2019年浙江省高考數(shù)學第21題的探究與拓展

施利強 江戰(zhàn)明

本文以2019年浙江省高考數(shù)學第21題的圓錐曲線試題為例，探究問題的本質，并從多角度進行拓展.

1 試題再現(xiàn)

如圖1，過焦點F（1，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在F點右側）.

（1）求拋物線的方程及準線方程;

（2）記AAFG，△CQG的面積分別為S1，S2，求S1/S2的最小值及此時點G坐標.

1.1 試題解讀

本題考查了拋物線的幾何性質、在直線與拋物線相交背景下求兩三角形面積比的最值問題，主要涉及直線與拋物線的位置關系等知識點，本題是圓錐曲線中的“非對稱性問題”，主要涉及圓錐曲線中設點、設直線的切入問題，其最大難點在于三角形面積的表示以及復雜的函數(shù)運算以及最值求解.

1.2 試題解析

本題求解的切入點比較寬泛，可以設直線、可以設點、也可以通過面積比值化簡后再進行最值運算，但三種方法沒有大的本質區(qū)別.最終都是殊途同歸通過函數(shù)求出面積比的最值，筆者將進一步挖掘問題的本質并進行拓展.

2 試題拓展

2.1變定曲線為任意拋物線

變式1如圖1，過焦點F（P/2，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在點F右側）.記△AFG，△CQG的面積分別

評注 本題將拋物線改為任意拋物線，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)跟原題的結果是一致的，并求得此時重心坐標為G（p，0）.

2.2 變定點為任意點

變式2如圖2，過x軸正半軸上定點P（s，o）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在點P右側）.記AAPG，△CQG的面積分別為S，S2，求S1/S2的最小值及此時點G坐標，

答案：G（2s，0）.

評注 變式2計算的核心與變式1類似，因此筆者只給出答案，以下同，本題在變式1的基礎上進一步將條件改編，將定點變?yōu)閿?shù)軸正半軸上的任一點，發(fā)現(xiàn)結論也是一樣的，讓人聯(lián)想到本題的結論與定點的位置并無關系，

評注 本題將問題放到橢圓中，橢圓比拋物線有更多的對稱性質，題干中略去了焦點位置關系的條件，改為A，C兩點的位置關系，求解得到面積比的最值，跟拋物線中的結論一致，與拋物線中不同

評注 本題在變式3的基礎上再進一步加強了條件，定點變成了橢圓長軸上的非焦點，此時要取到面積比的最值需要保證定點的范圍.

3 背景探究

在對本題的一題多解探究和變式研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)該模型在不同條件下面積比的最小值是不變的，因此這個問題應該有更深的背景.

3.1 條件探究

注意到原題中條件“點Q在點F點右側”，由對稱性不妨假設Yi>O，然后分四種情況進行討論，

①當Y128時，由解法3可知兩面積比為：

從上述討論可以看出本題中條件“點Q在點F右側”的必要性，缺少這個條件將要討論最值取等的條件，進一步畫出面積比的函數(shù)圖象，從圖象可以看到存在兩個極值點xA=√3-2，XB=√3-2，而題給條件是將比值限制在了極值點所在區(qū)域內，

4 總結反思

從上述探究不難發(fā)現(xiàn)，本題的模型可以從拋物線上三點推廣到橢圓或雙曲線上三點，也可以拓展到任意三點，直接“架空”曲線，從這個角度講，本題失去了圓錐曲線解析的本質，但確實給人以耳目一新的感覺，或許試題已經(jīng)很難用“難或簡單”加以評論，因為它本身就是在考查學生的綜合素養(yǎng)，那么，如何在有限的時間里，實現(xiàn)“透過表象看本質”？相信只要在平時的教學過程中注重對問題本質的探究，注重學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，注重學生核心素養(yǎng)的提升，那么還是有可能快速破解此類問題的，或者至少會進行多角度嘗試并簡化運算，7AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E