽象、精練的認(rèn)知。

圖7

師：我們先來(lái)看任務(wù)1，你能解釋它們?yōu)槭裁炊际菆A的嗎？

生：圓形車(chē)輪滾動(dòng)時(shí)，車(chē)軸離地面的距離始終相等，更平穩(wěn)。

生：圍著圓桌吃火鍋，所有人與火鍋的距離都相等，更方便。

生：圍成圓形的套圈游戲，所有人離紅旗的距離都相等，更公平。

師：這些現(xiàn)象中體現(xiàn)了圓的什么知識(shí)？

生：同一個(gè)圓里所有的半徑都相等。

生：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等。

師：我們?cè)賮?lái)看任務(wù)2，“生活中我們經(jīng)常這樣描述圓”，你覺(jué)得這些描述都準(zhǔn)確嗎？

生：硬幣的形狀或者說(shuō)輪廓是圓的。

生：沒(méi)有角的圖形不一定是圓。

生：前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，圓的本質(zhì)是一條“一中同長(zhǎng)”的曲線(xiàn)，在概念構(gòu)圖上也清晰地體現(xiàn)了這一點(diǎn)，而球是立體圖形，所以不能說(shuō)球是圓形的。

師：通過(guò)剛才的研究，你能根據(jù)自己的收獲進(jìn)一步修改構(gòu)圖嗎？

（學(xué)生第三次修改構(gòu)圖，教師呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖8和圖9）

圖9

以上，學(xué)生借助解釋和應(yīng)用的過(guò)程，深化對(duì)圓的本質(zhì)的理解，以完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過(guò)程中，思辨貫穿始終，突出體現(xiàn)了學(xué)以致用和以用促學(xué)的教學(xué)理念，學(xué)生在概念理解和數(shù)學(xué)思維方面都得到了很好的發(fā)展。

總之，概念課的學(xué)習(xí)要理解概念的本質(zhì)，要重視概念間的聯(lián)結(jié)。概念構(gòu)圖很好地把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生，使學(xué)生從“被動(dòng)、接受、操練”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸鲃?dòng)、探究、思辨”，讓思維可視化、概念具象化、知識(shí)結(jié)構(gòu)化。