16 bit量化誤差對(duì)正弦參數(shù)擬合影響的誤差界

梁志國(guó)

(航空工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095)

正弦波形在計(jì)量測(cè)試中的應(yīng)用極為廣泛，是動(dòng)態(tài)測(cè)試及校準(zhǔn)中應(yīng)用的基本波形。首先，被應(yīng)用到波形記錄儀性能指標(biāo)的定義及評(píng)價(jià)中[1]；相應(yīng)地，曲線擬合方法研究獲得了發(fā)展[2-3];進(jìn)而，誤差與不確定度研究被等同推進(jìn)[4-6];其后，A/D轉(zhuǎn)換器的性能評(píng)估也使用了正弦曲線擬合[7-9]，并引出了相應(yīng)的不確定度評(píng)估[10-12]，以及其他應(yīng)用案例[13-14]。

隨著應(yīng)用的深入，依賴于正弦曲線擬合，人們發(fā)展出了殘周期擬合方法[15-17]、非均勻采樣測(cè)量方法[18]、抖動(dòng)測(cè)量方法[19]、失真測(cè)量方法[20]等。

由于正弦曲線的幅度、頻率、相位、直流分量等參數(shù)均已被工程應(yīng)用。因而，各個(gè)參數(shù)的精確測(cè)量與評(píng)估成為人們極為關(guān)心的基本問(wèn)題之一。由此，以四參數(shù)曲線擬合方式為特征的各種精確估計(jì)算法獲得廣泛應(yīng)用。

伴隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)、速率均在不斷提高，目前已有32 bit的A/D轉(zhuǎn)換器芯片產(chǎn)品面世。而在眾多的寬頻動(dòng)態(tài)波形采集系統(tǒng)中，以16 bit A/D芯片為核心的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)漸成主流。因而，其采樣量化給正弦參數(shù)擬合所帶來(lái)的影響成為了人們特別關(guān)注的對(duì)象。由于影響因素眾多，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，很難從簡(jiǎn)單的枚舉方式中確切估計(jì)出其各種條件影響及其變化規(guī)律。不同的A/D位數(shù)、測(cè)量條件、擬合軟件對(duì)擬合所帶來(lái)的影響尚無(wú)簡(jiǎn)單規(guī)律，只能以個(gè)案形式單獨(dú)處理。

通常，人們會(huì)主觀認(rèn)定量化誤差給擬合正弦幅度和直流分量帶來(lái)的影響小于量化誤差本身，但到底小到什么程度，并不確知。而其給擬合頻率和擬合相位帶來(lái)的誤差有多大，更加無(wú)從知曉。筆者的主要目標(biāo)即是對(duì)量化誤差給四參數(shù)正弦曲線擬合帶來(lái)的影響進(jìn)行定量研究，以便徹底解決這一問(wèn)題。

此前，美國(guó)NIST的科學(xué)家曾試圖解決這一問(wèn)題[4]，使用的是諧波、抖動(dòng)、正態(tài)噪聲模型表征采樣測(cè)量誤差，并給出了噪聲帶來(lái)的擬合誤差與序列長(zhǎng)度成反比的定量結(jié)論。而實(shí)際上，量化噪聲并非正態(tài)噪聲，其給正弦擬合的誤差影響隨采樣序列長(zhǎng)度增加并不能呈現(xiàn)反比規(guī)律。另外的研究[21-22]涉及到量化噪聲估計(jì)的不確定度和其對(duì)失真測(cè)量的影響，也未涉及對(duì)擬合參數(shù)的誤差影響問(wèn)題。

筆者將以仿真參數(shù)搜索方式，尋找出其各種條件影響下各個(gè)擬合參數(shù)的誤差界及其變化規(guī)律，以期能夠給16 bit A/D的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)在正弦參數(shù)擬合中的不確定度水平估計(jì)提供參考和借鑒。并用于指導(dǎo)正弦擬合方法的精確測(cè)量工作。

1 機(jī)理分析

量化誤差對(duì)正弦擬合參數(shù)誤差的影響，有多方面因素，其起因歸結(jié)為以下幾個(gè)方面的問(wèn)題。

1.1 峰值量化碼問(wèn)題

數(shù)據(jù)采集過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是一種針對(duì)被測(cè)波形的時(shí)域抽樣和幅度量化過(guò)程，并以抽樣量化后的數(shù)據(jù)序列表征被測(cè)量的波形。其中，若采集量程為E，所用A/D的位數(shù)為b，則全量程范圍內(nèi)的所有量值被分成2b個(gè)均勻的小區(qū)間，稱為2b個(gè)量化碼值。每個(gè)小區(qū)間的寬度用LSB(Least Bit)表示，1 LSB=E/2b。任何一個(gè)被測(cè)量值都被用其所落在區(qū)間的量化碼值定量表征。被測(cè)量值與表征其所用量化碼值所代表的理論值之間的差被稱為量化誤差。

曲線擬合是用含有量化誤差的采樣序列逼近并復(fù)現(xiàn)原始信號(hào)波形的過(guò)程，各個(gè)抽樣點(diǎn)量化誤差的大小、出現(xiàn)幾率等均會(huì)對(duì)擬合參數(shù)的誤差造成影響。

當(dāng)被測(cè)信號(hào)為正弦波時(shí)，其最大的問(wèn)題是，它并非一個(gè)值域上等概率密度的函數(shù)波形，峰值附近的概率密度最大。因而，在量化后，其峰值和谷值碼在理論上可以有遠(yuǎn)高于其他碼值的出現(xiàn)概率。若其峰值幅度為A，當(dāng)其恰好覆蓋全量程時(shí)，峰值碼(谷值碼)出現(xiàn)的概率為

零值碼出現(xiàn)的概率為

由此可見(jiàn)，峰值碼出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)大于其他碼值出現(xiàn)的概率，導(dǎo)致峰值碼在曲線擬合中的權(quán)重遠(yuǎn)大于其他碼值。

通常，被測(cè)正弦波不可能恰好覆蓋全量程范圍，由此導(dǎo)致實(shí)際使用的量化碼數(shù)少于2b個(gè)，且峰值碼和谷值碼均有可能不完整，即其寬度低于理論值，使得其碼寬度、量化誤差值的分布，以及在曲線擬合中的權(quán)重都會(huì)產(chǎn)生變化，從而影響曲線擬合參數(shù)誤差。

由于正弦波幅度和直流分量的變化均能造成峰值碼和谷值碼的量化寬度的變化，由此，對(duì)波形擬合誤差造成影響。需要在量化碼量級(jí)細(xì)度上進(jìn)行掃描搜索，以定量呈現(xiàn)該影響。

1.2 初始相位的影響問(wèn)題

任何一個(gè)用于曲線擬合的測(cè)量序列都是有限長(zhǎng)采樣序列，以只含有一個(gè)周期的正弦波采樣序列為例，在任何其他因素都不變的情況下，僅根據(jù)初始相位發(fā)生變化所呈現(xiàn)的波形序列，就可以呈現(xiàn)出“中點(diǎn)對(duì)稱性波形”、“中點(diǎn)反襯性波形”和一般波形等情況，而含有量化誤差的測(cè)量序列，其在“中點(diǎn)對(duì)稱性波形”和“中點(diǎn)反襯性波形”等不同狀態(tài)下，擬合誤差將產(chǎn)生明顯變化。因而，初始相位的變化對(duì)曲線擬合將造成明顯的影響，需要通過(guò)深度相位掃描的方式予以定量表征。

1.3 波形陡峭度問(wèn)題

正弦波形數(shù)據(jù)采集中，信號(hào)頻率的變化和采樣速率的變化最終歸結(jié)為每個(gè)周波內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)的變化問(wèn)題。每個(gè)周波采樣點(diǎn)數(shù)越少，信號(hào)序列的陡峭程度越高，其他條件不變時(shí)，波形的陡峭程度將對(duì)參數(shù)擬合誤差造成影響。以其他條件不變，序列中含有的信號(hào)周波數(shù)來(lái)表征該陡峭程度，周波數(shù)越多，則陡峭程度越高。本文以1～21個(gè)周波為研究對(duì)象。

1.4 序列長(zhǎng)度問(wèn)題

正弦波采集中，序列長(zhǎng)度的變化主要從兩個(gè)方面影響擬合誤差。當(dāng)與量化碼個(gè)數(shù)相比，序列長(zhǎng)度很短時(shí)，由于采樣量化誤差不能達(dá)到依理論概率分布呈現(xiàn)的狀態(tài)，不同的采樣條件將給參數(shù)擬合造成較大波動(dòng)。此時(shí)，單點(diǎn)測(cè)量值的權(quán)重較大、峰值碼寬度不完整等因素和量化誤差的變動(dòng)將給參數(shù)擬合結(jié)果造成較大影響。

當(dāng)序列長(zhǎng)度到達(dá)一定長(zhǎng)度以上后，量化誤差分布更加趨近于理論分布，單點(diǎn)測(cè)量值在整體中的權(quán)重下降，導(dǎo)致其變化時(shí)對(duì)參數(shù)擬合誤差造成的影響降低，擬合將更加穩(wěn)定。本文的序列長(zhǎng)度選取范圍為100～16000。

1.5 整周期問(wèn)題

實(shí)際工作中的數(shù)據(jù)采集序列很少是整周期采樣序列，其擬合參數(shù)的誤差規(guī)律也更加復(fù)雜和多樣。為降低工作量，并使過(guò)程更加穩(wěn)定，通過(guò)截取序列方式可保證其近似在整數(shù)個(gè)周期的狀況下工作。本文以1～21個(gè)周波為研究對(duì)象。

1.6 幅度變化問(wèn)題

對(duì)于波形采樣序列而言，當(dāng)其不能覆蓋全量程時(shí)，將導(dǎo)致量化階梯的使用數(shù)量減少。一般，對(duì)于量程為E、A/D位數(shù)為b的采集系統(tǒng)而言，半量程與滿量程的幅度區(qū)間是主要考察對(duì)象區(qū)間，屬于b位A/D的應(yīng)用范疇；而在1/4～1/2量程的幅度區(qū)間，應(yīng)該是量程為E/2的b-1位A/D的系統(tǒng)的考察區(qū)間。因而，過(guò)低幅度的誤差特征在實(shí)際應(yīng)用中并無(wú)太大實(shí)際意義和價(jià)值。

本文研究的主要目標(biāo)是定量展示上述各種條件要素變化時(shí)，正弦參數(shù)擬合誤差的變化情況。

2 基本思想

2.1 測(cè)量條件

正弦波形的數(shù)據(jù)采集中包括主觀條件和客觀條件，其被測(cè)波形及其各種參量屬于無(wú)法改變的客觀存在，很難被干預(yù)和調(diào)整。但測(cè)量條件，例如測(cè)量系統(tǒng)的量程、A/D位數(shù)、采樣速率、存儲(chǔ)深度等，可通過(guò)主觀選擇而變化。

實(shí)際的正弦波采樣測(cè)量中，通過(guò)控制采樣速率與信號(hào)頻率兩者之比確定每個(gè)周波包含的采樣點(diǎn)數(shù)；在此基礎(chǔ)上，以采樣序列長(zhǎng)度確定其所包含的周波數(shù)。

通過(guò)采集量程，控制信號(hào)幅度與量程的占比；以不同A/D位數(shù)的測(cè)量系統(tǒng)，調(diào)控量化誤差水平;最終，用于調(diào)整和控制正弦波擬合參數(shù)誤差界。

綜合各方面因素，篩選出具有相互獨(dú)立性和系統(tǒng)完備性的可展現(xiàn)量化誤差影響的測(cè)量條件如下。

① 量程及A/D位數(shù)，用于確定量化誤差水平。

② 采樣序列包含信號(hào)周波數(shù)，用于確定周波數(shù)的影響。

③ 序列樣本點(diǎn)數(shù)，用于確定存儲(chǔ)深度的影響。

④ 信號(hào)幅度，用于確定幅度變化及量化帶來(lái)的影響。

⑤ 初始相位，用于確定相位變化帶來(lái)的影響。

⑥ 直流分量，用于確定直流分量變化及量化帶來(lái)的影響。

經(jīng)四參數(shù)正弦曲線擬合，獲得指標(biāo)特征參量如下。

① 有效位數(shù)誤差界，以bit表述。

② 擬合幅度誤差界，以LSB表述。

③ 擬合頻率誤差界，以相對(duì)誤差表述。

④ 擬合相位誤差界，以度(°)表述。

⑤ 擬合直流分量誤差界，以LSB表述。

2.2 誤差界搜索

正弦擬合參數(shù)的誤差界是在上述6項(xiàng)測(cè)量條件下，固定其中的5項(xiàng)，變化1項(xiàng)，搜索出該條件變化時(shí)，四參數(shù)正弦擬合所獲得的有效位數(shù)、幅度、頻率、相位、直流分量5項(xiàng)指標(biāo)的誤差界。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件

為方便參數(shù)調(diào)控，不失一般性，設(shè)定包含6項(xiàng)測(cè)量條件的仿真實(shí)驗(yàn)條件如下。

① A/D位數(shù)為16 bit。

② 信號(hào)幅度。未特別說(shuō)明時(shí)，幅度為95.00%×量程。作為主變化因素時(shí)，幅度宏觀變化范圍為量程的3.052%～ 99.99%，1.977 LSB步進(jìn)。作為輔助變化量時(shí)，在95.00%×量程點(diǎn)處，其微觀變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.1 LSB步進(jìn)。

③ 采樣序列包含周波數(shù)。未特別說(shuō)明時(shí)，為20個(gè)周波。作為主變化因素時(shí)，變化范圍為0.90～21.00個(gè)周波，0.01周波步進(jìn)。作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為1～20個(gè)周波，1周波步進(jìn)。

④ 初始相位。未特別說(shuō)明時(shí)，初始相位為0°。作為主變化因素時(shí)，變化范圍為-180°～180°，0.1°步進(jìn)。作為輔助變化量時(shí)，范圍不變，20°步進(jìn)。

⑤ 直流分量。未特別說(shuō)明時(shí)，直流分量為0。作為主變化因素時(shí)，變化范圍為-2～2 LSB，0.01 LSB步進(jìn)。作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.1 LSB步進(jìn)。

⑥ 序列樣本點(diǎn)數(shù)。未特別說(shuō)明時(shí)，序列樣本點(diǎn)數(shù)為16000點(diǎn)。作為主變化因素時(shí)，變化范圍為100～16000點(diǎn)，1點(diǎn)步進(jìn)。作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為1000～ 16000點(diǎn)，1000點(diǎn)步進(jìn)。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

按照上述仿真實(shí)驗(yàn)條件，分別以1種參量為主變化因素、1種參量為輔助變化因素生成實(shí)際的仿真條件，考察各指標(biāo)要素的誤差變化情況。

3.2.1 幅度作為主變化因素

① 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖1所示。均為1～20個(gè)周波(步進(jìn)1個(gè)周波)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖1 幅度與周波數(shù)同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

② 相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖2所示。均為初始相位在-180°～180°(步進(jìn)20°)范圍內(nèi)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖2 幅度與相位同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖3所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖3 幅度與直流分量同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖4所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)(步進(jìn)1000點(diǎn))的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖4 幅度與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

由圖1～圖4可知，不同條件下各個(gè)擬合參數(shù)的誤差界均有隨著信號(hào)幅度增加而降低的趨勢(shì)。主要是由量化誤差峰值恒定，隨著幅度增加，其在擬合中與幅度的占比呈下降趨勢(shì)造成。其中，半量程以上的誤差帶呈緩慢收窄趨勢(shì)。

3.2.2 周波數(shù)作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖5所示。均為幅度在95.00%×量程點(diǎn)處、微觀波動(dòng)范圍為-0.5～0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖5 周波數(shù)與幅度同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

② 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖6所示。均為初始相位在-180°～180°(步進(jìn)20°)范圍內(nèi)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖6 周波數(shù)與相位同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖7所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖7 周波數(shù)與直流分量變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖8所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)(步進(jìn)1000點(diǎn))的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖8 周波數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

由圖5～圖8可知，除了頻率誤差以外，其他各個(gè)參數(shù)的擬合誤差界隨周波數(shù)的變化呈平穩(wěn)狀態(tài)，唯有頻率擬合誤差隨周波數(shù)增加呈反比下降趨勢(shì)。應(yīng)該是擬合估計(jì)波形長(zhǎng)度誤差與其他參數(shù)一樣，誤差界平穩(wěn)，而隨著周波數(shù)增多，相當(dāng)于分配給每一個(gè)小周波的誤差帶變窄造成的。

3.2.3 初始相位作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖9所示。均為幅度在95.00%×量程點(diǎn)處、微觀波動(dòng)范圍為-0.5～0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖9 初始相位與幅度同時(shí)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖10所示。均為1～20個(gè)周波(步進(jìn)1個(gè)周波)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖10 初始相位與周波數(shù)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖11所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖11 初始相位與直流分量變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖12所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)(步進(jìn)1000點(diǎn))的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖12 初始相位與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

由圖9～圖12可知，各個(gè)參數(shù)的擬合誤差界隨初始相位的變化與波形所含周波數(shù)有關(guān)，單周波時(shí)其擬合頻率誤差界波動(dòng)較大，隨著周波數(shù)上升為2個(gè)以上后，各個(gè)擬合參數(shù)誤差界呈平穩(wěn)狀態(tài)。其原因應(yīng)該是單周波時(shí)，初始相位的變化影響到波形的對(duì)稱和反稱狀態(tài)，從而給頻率擬合帶來(lái)更大的影響。

3.2.4 直流分量作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖13所示。均為幅度在95.00%×量程點(diǎn)處、微觀波動(dòng)范圍為-0.5～0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖13 直流分量與幅度變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖14所示。均為1～20個(gè)周波(步進(jìn)1個(gè)周波)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖14 直流分量與周波數(shù)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

③ 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖15所示。均為初始相位在-180°～180°(步進(jìn)20°)范圍內(nèi)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖15 直流分量與相位變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖16所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)(步進(jìn)1000點(diǎn))的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖16 直流分量與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

由圖13～圖16可知，各個(gè)參數(shù)的擬合誤差界隨直流分量的變化呈周期性特征，其各個(gè)擬合參數(shù)的誤差界或呈對(duì)稱、反稱特征，其波動(dòng)較大，但波動(dòng)范圍穩(wěn)定，可以認(rèn)定各個(gè)擬合參數(shù)誤差界呈平穩(wěn)狀態(tài)。其原因應(yīng)該是直流分量在量化誤差尺度變化時(shí)，對(duì)峰值碼和谷值碼的完整性產(chǎn)生周期性影響造成了各個(gè)擬合參數(shù)誤差界的周期性特征。

3.2.5 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖17所示。均為幅度在95.00%×量程點(diǎn)處、微觀波動(dòng)范圍為-0.5～0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖17 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與幅度變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖18所示。均為1～20個(gè)周波(步進(jìn)1個(gè)周波)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖18 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與周波變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

③ 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖19所示。均為初始相位在-180°～180°(步進(jìn)20°)范圍內(nèi)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖19 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與相位變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

④ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖20所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進(jìn)0.1 LSB)的測(cè)量曲線相重合所形成誤差的包絡(luò)。

圖20 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與直流分量變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界

由圖17～圖20可知，各個(gè)參數(shù)的擬合誤差界隨數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加呈降低趨勢(shì)。其原因應(yīng)該是數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，每一采樣點(diǎn)的擬合權(quán)重降低，導(dǎo)致單點(diǎn)量化誤差在曲線擬合中的影響降低，擬合模型值更趨于穩(wěn)定。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

將圖1～圖20中各個(gè)擬合參數(shù)誤差界整理歸納形成表1所述的量值及測(cè)量條件。每一個(gè)擬合參數(shù)都可以選取其誤差界最大者進(jìn)行誤差估計(jì)和使用。

表1 正弦擬合參數(shù)的條件誤差界(16bit A/D)

3.3.1 有效位數(shù)誤差界

由圖1(a)～圖20(a)可知：

① 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是影響有效位數(shù)誤差界(誤差包絡(luò)線)的最重要因素，總體而言，在6000點(diǎn)以下，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增大可以導(dǎo)致有效位數(shù)誤差界的單調(diào)變窄。6000點(diǎn)以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，誤差帶比較平穩(wěn)，沒(méi)有明顯的總體變化趨勢(shì)，此時(shí)，可以獲得有效位數(shù)誤差界下界為-0.05 bit，上界為0.05 bit。

② 當(dāng)幅度在量程范圍內(nèi)大尺度變化時(shí)，有效位數(shù)誤差界隨幅度增加呈緩慢下降趨勢(shì)，由±0.1 bit下降到±0.05 bit。當(dāng)幅度量程比在50%以上時(shí)，誤差界趨于平穩(wěn)，其誤差下界為-0.05 bit，上界為0.05 bit。幅度在LSB量值尺度的微觀進(jìn)行變化時(shí)，有效位數(shù)誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，變化范圍為±0.01 bit，變化周期為1 LSB。

③ 有效位數(shù)誤差沒(méi)有隨周波數(shù)的變化而變化的趨勢(shì)，其誤差帶平穩(wěn)，但存在離散跳動(dòng)點(diǎn)，誤差帶下界為-0.02 bit，上界為0.02 bit，少數(shù)離散跳動(dòng)范圍為±0.04 bit。

④ 初始相位因素對(duì)有效位數(shù)影響的誤差帶波動(dòng)平穩(wěn)，但是，其他因素，例如幅度、周波數(shù)、直流分量等會(huì)影響誤差帶寬度和位置。其波動(dòng)的誤差下界為-0.04 bit，上界為0.04 bit。

⑤ 直流分量在LSB量值尺度微觀變化時(shí)，有效位數(shù)誤差隨其變化呈周期性變化，幅度周期為1 LSB；其波動(dòng)的誤差下界為-0.03 bit，上界為0.03 bit。在直流分量變化時(shí)，其他因素的變化對(duì)誤差界也有影響，按照影響由大到小排列，它們依次為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、初始相位、周波數(shù)、幅度。

3.3.2 幅度誤差界

由圖1(b)～圖20(b)可知：

① 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是影響幅度誤差界的重要因素，在5000點(diǎn)以下時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增大可以導(dǎo)致幅度誤差界的單調(diào)變窄。

當(dāng)周波數(shù)為2以上，超過(guò)5000點(diǎn)后，其誤差界趨于平穩(wěn)，誤差界下界約為-0.04 LSB，上界約為0.04 LSB。

② 在量程范圍內(nèi)大尺度變化時(shí)，幅度誤差界隨幅度增加呈平穩(wěn)趨勢(shì)，下界為-0.05 LSB，上界為0.05 LSB；其他對(duì)其影響的因素按重要性排列依次為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、直流分量、初始相位、周波數(shù)。

幅度在LSB量值尺度微觀變化時(shí)，幅度誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，下界為-0.022 LSB，上界為0.04 LSB，變化周期為1 LSB；不同幅度將改變幅度誤差的量值。

③ 周波變化給幅度誤差界帶來(lái)的影響比較平穩(wěn),下界約為-0.01 LSB，上界約為0.01 LSB。

④ 初始相位因素的影響處于平穩(wěn)波動(dòng)狀態(tài)，不同初始相位的波動(dòng)帶可能有明顯的寬窄和位置差異，其下界為-0.024 LSB，上界為0.03 LSB。

⑤ 幅度誤差界隨直流分量的變化呈周期變化，周期為1 LSB，其下界為-0.024 LSB，上界為0.024 LSB。

3.3.3 頻率誤差界

由圖1(c)～圖20(c)可知：

① 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與周波數(shù)的結(jié)合是影響頻率誤差界的最重要因素，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增大可以導(dǎo)致頻率誤差界的變窄，但并非單調(diào)變窄。6000點(diǎn)以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，1/2量程以上的幅度，2個(gè)以上的周波數(shù)，可以獲得頻率誤差界下界為-1.0E-7，上界為1.0E-7；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，以及更多的周波數(shù)。

② 頻率誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢(shì)，但不單調(diào)下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，半量程幅度以后，其頻率誤差下界為-1E-7，上界為1E-7。

③ 周波數(shù)增大時(shí)，頻率誤差隨周波數(shù)增加呈衰減趨勢(shì)，其中，與初始相位結(jié)合的影響比其他因素顯著，10個(gè)周波以上時(shí)，頻率誤差下界為-2E-8，上界為2E-8。

④ 周波數(shù)大于2時(shí)，初始相位、直流分量因素的影響小于1E-8，可以忽略。

3.3.4 初始相位誤差界

由圖1(d)～圖20(d)可知：

① 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與周波數(shù)的結(jié)合是影響初始相位誤差界的最重要因素，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增大可以導(dǎo)致初始相位誤差界的變窄，但并非單調(diào)變窄。2個(gè)周波以上的波形，5000點(diǎn)以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，其誤差界下界為-1.5E-4(°)，上界為1.5E-4(°)；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

② 初始相位誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢(shì)，但不單調(diào)下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，半量程以上幅度，下界為-1.5E-4(°)，上界為1.5E-4(°)。

③ 當(dāng)周波數(shù)變化時(shí)，初始相位誤差界比較平穩(wěn)，下界為-5E-5(°)，上界為5E-5(°)；在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較低時(shí)，會(huì)有較大跳變，下界為-4E-4(°)，上界為4E-4(°)。

④ 初始相位誤差界，隨初始相位本身、直流分量等各種因素影響而變化的規(guī)律均比較平穩(wěn)，下界為-6E-5(°)，上界為6E-5(°)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，會(huì)有增加，下界為-4E-4(°)，上界為4E-4(°)。

3.3.5 直流分量誤差界

由圖1(e)～圖20(e)可知：

① 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是影響直流分量誤差界的重要因素之一，在4000點(diǎn)以下，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增大可以導(dǎo)致直流分量誤差界的變窄。4000點(diǎn)以上，其誤差界比較平穩(wěn)，下界為-0.02 LSB，上界為0.02 LSB。

② 0值的直流分量誤差界隨幅度增加呈緩慢上升趨勢(shì)，主要由于幅度上升后，接近0值的直流分量與其相差懸殊，運(yùn)算舍入誤差造成；下界為-0.014 LSB，上界為0.014 LSB。非0值的直流分量誤差界量值由幅度、直流分量組合變化確定，幅度大尺度而變化時(shí)，誤差界呈平穩(wěn)下降趨勢(shì)，下界為-0.06 LSB，上界為0.06 LSB；隨著直流分量的不同，誤差界寬度與位置呈較多的變化。

③ 周波數(shù)變化時(shí)，直流分量誤差界隨周波數(shù)增加呈平穩(wěn)趨勢(shì)。

④ 初始相位因素對(duì)直流分量誤差的影響可以忽略，下界為-5E-5 LSB，上界為5E-5 LSB。

⑤ 直流分量在LSB尺度的微觀變化將導(dǎo)致其自身誤差變化較大，局部具有周期性特征，以1 LSB為周期，下界為-0.014 LSB，上界為0.014 LSB。

4 問(wèn)題討論

上述過(guò)程是以幅度、周波數(shù)、相位、直流分量和數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)5個(gè)條件作為變動(dòng)條件參量，用有效位數(shù)誤差、幅度誤差、頻率相對(duì)誤差、相位誤差和直流分量誤差作正弦擬合結(jié)果的指針參量。

以1個(gè)參量作為主變動(dòng)條件因素，其他4項(xiàng)參量作為輔助變量的情況進(jìn)行二維搜索，揭示其在雙變量組合變化情況下的各個(gè)指針參量誤差界的變化情況，獲得不同組合實(shí)驗(yàn)條件下的誤差界測(cè)量曲線。結(jié)果表明：

① 擬合序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是最重要的測(cè)量條件，也是影響擬合結(jié)果的誤差界的主導(dǎo)條件，若想獲得更高準(zhǔn)確度的擬合結(jié)果，通常需要更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

② 波形幅度指的是其相對(duì)量程范圍的占比。實(shí)驗(yàn)表明，超過(guò)半量程以后幅度的信號(hào)波形擬合誤差界趨于平穩(wěn)。因此，測(cè)量活動(dòng)應(yīng)盡量選擇半量程以上覆蓋率的幅值，至少是覆蓋四分之一量程以上的幅度值進(jìn)行測(cè)量。

③ 周波數(shù)的影響實(shí)際上體現(xiàn)的是采樣速率和信號(hào)頻率比的影響。實(shí)驗(yàn)表明，頻率擬合誤差界隨周波數(shù)的增加呈衰減趨勢(shì)，并且周波數(shù)越小，變化趨勢(shì)越顯著；在10個(gè)周波以后，變化趨勢(shì)趨于平穩(wěn)。若想獲得較小的擬合誤差，則應(yīng)適當(dāng)提高擬合序列周波數(shù)，至少應(yīng)為2個(gè)周波以上；和多周波條件相比，2個(gè)周波以下時(shí)擬合誤差顯著升高。對(duì)于頻率以外的其他指針參量，誤差帶的總體趨勢(shì)平穩(wěn)，沒(méi)有隨周波數(shù)變動(dòng)的明顯趨勢(shì)性變化。

④ 初始相位變化時(shí)，當(dāng)其他因素固定時(shí)，僅由初始相位變化導(dǎo)致的各個(gè)參數(shù)誤差帶波動(dòng)平穩(wěn)。但其他因素變化后，由初始相位與其他因素聯(lián)動(dòng)變化導(dǎo)致的各個(gè)參數(shù)誤差帶寬度和位置可以有較大變化。其對(duì)于有效位數(shù)誤差帶的影響約為±0.04 bit；對(duì)于幅度擬合誤差帶的影響約為±0.03 LSB；當(dāng)周波數(shù)為2個(gè)以上時(shí)，對(duì)于初始相位擬合誤差帶的影響約為±6E-5(°)；對(duì)于直流分量擬合誤差帶的影響約為±0.026 LSB；當(dāng)周波數(shù)為10個(gè)以上時(shí)，對(duì)于頻率擬合誤差帶的影響約為±2.0E-8。

⑤ 直流分量的變化，本文只關(guān)注到了LSB量值范圍的變化帶來(lái)的影響。在該尺度上，它的變化給每一個(gè)參量的誤差帶均帶來(lái)周期性影響。給其他參量誤差帶的影響均呈現(xiàn)明顯的對(duì)稱性，而給直流分量自己的誤差帶的影響則具有反稱性特征。

配合其他因素的變動(dòng)，直流分量的微觀變化可對(duì)有效位數(shù)造成的誤差帶的影響約為±0.05 bit；對(duì)于幅度擬合誤差帶的影響約為±0.04 LSB；對(duì)于初始相位擬合誤差帶的影響約為±0.00015°；對(duì)于直流分量擬合誤差帶的影響約為±0.032 LSB。當(dāng)周波數(shù)為2個(gè)以上時(shí)，對(duì)于頻率擬合誤差帶的影響約為±3.6E-8；

⑥ 在實(shí)際工作中，如果并不需要獲得全部上述5個(gè)參量，而僅僅需要其中某一個(gè)參量的高精度結(jié)果，例如有效位數(shù)，則可以根據(jù)該參量的影響因素顯著程度，只注意調(diào)控和構(gòu)建所需要的影響量條件即可，其他可以自由選取，不必全盤(pán)考慮，這會(huì)使得實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)更加容易。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)仿真，對(duì)使用16 bit A/D轉(zhuǎn)換器的測(cè)量系統(tǒng)所得正弦測(cè)量序列，在波形擬合中獲得的幅度、頻率、初始相位、直流分量和有效位數(shù)5個(gè)參數(shù)的擬合誤差界進(jìn)行了搜索研究，給出了誤差界隨波形幅度、周波數(shù)、初始相位、直流分量、數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)等不同組合條件而變化的曲線，揭示出其變化規(guī)律。例如，頻率擬合誤差界隨幅度宏觀上升變化而呈現(xiàn)出總體下降的趨勢(shì)，隨幅度和直流分量在LSB尺度的微觀變化呈現(xiàn)出周期性變化的規(guī)律，隨周波數(shù)、數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)上升而呈現(xiàn)出總體下降的趨勢(shì)。

總結(jié)出了顯著影響量和非顯著影響量。對(duì)正弦擬合參量的不確定度評(píng)估和誤差界定具有重要意義和價(jià)值。另外，對(duì)于擬合參數(shù)誤差有明確要求的場(chǎng)合，可以通過(guò)構(gòu)筑相適應(yīng)的測(cè)量條件獲得預(yù)期結(jié)果。

由于16 bit A/D轉(zhuǎn)換器的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)波形測(cè)量的主流設(shè)備，而正弦擬合逐漸成為高精度測(cè)量分析的重要手段，因而，獲得的結(jié)論將擁有良好的實(shí)際應(yīng)用前景。