數(shù)形結(jié)合 突破難點(diǎn)

吳曉雄

【摘 要】本文以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”的教學(xué)實(shí)踐為例，圍繞“數(shù)形結(jié)合”的思想，從起因、錯(cuò)題分析、教學(xué)改進(jìn)前的思考、教學(xué)改進(jìn)嘗試、改進(jìn)實(shí)踐后的成效這幾個(gè)方面層層深入地探究教學(xué)新方法，從而突破教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)效率。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)探索

一、緣起

某省小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中有這樣一道題（見圖1）。

測(cè)試下來，正確率比較低。那么，筆者所在的區(qū)域?qū)W校學(xué)生的情況如何呢？筆者在一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校隨機(jī)抽取了五年級(jí)的一個(gè)班級(jí)的學(xué)生用這道題進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下（見圖2）。

測(cè)試班應(yīng)測(cè)41人，實(shí)測(cè)41人，選項(xiàng)選A的有9人，選B的有3人，選C的有10人，選D的有19人。

二、錯(cuò)題分析

此題的正確選項(xiàng)應(yīng)選D，從測(cè)試結(jié)果情況來看，筆者覺得有點(diǎn)出乎意料，因?yàn)樘K教版數(shù)學(xué)教材把“乘法分配律”這個(gè)內(nèi)容安排在四年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行教學(xué)，而這個(gè)測(cè)試是安排在四年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的，按理說，學(xué)生剛學(xué)過，而且也復(fù)習(xí)整理過，不應(yīng)該只有46.3%的正確率，但事實(shí)擺在眼前，那么，是什么原因造成如此低下的正確率？筆者個(gè)別訪談了幾位五年級(jí)的任課教師，他們普遍認(rèn)為，“乘法分配律”比較難教。那么，乘法分配律到底“難”在哪兒？

（一）形式復(fù)雜

概括敘述乘法結(jié)合律比較容易，但敘述乘法分配律就比較難。我們不妨把乘法結(jié)合律與乘法分配律的文字表述與字母公式進(jìn)行比較（見表1）。

我們可以看出，乘法結(jié)合律是只有乘法的一種運(yùn)算定律，書寫形式相對(duì)比較簡(jiǎn)單，概念的敘述比較清晰，而乘法分配律是含有乘法和加法兩種混合運(yùn)算的運(yùn)算律，等式中既有加法計(jì)算，又有乘法計(jì)算，而且等式左右兩邊的數(shù)字不完全相同（等式左邊有三個(gè)數(shù)字，等式右邊有四個(gè)數(shù)字），表達(dá)的形式也不對(duì)稱（等式左邊有小括號(hào)，等式右邊沒有小括號(hào);等式左邊只有一個(gè)乘號(hào)，等式右邊有兩個(gè)乘號(hào)），教材安排的教學(xué)過程是“解決一個(gè)實(shí)際問題—看到一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象—舉出更多例子—在眾多案例中抽象概括”，要求學(xué)生根據(jù)給出的三個(gè)等式抽象概括出乘法分配律的規(guī)律確實(shí)有點(diǎn)勉為其難。

（二）應(yīng)用靈活

乘法分配律是所有運(yùn)算律中應(yīng)用相對(duì)比較廣泛的運(yùn)算律，而且形式多樣，應(yīng)用非常靈活，特別是它的隱蔽性特別強(qiáng)，變式又特別多，導(dǎo)致學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算時(shí)往往漏洞百出。下面是學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)的幾種常見的錯(cuò)誤。

（1）405×16=405×10+6

錯(cuò)因分析：乘法分配律理解不透，沒有掌握“分別相乘”的本質(zhì)。

（2）405×（2×8）=405×2+405×8

錯(cuò)因分析：乘法分配律理解模糊，與乘法結(jié)合律混淆。

（3）405×16=400×10+5×6

錯(cuò)因分析：乘法分配律理解不深刻，憑感覺拆分計(jì)算。

……

從以上實(shí)例，我們可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律在客觀上存在著很大的認(rèn)知困難，乘法分配律一直以來也被公認(rèn)為是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。另外，筆者在與一些任課教師的交流中發(fā)現(xiàn)，大家也都認(rèn)為，乘法分配律是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法交換律、結(jié)合律之后再一次深入地認(rèn)識(shí)運(yùn)算律。與乘法交換律、結(jié)合律相比，乘法分配律的形式復(fù)雜、算理抽象、變式多樣，由于學(xué)生沒有生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)及相關(guān)認(rèn)識(shí)，他們沒能真正理解其內(nèi)涵，只是純粹地模仿。課后，學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的遺忘速度非?？?，且不會(huì)靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，哪怕硬記了分配律的各種類型，依舊會(huì)邊記邊忘，更談不上從真正意義上去理解。但是，教師苦于想不出好的教學(xué)方法去幫助學(xué)生理解乘法分配律的內(nèi)涵。

三、教學(xué)改進(jìn)前的思考

通過對(duì)教材、學(xué)生學(xué)情前測(cè)和教師訪談的分析，筆者認(rèn)為，學(xué)生只是機(jī)械地記住了乘法分配律的形式，而沒有很好地理解乘法分配律的意義的根本原因是學(xué)生在理解意義時(shí)缺少一個(gè)載體，這讓筆者想到“數(shù)形結(jié)合”的思想。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！比绻處熢诮虒W(xué)時(shí)能輔之以直觀的圖形模型來幫助理解，從模型的角度組織教學(xué)，可以更加凸顯“抽象—推理—建?！钡臄?shù)學(xué)思想，效果肯定會(huì)更好。

基于以上考慮，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，以“有一條邊相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和”的素材為教學(xué)載體，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷具體問題、類比推理、建立模型、解釋模型的過程，充分感受數(shù)學(xué)模型的思想;在后續(xù)的拓展中再不斷賦予模型“生長(zhǎng)”的力量，讓乘法分配律的模型既源于圖形，又高于圖形，使學(xué)生對(duì)乘法分配律意義的理解更深刻、更豐滿。

四、教學(xué)改進(jìn)嘗試

（一）談話引入

（課件出示長(zhǎng)方形圖）

師：同學(xué)們，這是什么圖形？你會(huì)求長(zhǎng)方形的面積嗎？（長(zhǎng)×寬）還可以怎樣求？（寬×長(zhǎng)）。

（二）感受模型

師出示王大爺?shù)牟说貓D（見圖3）。

（1）王大爺種了哪兩塊菜地？它們的長(zhǎng)和寬各是多少？

（2）你能提出有關(guān)面積計(jì)算的問題嗎？我們先來研究?jī)蓧K菜地的總面積。

（3）請(qǐng)你列綜合算式計(jì)算兩塊地的總面積。學(xué)生練習(xí)，教師巡視。

（4）交流算法[學(xué)生可能提出6×9+2×9和（6+2）×9]，師板書算式，說說你這種算法是先求什么，再求什么。多媒體動(dòng)畫演示合起來算的思路。

（5）比較得數(shù)，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9。

（6）小結(jié)：通過計(jì)算王大爺?shù)牟说孛娣e，我們得到了一個(gè)等式，等式的左邊是 ，等式的右邊是 。

（7）觀察這個(gè)等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【分析】由于兩個(gè)長(zhǎng)方形有一條邊的長(zhǎng)度是相等的，兩個(gè)長(zhǎng)方形能直接拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，學(xué)生計(jì)算面積之和時(shí)分開計(jì)算與合起來計(jì)算的思路很容易形成，在建立等式的同時(shí)將分與合的兩種思路建立起了必然的聯(lián)系。由此，抽象的算式有了直觀的形象支撐，變得生動(dòng)起來，算式的結(jié)構(gòu)特征也就一目了然，理解也就輕松容易多了。

（三）建立模型

1.自建模型

師：老師這里有這樣兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的總面積是這樣計(jì)算的。

課件出示：兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積為（6+4）×3。

師：你能根據(jù)這個(gè)算式畫出這兩個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生通過媒體展示交流，主要展示了兩種畫法：一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形分開畫，另一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形合起來畫。

師：這兩種畫法有什么不同？

師：你還能想到哪一個(gè)和它相等的算式？你是怎么知道這個(gè)算式是和它相等的？

師板書：（6+4）×3=6×3+4×3。

師（小結(jié)）：根據(jù)算式畫長(zhǎng)方形，我們又得到了一個(gè)等式，等式的左邊是 ，等式的右邊是 。

師：觀察一下這個(gè)等式，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

【分析】從算式回歸圖形讓學(xué)生將具有“分”與“合”特征的算式“想象”成兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度的邊的長(zhǎng)方形，緊接著引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立“圖形模型”。

2.驗(yàn)證說明

師：上面的兩組算式左右都相等嗎？左右兩邊的數(shù)有什么聯(lián)系？猜一猜，有這樣特點(diǎn)的等式還有哪些？你也能舉出這樣的例子嗎？請(qǐng)把你的例子寫下來。

【教師通過提出猜想，把集合圈放大，將“模型”推廣，以此來檢測(cè)它的普適性?！?/p>

學(xué)生在練習(xí)紙上舉例、驗(yàn)證。

師：交流并板書一個(gè)學(xué)生的例子。

師（小結(jié)）：有這樣特點(diǎn)的算式還有很多。

【分析】體驗(yàn)是最好的論證方法。學(xué)生通過“模型”的自主應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)了它的適用性，這使學(xué)生對(duì)腦海中乘法分配律“模型”的建立增強(qiáng)了“理解度”。

3.抽象概括

師：觀察這三個(gè)等式，它們有哪些相同的地方？把你的想法跟你的同桌交流一下。

師（小結(jié)）：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加。

【分析】由形到數(shù)再到文字表述，步步深入，從語言的描述中可以看出學(xué)生是否真正理解了“模型”。

師：剛才大家用文字?jǐn)⑹鲞@個(gè)運(yùn)算規(guī)律是不是有點(diǎn)麻煩，能不能跟乘法交換律一樣借助字母用一個(gè)式子就能表示出來？師板書：a ?b ?c

（a+b）×c=a×c+b×c

師（追問）：這個(gè)字母公式左邊表示什么？右邊呢？

師：跟剛才的文字比，感覺怎么樣？

師（小結(jié)）：字母符號(hào)是數(shù)學(xué)的特殊語言，用它來表示發(fā)現(xiàn)的運(yùn)算規(guī)律就顯得簡(jiǎn)潔明了。

師（揭示課題）：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)學(xué)上叫作乘法分配律。

師板書課題：乘法分配律。

師（追問）：你怎么理解“分配”兩個(gè)字的含義？

師板書箭頭←，←。

【用兩個(gè)箭頭來表示分別，體現(xiàn)乘法分配律最本質(zhì)的變化特征“分別去乘”，這時(shí)，學(xué)生大腦中已有了乘法分配律的雛形。】

4.解釋模型

師：我們借助計(jì)算長(zhǎng)方形的面積和發(fā)現(xiàn)了乘法分配律，那么，這個(gè)字母運(yùn)算規(guī)律（a+b）×c=a×c+b×c能不能看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢？

課件出示圖形（見圖4）。

師：如果它是甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，那a、b、c分別是圖中哪幾條些邊的長(zhǎng)度？（媒體演示）

師：a與b的位置可以交換嗎？為什么？

【根據(jù)字母等式來聯(lián)想圖形、在圖形中解釋模型，如此循環(huán)，可以把學(xué)生的認(rèn)識(shí)推向深入?！?/p>

（四）應(yīng)用模型

1.填一填

請(qǐng)你在□里填上合適的數(shù)，在○里填上合適的運(yùn)算符號(hào)。

（42+35）×2=42×□+35×□（為什么右邊的算式出現(xiàn)了兩個(gè)2）

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□○（□+□）（這個(gè)乘法分配律跟我們剛才學(xué)的有什么不一樣）

72×（30+6） =□○□○□○□（說說你是運(yùn)用什么運(yùn)算規(guī)律來想的）

2.想一想：算式聯(lián)想

（1）64×8+8×36

（2）86×（30+1）（錯(cuò)誤假象，“×1”可省略不寫嗎）

（3）（50+b）×c

（4）50×40+30×40+20×40（你是怎樣想的？在這里你又有什么發(fā)現(xiàn)？乘法分配律對(duì)于小括號(hào)里是三個(gè)數(shù)的和同樣適用）

【離開了直觀圖形，進(jìn)行算式的聯(lián)想，是對(duì)乘法分配律理解的檢測(cè)，也是一種更高水平的數(shù)學(xué)思考?！?/p>

3.試一試：豐富拓展

師：我們借助了兩個(gè)長(zhǎng)方形面積和的計(jì)算發(fā)現(xiàn)了乘法分配律，那么，像（65+45）×5=65×5+45×5這樣的等式是不是就一定表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢？還能表示其他的事情嗎？請(qǐng)把等式中的數(shù)填到下面的括號(hào)里：

一件上衣（ ? ）元，一條褲子（ ? ）元，買（ ? ）件上衣和（ ? ）條褲子一共要付多少元？

學(xué)生完成后，交流填寫的數(shù)據(jù)，再試著用生活中的其他事情來解釋。

師（小結(jié)）：乘法分配律的算式不是只能用長(zhǎng)方形的面積和來解釋，還能用生活中的其他事情來解釋。

【分析】數(shù)學(xué)中的“模型”，是普遍適用性和豐富多樣性的統(tǒng)一。此處安排的“解釋”環(huán)節(jié)，把學(xué)生的思維引向更廣闊的天地，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的豐富和簡(jiǎn)約。

（五）回望解讀

師：其實(shí)，我們今天并不是第一次接觸乘法分配律，在以前的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)接觸過。

師出示長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算（見圖5）。

師：在這里，你找到了我們今天學(xué)的乘法分配律的影子了嗎？

師出示等式：28×2+15×2=（28+15）×2。

師：在下面的乘法豎式計(jì)算中，你也能找到乘法分配律的影子嗎？

【分析】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算和計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)等內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的知識(shí)。通過這樣的回顧和比較，學(xué)生恍然大悟，對(duì)乘法分配律又有了幾分親切感。

（六）發(fā)散聯(lián)想

師出示課始王大爺?shù)牟说貓D。

師：怎樣計(jì)算青菜地比蘿卜地多多少平方米？你又發(fā)現(xiàn)了什么？（兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)律）如果用字母表示，可以怎么寫？

【分析】通過聯(lián)想，乘法分配律在學(xué)生眼中變得立體和豐滿了起來。

五、改進(jìn)實(shí)踐后成效

新授課結(jié)束，為了檢驗(yàn)課堂改進(jìn)后的教學(xué)效果，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，后測(cè)內(nèi)容為教材內(nèi)容（見圖6）。

后測(cè)結(jié)果匯總（參與后測(cè)總?cè)藬?shù)為42人）見表2。

后測(cè)結(jié)果分析：絕大部分學(xué)生都能正確解答這8道題，說明乘法分配律模型的建構(gòu)相當(dāng)成功，學(xué)生能較靈活運(yùn)用，不再出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上“丟三落四”和“畫蛇添足”的現(xiàn)象。認(rèn)真分析教材，合情合理地根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)建構(gòu)乘法分配律的知識(shí)，通過“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，由表及里，層層遞進(jìn)，這樣的教學(xué)過程有利于學(xué)生對(duì)乘法分配律知識(shí)的有效建構(gòu)，尤其是使學(xué)生對(duì)乘法分配律模型的理解更為深入，從而突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，可以大大減少練習(xí)中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤。但是，由于乘法分配律的變式對(duì)學(xué)生來說，在理解上還是有一定難度的，這個(gè)問題是不可能在新授課結(jié)束后馬上能解決的。后續(xù)教師還是要讓學(xué)生通過一定量的對(duì)比練習(xí)、綜合練習(xí)、拓展練習(xí)，才能使學(xué)生達(dá)到知識(shí)與技能的鞏固。