“有理數(shù)”單元教學(xué)研究：在教育神經(jīng)科學(xué)視野下

摘要：隨著現(xiàn)代心理學(xué)向具有確定性證據(jù)的腦科學(xué)發(fā)展，教育神經(jīng)科學(xué)這門交叉學(xué)科逐步形成。在利用“抽象結(jié)構(gòu)”思想分析初中數(shù)學(xué)“有理數(shù)”單元的內(nèi)容體系及核心育人價值的基礎(chǔ)上，將其置于教育神經(jīng)科學(xué)的視野下，分析其學(xué)習(xí)心理的腦機(jī)制，從而提出相應(yīng)的教學(xué)策略：利用“數(shù)系擴(kuò)充”的大觀念引領(lǐng)單元整體教學(xué)，充分利用數(shù)軸直觀建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，加強(qiáng)多種形式的邏輯推理。

關(guān)鍵詞：有理數(shù);抽象結(jié)構(gòu);數(shù)系擴(kuò)充;教育神經(jīng)科學(xué);腦機(jī)制

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系;基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，而且在社會科學(xué)中發(fā)揮著越來越重要的作用，同時在發(fā)展人的理性思維、科學(xué)精神以及智力方面發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)的育人價值主要體現(xiàn)在讓學(xué)生“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。。

為了更好地實(shí)現(xiàn)這些育人目標(biāo)，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇和教學(xué)既要反映數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，又要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)（認(rèn)知）的心理規(guī)律。隨著現(xiàn)代心理學(xué)向具有確定性證據(jù)的腦科學(xué)發(fā)展，教育神經(jīng)科學(xué)這門交叉學(xué)科逐步形成：綜合運(yùn)用教育學(xué)、神經(jīng)科學(xué)、心理學(xué)等學(xué)科研究教育的現(xiàn)象，從“分子—基因—突觸—神經(jīng)元—神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)—神經(jīng)系統(tǒng)—課堂行為”的層面研究教育的規(guī)律。周加仙.教育神經(jīng)科學(xué)視角的知識創(chuàng)造與知識判斷標(biāo)準(zhǔn)[J].教育發(fā)展研究，2018（24）：4853。這對深刻理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（認(rèn)知）的心理規(guī)律，提升數(shù)學(xué)教育與腦發(fā)展的契合性，改進(jìn)數(shù)學(xué)育人效果，有重要的理論價值與現(xiàn)實(shí)意義。

本文聚焦初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)與式”主題的基礎(chǔ)內(nèi)容單元——“有理數(shù)”，在利用“抽象結(jié)構(gòu)”思想分析其內(nèi)容體系及核心育人價值的基礎(chǔ)上，將其置于教育神經(jīng)科學(xué)的視野下，分析其學(xué)習(xí)心理的腦機(jī)制，從而提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、“有理數(shù)”的內(nèi)容體系及核心育人價值

（一）數(shù)系的產(chǎn)生和發(fā)展概述

人類對數(shù)的認(rèn)識隨著生產(chǎn)、生活的外在需要及數(shù)學(xué)邏輯的內(nèi)在需要逐步深化，按照從直觀的數(shù)量表示到運(yùn)算再到系統(tǒng)化、公理化的順序發(fā)展，經(jīng)歷了從直觀到符號抽象再到邏輯優(yōu)化的曲折而漫長的過程。

首先，數(shù)的發(fā)展起源于數(shù)數(shù)、排序、分物和測量等生產(chǎn)、生活實(shí)踐活動。人類早期通過數(shù)數(shù)、排序及其符號表示活動產(chǎn)生了正整數(shù)，為了表示“沒有”引入了0，為了表示“平均分物”和“測量的結(jié)果”引入了正分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）。同時，基于生產(chǎn)、生活的需要進(jìn)行這些數(shù)的運(yùn)算。

其次，針對數(shù)及其運(yùn)算的邏輯思考是數(shù)系擴(kuò)充和完善的核心機(jī)制。位值制是自然數(shù)簡約符號表示的基礎(chǔ)性創(chuàng)新。對“加1運(yùn)算”這一自然數(shù)后繼函數(shù)的認(rèn)識，是引入自然數(shù)加法運(yùn)算的基礎(chǔ)。進(jìn)而，通過抽象產(chǎn)生自然數(shù)的乘法以及乘方運(yùn)算，通過逆運(yùn)算引入自然數(shù)的減法、除法以及開方、對數(shù)運(yùn)算（乘方運(yùn)算不滿足交換律，所以有兩個逆運(yùn)算）。對運(yùn)算律的認(rèn)識是代數(shù)思維形成和發(fā)展的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，基于減法運(yùn)算封閉性的需要，引入負(fù)整數(shù)，把數(shù)的范圍擴(kuò)充到整數(shù);基于除法運(yùn)算封閉性的需要，引入分?jǐn)?shù)，把數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù);基于有理數(shù)列極限運(yùn)算封閉性的需要，引入無理數(shù)，再把數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，得到具有完備性的實(shí)數(shù)域。追求運(yùn)算的封閉性是數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)在動力，追求運(yùn)算及運(yùn)算律的繼承與一致是數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)在邏輯。這是人類在長期的數(shù)學(xué)活動中經(jīng)歷曲折而漫長的努力后形成的。

在數(shù)系擴(kuò)充的過程中，無理數(shù)和負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識過程是特別艱辛、曲折的。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了線段的不可公度性，打破了“萬物皆數(shù)（整數(shù)或整數(shù)比）”的邏輯基礎(chǔ)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002：38。盡管在1世紀(jì)中國的《九章算術(shù)》中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，并且利用“正負(fù)術(shù)”進(jìn)行加減運(yùn)算，解決了一些實(shí)際問題，但是負(fù)數(shù)一直未被西方普遍認(rèn)可;直到19世紀(jì)，西方才系統(tǒng)接受了負(fù)數(shù)，確立了負(fù)數(shù)的邏輯地位。菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008：18。

基于歷史相似性，古人對負(fù)數(shù)認(rèn)識的困難也會出現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中。因此，當(dāng)下的數(shù)學(xué)課程對數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)容，普遍采用“自然數(shù)—（正）分?jǐn)?shù)—有理數(shù)……”的邏輯線索安排。并且，在學(xué)習(xí)了自然數(shù)和正分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）后，基于相反意義量的表示引入負(fù)數(shù)，便于學(xué)生理解。引入負(fù)數(shù)，擴(kuò)大數(shù)的范圍后，基于“抽象結(jié)構(gòu)”思想，研究其內(nèi)涵（與正數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系）、表示、大小比較和運(yùn)算等，而核心是進(jìn)行有邏輯的運(yùn)算——沒有運(yùn)算，負(fù)數(shù)就只是一種量的符號表示，不具備數(shù)的核心特征;將負(fù)數(shù)與運(yùn)算聯(lián)系起來，有利于學(xué)生掌握負(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容。

（二）“有理數(shù)”的內(nèi)容體系

“有理數(shù)”內(nèi)容展開的過程中蘊(yùn)含著下列數(shù)系擴(kuò)充活動：

第一，基于現(xiàn)實(shí)需要和減法運(yùn)算封閉性的需要引入負(fù)數(shù)，擴(kuò)大數(shù)集。

第二，通過分類，研究擴(kuò)大范圍后新數(shù)集中的數(shù)與原數(shù)集中數(shù)的差異：原數(shù)集中的數(shù)只有量值（數(shù)值），沒有極性（正負(fù)）;新數(shù)集中的數(shù)（除0外）既有量值（數(shù)值），又有極性（正負(fù)）。同時，遵循數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)在邏輯順序“正整數(shù)—引入0，擴(kuò)充到自然數(shù)—引入負(fù)整數(shù)，擴(kuò)充到整數(shù)—引入分?jǐn)?shù)，擴(kuò)充到有理數(shù)”，對新數(shù)集進(jìn)行分類，給出有理數(shù)的描述性定義“整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”，為進(jìn)一步統(tǒng)一用“整數(shù)比”對有理數(shù)進(jìn)行實(shí)質(zhì)性定義奠定基礎(chǔ)。

第三，研究有理數(shù)的數(shù)軸直觀表示，奠定數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。

第四，研究“在正數(shù)1、2、34……前面添加負(fù)號，得到-1、-2、-34……”的匹配數(shù)對（量值相等，極性相反，表示特殊的相反意義量的正、負(fù)數(shù)）之間的關(guān)系，引入“相反數(shù)”的概念，借助數(shù)軸直觀地理解這種關(guān)系（表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱），理解諸如-（-3）、-（+3）等表示的意義并化簡。在后面的有理數(shù)加法中，“互為相反數(shù)的兩個有理數(shù)的和為0”，則進(jìn)一步闡述了相反數(shù)的運(yùn)算特征，滲透了數(shù)系擴(kuò)充中運(yùn)算的封閉性是如何通過擴(kuò)大數(shù)集、拓展運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的。事實(shí)上，有理數(shù)系中的加法構(gòu)成了一個加群，相反數(shù)的本質(zhì)反映了加群中加法運(yùn)算的“負(fù)元”存在性：對于任意元素x，集合中存在著一個元素y，使得x+y=0。這為在相反數(shù)概念教學(xué)中滲透相反數(shù)對“從正數(shù)出發(fā)引入負(fù)數(shù)”的數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯價值，提供了更高位數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的啟發(fā)：相反數(shù)可以借助數(shù)軸來直觀理解，但其本質(zhì)屬性是數(shù)的關(guān)系，不依賴于數(shù)軸。

第五，絕對值是擴(kuò)大后新數(shù)集中的數(shù)與原數(shù)集中數(shù)的共性，即不考慮極性后留下的量值。因此，絕對值是數(shù)系擴(kuò)充后數(shù)的內(nèi)在一致性的本質(zhì)反映，與數(shù)軸無關(guān)，但可以借助數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與單位長度的比值來直觀理解。

第六，有理數(shù)的大小比較研究的是擴(kuò)大后數(shù)集的有序性，可以借助數(shù)軸來直觀理解，但數(shù)的序關(guān)系本質(zhì)上不依賴于數(shù)軸。

第七，運(yùn)算是數(shù)系擴(kuò)充研究中的核心問題。運(yùn)算法則是一種規(guī)定，這種規(guī)定的合理性體現(xiàn)為新的運(yùn)算法則在原數(shù)集中保持與原來一致，原有的運(yùn)算律在擴(kuò)大后的數(shù)集中仍然保持。有理數(shù)系中，核心的運(yùn)算是加法和乘法運(yùn)算。加法存在零元（0）、負(fù)元（負(fù)數(shù)），乘法存在單位元（1）、逆元（非0數(shù)的倒數(shù)）。加法和乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、分配律（聯(lián)系加法和乘法運(yùn)算）。運(yùn)算律是運(yùn)算中的不變規(guī)律，也是簡化運(yùn)算的依據(jù)，如依據(jù)結(jié)合律可以簡化有限個元素的運(yùn)算，依據(jù)分配律可以簡化加法和乘法運(yùn)算等?；诔ㄟ\(yùn)算，引出有理數(shù)的實(shí)質(zhì)定義——整數(shù)比。

綜上，貫穿“有理數(shù)”內(nèi)容的知識發(fā)生、發(fā)展的基本思想是：擴(kuò)大數(shù)集、拓展運(yùn)算、前后連貫、邏輯一致。這種“數(shù)系擴(kuò)充”的研究思路及內(nèi)容是“引入新數(shù)、擴(kuò)大數(shù)集—分類、定義（新、舊數(shù)集中數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系）和表示（符號、圖形）—研究性質(zhì)（相等和不等關(guān)系，即序關(guān)系）—研究運(yùn)算（加法和乘法運(yùn)算及其逆運(yùn)算）和運(yùn)算律—應(yīng)用”，研究方法是從特殊到一般、歸納、數(shù)形結(jié)合。

（三）“有理數(shù)”的核心育人價值

數(shù)系擴(kuò)充是“數(shù)與代數(shù)”中數(shù)學(xué)系統(tǒng)抽象結(jié)構(gòu)的典范，其核心育人價值是：在從原有數(shù)系擴(kuò)充到新數(shù)系的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。這具體表現(xiàn)為：在有理數(shù)、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)等概念的形成過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)概念的抽象能力和歸納推理能力;在有理數(shù)的大小比較法則、運(yùn)算法則以及運(yùn)算律的形成過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)法則和規(guī)律的抽象能力和歸納推理能力;在運(yùn)用有理數(shù)的大小比較法則推理、運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律運(yùn)算的過程中，發(fā)展演繹推理能力和運(yùn)算能力;在借助數(shù)軸理解有理數(shù)、相反數(shù)、絕對值以及加法和乘法運(yùn)算及其運(yùn)算律的過程中，發(fā)展空間觀念和幾何直觀能力;在運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算表示和解決實(shí)際問題的過程中，發(fā)展數(shù)量關(guān)系的抽象能力，建立數(shù)的運(yùn)算的模型觀念。

二、“有理數(shù)”學(xué)習(xí)心理的腦機(jī)制

（一）支撐“有理數(shù)”學(xué)習(xí)的腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

學(xué)習(xí)“有理數(shù)”時，大腦的視覺空間網(wǎng)絡(luò)（包括枕葉、頂葉、中央前回運(yùn)動區(qū)、額中回等;核心是雙側(cè)頂內(nèi)溝，與心理數(shù)軸相關(guān)）、語義網(wǎng)絡(luò)（與數(shù)學(xué)問題解決相關(guān)，與雙側(cè)頂內(nèi)溝有專門的神經(jīng)聯(lián)結(jié)）起到了基礎(chǔ)性作用。而大腦的情境網(wǎng)絡(luò)（也稱默認(rèn)網(wǎng)絡(luò)，與情境信息加工有關(guān)，與語義網(wǎng)絡(luò)有大量的重疊）在理解具體情境中的物理數(shù)量，用與自己經(jīng)歷相關(guān)的情境解釋相反數(shù)、絕對值以及有理數(shù)運(yùn)算的意義，把有理數(shù)及其運(yùn)算的知識應(yīng)用到具體情境中，提取有理數(shù)及其運(yùn)算的具體情境與語義記憶等方面，都起到了重要作用。

此外，大腦前額葉的執(zhí)行控制網(wǎng)絡(luò)影響著學(xué)生問題解決的計劃、判斷、記憶和動作的執(zhí)行控制等，它與大腦的后部及皮質(zhì)下結(jié)構(gòu)都有廣泛的聯(lián)系，也是支持“有理數(shù)”學(xué)習(xí)中問題解決的目標(biāo)導(dǎo)向行為的大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。經(jīng)濟(jì)合作和發(fā)展組織.理解腦——新的學(xué)習(xí)科學(xué)的誕生[M].周加仙，等譯.北京：教育科學(xué)出版社，2010：32。大腦前額葉、楔前葉的元認(rèn)知腦區(qū)聯(lián)合情境網(wǎng)絡(luò)，支持諸如學(xué)科大觀念等整體性、策略性知識的學(xué)習(xí)。參見S.M.Fleming和R.J.Dolan的The neural basis of metacognitive ability一文。

大腦的與情緒加工有關(guān)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有重要影響。情緒網(wǎng)絡(luò)包括眶額皮層、扣帶前回、下丘腦、基底神經(jīng)節(jié)、腦島、軀體感覺皮質(zhì)等。這種影響主要通過提取當(dāng)前事件的情緒價值影響選擇性注意，還對視覺加工有遠(yuǎn)程影響。G.Pourtois， A.Schettino， P.Vuilleumier.Brain mechanisms for emotional influences on perception and attention：what is magic and what is not[J].Biological Psychology，2013（3）：492512。

（二）“負(fù)數(shù)”概念理解的腦機(jī)制

引入負(fù)數(shù)后，學(xué)生需要用新的觀念看數(shù)。研究表明，大腦采用合成策略，而不是整體策略表征負(fù)數(shù)：基于極性，用正負(fù)號表示相反意義的量，用“距離”理解其量值的大小。D.GanorStern， J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science，2003（14）：278282。

首先，對正負(fù)數(shù)正負(fù)屬性的理解。負(fù)數(shù)的引入基于相反意義的量。理解這種相反意義的量，首先需要在腦內(nèi)表征其極性。而理解這種數(shù)量的極性?；趦蓚€相反的方向，依賴大腦的導(dǎo)航神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。初級視覺皮質(zhì)中，有不同的神經(jīng)集群對線條的朝向有特異反映D.H.Hubel，T.N.Wiesel.Receptive fields， binocular interaction and functional architecture in the cats visual cortex[J].The Journal of Physiology，1962（1）：106。，左側(cè)額頂環(huán)路負(fù)責(zé)加工位置分類及其工作記憶，右側(cè)額頂回路負(fù)責(zé)加工位置定位及其工作記憶，而海馬體中的位置細(xì)胞則加工物體和位置的綁定并對其加以記憶A.Postma， R.P.C.Kessels， M.van Asselen. How the brain remembers and forgets where things are： The neurocognition of objectlocation memory[J]. Neuroscience & Biobehavioral Reviews，2008（8）：13391345。。

其次，對相反意義量的絕對量值的理解。如果是整數(shù)，其絕對值反映為數(shù)的大小效應(yīng)。如果是分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的特征，表現(xiàn)為兩種加工方式的混合：一是針對同分母或同分子分?jǐn)?shù)的成分加工方式，基于自然數(shù)的大小效應(yīng)表征其大小;二是針對一般的分?jǐn)?shù)，基于分?jǐn)?shù)與單位的比率的數(shù)值表征其大小。劉穎，劉儒德，高婷，等.學(xué)生分?jǐn)?shù)加工模式及其對教學(xué)的啟示[C]//周新林.教育神經(jīng)科學(xué)視野中的數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新.北京：教育科學(xué)出版社，2016：279288?；谡龜?shù)與單位的比率（表示有理數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與單位長度的比值）表征正負(fù)數(shù)的絕對值，符合大腦的認(rèn)知規(guī)律。

最后，基于心理數(shù)軸實(shí)現(xiàn)空間與數(shù)量的融合。這是建立有理數(shù)的統(tǒng)一理解的核心認(rèn)知機(jī)制。心理數(shù)軸是人們表征數(shù)的大小的腦內(nèi)神經(jīng)機(jī)制。心理數(shù)軸最初是在正整數(shù)大小比較的任務(wù)中發(fā)現(xiàn)簡單數(shù)字效應(yīng)（SNARC，左側(cè)表征較小數(shù)效率高，右側(cè)表征較大數(shù)效率高）而發(fā)現(xiàn)和提出的。在負(fù)數(shù)概念形成后，把負(fù)數(shù)作為一個對象與正數(shù)、0比較，又可以延伸心理數(shù)軸。費(fèi)切爾采用比較判斷任務(wù)，研究結(jié)果支持?jǐn)?shù)軸從0向左延伸包含負(fù)數(shù)的假設(shè)。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science， 2003（14）：278282。

（三）“有理數(shù)的大小比較”學(xué)習(xí)的腦機(jī)制

正整數(shù)的大小比較有兩種路徑：一是基于估算的大小比較（基于心理數(shù)軸），二是基于一個數(shù)小于后繼數(shù)的累積比較。正分?jǐn)?shù)的大小比較根據(jù)兩個分?jǐn)?shù)的特征選擇成分比較法（同分母比分子大小，同分子比分母大?。┗蛘w比較法（比較兩個分?jǐn)?shù)的值）。正數(shù)與負(fù)數(shù)、0與負(fù)數(shù)的比較基于正負(fù)的方向相反進(jìn)行，在最初學(xué)習(xí)兩個負(fù)數(shù)的大小比較中，存在反簡單數(shù)字效應(yīng)現(xiàn)象，即左側(cè)表征較大負(fù)數(shù)的反應(yīng)效率高，右側(cè)表征較小負(fù)數(shù)的反應(yīng)效率高。D.GanorStern，J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。

如果借助數(shù)軸進(jìn)行統(tǒng)一的圖形表征，則又統(tǒng)一地用“左小右大”直觀地理解有理數(shù)大小的關(guān)系。因而，“有理數(shù)的大小比較”教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是，幫助學(xué)生打破正數(shù)簡單數(shù)字效應(yīng)、負(fù)數(shù)反簡單數(shù)字效應(yīng)的“各自為政”，借助數(shù)軸統(tǒng)一地形成有理數(shù)的簡單數(shù)字效應(yīng)，從而統(tǒng)一地建立有理數(shù)大小的觀念。

（四）“有理數(shù)的運(yùn)算”學(xué)習(xí)的腦機(jī)制

心理數(shù)軸在表征有理數(shù)的加減運(yùn)算中起到核心作用。圖形大小任務(wù)和數(shù)大小任務(wù)在頂葉區(qū)域有較大的激活腦區(qū)的重疊，說明數(shù)大小的知覺與心理數(shù)軸中線段長短（點(diǎn)之間距離大?。┑闹X具有交互作用，支持空間更新與支持計算轉(zhuǎn)換的相同的腦機(jī)制是空間注意沿著心理數(shù)軸的激活軌跡產(chǎn)生移位轉(zhuǎn)換。這對算術(shù)加減運(yùn)算至關(guān)重要。E.M.Hubbard，M.Piazza，P.Pinel， et al. Interactions between number and space in parietal cortex[J].Nature Reviews Neuroscience，2005（6）：435448。

引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)。正如費(fèi)切爾的研究結(jié)果所支持的，心理數(shù)軸從0開始向左延伸，表示數(shù)軸上點(diǎn)的移動的數(shù)的運(yùn)算既包含正負(fù)（運(yùn)動方向），又包含絕對值（運(yùn)動距離），涵蓋了所有有理數(shù)的加減運(yùn)算。

周新林等人的研究表明，由于學(xué)習(xí)經(jīng)驗的塑造，中國兒童正整數(shù)的加法運(yùn)算更多地激活了大腦的視覺空間網(wǎng)絡(luò)，而乘法運(yùn)算則更多地激活了語義網(wǎng)絡(luò)。Xinlin Zhou，et al.Dissociated brain organization for singledigit addition and multiplication[J].Neuroimage，2007（2）：871880。

因此，有理數(shù)加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)適宜借助數(shù)軸上點(diǎn)的平移，基于視覺空間網(wǎng)絡(luò)開展，而有理數(shù)乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)則需要基于語義網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行。針對學(xué)生對“負(fù)負(fù)得正”的有理數(shù)乘法法則理解困難，要基于語義進(jìn)行邏輯建構(gòu)，獲得乘法法則和運(yùn)算律，還要借助數(shù)軸上點(diǎn)的中心對稱變換直觀地解釋1×（-1）=-1，（-1）×（-1）=1：如圖1，一個數(shù)與-1的積是這個數(shù)的相反數(shù)，在數(shù)軸上是由表示這個數(shù)的點(diǎn)繞著數(shù)軸原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的。

圖1

此外，有理數(shù)的混合運(yùn)算活動對學(xué)生理解運(yùn)算法則和運(yùn)算律，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，特別是今后代數(shù)學(xué)習(xí)中的符號運(yùn)算能力，具有奠基作用。有理數(shù)的混合運(yùn)算中，學(xué)生需要基于普適的運(yùn)算順序（乘方→乘除→加減，有括號先算括號內(nèi)的），根據(jù)算式的特征，依據(jù)運(yùn)算律選擇合理（簡便）的運(yùn)算順序。然后，依據(jù)運(yùn)算法則執(zhí)行運(yùn)算。其中，要把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算（與有理數(shù)系的運(yùn)算結(jié)構(gòu)一致）。

有學(xué)者研究了小學(xué)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)明確運(yùn)算目標(biāo)、選擇運(yùn)算策略（順序）和運(yùn)算規(guī)則、執(zhí)行運(yùn)算規(guī)則是影響正分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的核心要素，從而提出了可以較好地訓(xùn)練并預(yù)測學(xué)生正分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算成就的計算模型。David W.Braithwaite， Aryn A.Pyke， Robert S.Siegler. A computational model of fraction arithmetic[J].Psychological review，2017（5）：603。這一模型與高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的表現(xiàn)十分一致。事實(shí)上，有理數(shù)混合運(yùn)算與正分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算比較，其運(yùn)算順序沒有差異，其復(fù)雜性體現(xiàn)為在確定運(yùn)算順序后執(zhí)行運(yùn)算法則時，多了確定運(yùn)算結(jié)果的符號及絕對值這一環(huán)節(jié)。因此，仍然可以采用上述模型來訓(xùn)練和預(yù)測學(xué)生有理數(shù)混合運(yùn)算的成就。

三、“有理數(shù)”的教學(xué)策略

（一）利用“數(shù)系擴(kuò)充”的大觀念引領(lǐng)單元整體教學(xué)

數(shù)學(xué)具有整體性和系統(tǒng)性，大腦思考問題過程中的目標(biāo)導(dǎo)向決策也具有整體性和策略性。這就要求教師在單元教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)上，設(shè)計課時教學(xué)活動，進(jìn)行單元整體教學(xué)。這種“單元—課時”教學(xué)要求：單元設(shè)計貫徹數(shù)學(xué)的整體性和思維的系統(tǒng)性，重視一般觀念的引領(lǐng)作用和知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系作用;課時與單元之間、不同課時之間體現(xiàn)育人目標(biāo)的圖2

協(xié)同性、內(nèi)容邏輯的連貫性、問題研究的有序性;每一課時的教學(xué)體現(xiàn)研究的針對性、層次性和策略性。吳增生.單元整體教學(xué)中的若干重要問題及其思考[J].數(shù)學(xué)通報，2021（9）：2026。

基于“數(shù)系擴(kuò)充”大觀念下的研究思路、內(nèi)容和方法，“有理數(shù)”單元的知識結(jié)構(gòu)如圖2所示。據(jù)此，可以把這一單元劃分為兩個部分：有理數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)（知識結(jié)構(gòu)如圖2中虛線框所示）、有理數(shù)的運(yùn)算與運(yùn)算律（知識結(jié)構(gòu)如圖2中實(shí)線框所示）。進(jìn)而劃分為11個新授課時——正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值、有理數(shù)的大小比較和有理數(shù)的加法、有理數(shù)的減法、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘方，以及1個單元復(fù)習(xí)課時。其中，理解負(fù)數(shù)的含義（與正數(shù)的區(qū)別）、理解相反數(shù)與絕對值的意義（聯(lián)系正負(fù)數(shù)）、抽象出數(shù)軸以及有理數(shù)的混合運(yùn)算是本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

由此，基于核心育人價值的單元整體目標(biāo)如下：

1.通過對現(xiàn)實(shí)情境中相反意義量的表示和對減法運(yùn)算封閉性的滿足引入負(fù)數(shù)，能夠基于數(shù)軸直觀理解有理數(shù)的相關(guān)概念，能夠抽象有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和抽象能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察。

2.能夠?qū)τ欣頂?shù)進(jìn)行分類，用整數(shù)定義有理數(shù)，能夠用有理數(shù)的大小比較法則、運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行推理和運(yùn)算，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考。

3.能夠借助數(shù)軸表達(dá)相反數(shù)與絕對值的意義，能夠用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。

4.能夠類比小學(xué)中數(shù)的研究框架規(guī)劃有理數(shù)的研究框架，學(xué)會反思總結(jié)，學(xué)會學(xué)習(xí)。

進(jìn)而，分解可得指向單元整體目標(biāo)的課時目標(biāo)體系。其中，第1課時的目標(biāo)如下（限于篇幅，不列其他課時的目標(biāo)）：

1.通過對現(xiàn)實(shí)情境中相反意義量的觀察、想象和抽象以及對減法封閉性的思考引入負(fù)數(shù)。

2.理解0的新意義（正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界）。

3.利用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量;舉出具體實(shí)例解釋正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。

4. 類比自然數(shù)到分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，規(guī)劃有理數(shù)的研究框架。

在此基礎(chǔ)上，要注意用“數(shù)系擴(kuò)充”的大觀念引領(lǐng)各課時的教學(xué)，幫助學(xué)生理解有理數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)與運(yùn)算的本質(zhì)，發(fā)展建立數(shù)學(xué)系統(tǒng)抽象結(jié)構(gòu)的意識。這里，特別需要注意兩點(diǎn)：

一是起始課《正數(shù)和負(fù)數(shù)》中，注意引導(dǎo)學(xué)生回顧之前數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成有理數(shù)學(xué)習(xí)的類比源和研究框架;注意利用學(xué)生的已有經(jīng)驗，讓學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)背景理解負(fù)數(shù)表示相反意義的量，體會引入負(fù)數(shù)的必要性。

二是單元復(fù)習(xí)課中，再次用“數(shù)系擴(kuò)充”的大觀念引領(lǐng)，對知識的發(fā)生、發(fā)展過程及其相互聯(lián)系進(jìn)行從整體到部分的回顧整理，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行再概括，對運(yùn)算技能進(jìn)行再訓(xùn)練，幫助學(xué)生重構(gòu)基于研究框架（包括研究思路、內(nèi)容以及方法）以及知識關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)（如圖2）。

（二）充分利用數(shù)軸直觀建立數(shù)與形之間的聯(lián)系

數(shù)軸是學(xué)生接觸的第一個數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)工具。引入數(shù)軸后，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀地表示有理數(shù)，從而為學(xué)生提供了理解相反數(shù)、絕對值的直觀工具，并為學(xué)習(xí)有理數(shù)的大小比較與運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)。

有學(xué)者通過代數(shù)、幾何、分析、拓?fù)漕I(lǐng)域的高級知識判斷任務(wù)，對數(shù)學(xué)家與非數(shù)學(xué)專業(yè)專家在執(zhí)行數(shù)學(xué)陳述與非數(shù)學(xué)陳述判斷任務(wù)時的大腦活動進(jìn)行掃描，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)家在通過推理判斷數(shù)學(xué)陳述時，與基礎(chǔ)數(shù)感、心理數(shù)軸相關(guān)的腦區(qū)被激活更多。M.Amalric，S.Dehaene.Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians[J].Proceedings of the National Academy of Sciences， 2016（18）：49094917。借助心理數(shù)軸建立空間與數(shù)量的聯(lián)系，形成數(shù)感，是數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的基礎(chǔ)。

這一教學(xué)策略的實(shí)施要點(diǎn)有：

第一，融合數(shù)系擴(kuò)充思想，抽象數(shù)軸概念。融合“數(shù)系擴(kuò)充”的思想，分離出數(shù)的發(fā)展的源頭（0和1）以及機(jī)制（基于加1運(yùn)算得到自然數(shù)，通過平均分和比率引入正分?jǐn)?shù)，通過相反意義的量對稱地得到負(fù)有理數(shù)），以在直線上表示0和1的位置為核心任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生對直線進(jìn)行合理規(guī)定（規(guī)定0的位置、確定1相對于0的方向、確定1相對于0的距離）。從而抽象出數(shù)軸的三要素以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法，得到數(shù)軸，建立數(shù)與形的初步對應(yīng)關(guān)系，用數(shù)軸直觀有序地表示有理數(shù)。同時，借助數(shù)軸理解從自然數(shù)到整數(shù)的擴(kuò)充是自然數(shù)的中心對稱擴(kuò)展，從整數(shù)到有理數(shù)的擴(kuò)充是表示相鄰整數(shù)的點(diǎn)之間線段的分割密集化，直觀體會擴(kuò)大數(shù)集的兩種方法。

第二，借助數(shù)軸直觀理解有理數(shù)的相關(guān)知識。比如，借助數(shù)軸理解有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值的概念;理解數(shù)軸上有理數(shù)大小規(guī)定的合理性及由來，通過把小學(xué)中數(shù)的大小比較結(jié)果表示在數(shù)軸上，獲得有理數(shù)大小的規(guī)定;借助數(shù)軸上點(diǎn)的平移運(yùn)動表示小學(xué)中數(shù)的加法運(yùn)算，通過類比獲得與負(fù)數(shù)有關(guān)的加法運(yùn)算結(jié)果，理解加法運(yùn)算律;借助數(shù)軸上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動理解“（-1）×（-1）=1”的合理性;借助數(shù)軸，用有理數(shù)的運(yùn)算刻畫直線上點(diǎn)的運(yùn)動;等等。

（三）加強(qiáng)多種形式的邏輯推理

發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一。邏輯推理包括類比推理、歸納推理和演繹推理。形成有理數(shù)的數(shù)系擴(kuò)充過程具有內(nèi)在的邏輯一致性，為了這一邏輯一致性，需要基于推理研究大小比較和運(yùn)算法則的連貫性以及運(yùn)算律的繼承性。

演繹推理的“超模態(tài)理論”指出：數(shù)學(xué)演繹推理中語義加工和空間加工是交替進(jìn)行的，法則和原理的回顧和表達(dá)及推理話語體系的表達(dá)借助大腦語義網(wǎng)絡(luò)，而構(gòu)建算法和推理路徑的過程更多地激活了視覺空間網(wǎng)絡(luò)。D.RodriguezMoreno， J.Hirsch.The dynamics of deductive reasoning：An fMRI investigation[J]. Neuropsychologia，2009（4）：949961。也就是說，數(shù)學(xué)邏輯推理是建立在直觀和抽象的基礎(chǔ)上的。

這一教學(xué)策略的實(shí)施要點(diǎn)有：

第一，在有理數(shù)大小比較的教學(xué)中，把具有不等關(guān)系的具體非負(fù)數(shù)表示在數(shù)軸上，通過類比推廣到一般，獲得數(shù)軸上有理數(shù)大小的定義;基于數(shù)軸上“左小右大”的定義，通過演繹推理得到有理數(shù)大小比較的法則，重點(diǎn)是兩個負(fù)數(shù)大小比較的方法。

第二，加強(qiáng)運(yùn)算法則和運(yùn)算律教學(xué)中的類比與歸納。在有理數(shù)加法運(yùn)算的教學(xué)中，借助數(shù)軸上的平移運(yùn)動表示正數(shù)及0的加法后，類比推廣到負(fù)數(shù)有關(guān)的運(yùn)算;得到具體運(yùn)算結(jié)果后，需要?dú)w納加數(shù)的符號、絕對值與和的符號、絕對值的關(guān)系，得到加法法則。乘法運(yùn)算的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃把因數(shù)逐步減少到0和負(fù)數(shù)的歸納方案，并且歸納積與因數(shù)之間的符號、絕對值關(guān)系，最后得到有理數(shù)乘法的法則，即需要多次歸納、有序展開。類似地，減法運(yùn)算的教學(xué)要加強(qiáng)與小學(xué)加法和減法運(yùn)算的逆運(yùn)算關(guān)系的類比;除法運(yùn)算的教學(xué)則既要類比乘法運(yùn)算，又要類比小學(xué)分?jǐn)?shù)除法的“除以一個數(shù)等于乘一個數(shù)的倒數(shù)”法則。乘方運(yùn)算的教學(xué)要類比乘法的抽象方法，得到相同因數(shù)相乘的簡寫符號表示。

第三，在有理數(shù)的大小比較法則和運(yùn)算法則的應(yīng)用中，要注重算理，依據(jù)相關(guān)原理和法則進(jìn)行推理和運(yùn)算。在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，要讓學(xué)生類比小學(xué)自然數(shù)以及正分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序、運(yùn)算符號的意義、括號的意義，理解有理數(shù)的運(yùn)算順序是怎樣的、為什么要按照這種順序運(yùn)算、運(yùn)算的目的是什么、體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想等，引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。通過適當(dāng)?shù)闹v算理的運(yùn)算訓(xùn)練以及概括，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算操作的程序化，幫助學(xué)生形成運(yùn)算技能，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。