混沌粒子群算法-高斯過程回歸的SOH估計

丁一，劉盛終，王旭東，霍現(xiàn)旭，胡志剛，姜帆

（1.國網(wǎng)天津市電力公司電力科學(xué)研究院，天津 300384；2.國網(wǎng)天津市電力公司，天津300010；3.國網(wǎng)天津市電力公司城東供電分公司，天津 300250；4.國網(wǎng)天津市電力公司薊州供電分公司，天津 301900）

鉛酸蓄電池被廣泛應(yīng)用在電動汽車、光伏電站、分布式電源和航空航天等領(lǐng)域中，其維護簡單，使用壽命長，功率高，穩(wěn)定性和可靠性較強。健康狀態(tài)（SOH）是鉛酸蓄電池的一個重要指標(biāo)，它反映了電池的老化程度，也是電池管理系統(tǒng)（battery management system，BMS）建設(shè)中需要重點考察的因素。通常認(rèn)為電池出廠時SOH為100%，隨著循環(huán)充放電次數(shù)的增多，其可用容量逐漸遞減，這一過程是不可逆的，SOH的定義式為電池的當(dāng)前可用容量與電池出廠容量的比值。當(dāng)SOH下降到特定數(shù)值以下時，一般為0.8左右，電池報廢。

當(dāng)前對于鉛酸蓄電池SOH估計的研究文章較多，一般SOH估計分為三大類：基于模型的方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動方法和融合方法?；谀Ｐ偷姆椒ㄖ饕獜碾姵氐奈锢頇C理出發(fā)進行建模和探究，電池的SOH受溫度、充放電電流、工況條件、放電深度等眾多因素的綜合影響，各因素相互耦合，其機理較復(fù)雜，文獻[1]建立了鉛酸電池的二階等效電路模型，并利用迭代遞推最小二乘法對模型中的參數(shù)進行辨識，但該模型較簡化，沒有考慮更為復(fù)雜和實際的工況，無法刻畫電池復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)。文獻[2]在此基礎(chǔ)上，結(jié)合電氣和電化學(xué)知識，將電池分為放電初期、穩(wěn)定放電階段以及充電階段，提高了模型的準(zhǔn)確率。但總的來說，基于物理模型的方法存在機理不明晰、建模困難的問題，現(xiàn)階段無法準(zhǔn)確刻畫電池內(nèi)部各要素的具體作用和耦合關(guān)系，因此造成模型的局限性較大，實際應(yīng)用價值不高。

與此同時，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法發(fā)揮了較大的作用，該方法無需考慮電池的復(fù)雜電化學(xué)機理，屬于機器學(xué)習(xí)的范疇，通過對已知樣本進行學(xué)習(xí)，來辨識和掌握所考察對象的數(shù)據(jù)特征，當(dāng)有新的樣本輸入時，就可以據(jù)此進行預(yù)測，該方法的適應(yīng)性較強，隨著研究目標(biāo)的改變，能夠靈活地調(diào)整訓(xùn)練對象，建立新的預(yù)測模型。文獻[3]采用支持向量機（support vector machine，SVM），建立了反映蓄電池端電壓、內(nèi)阻和SOC的預(yù)測回歸模型。文獻[4]采用相關(guān)向量機（relevance vector machine，RVM）的方法，只保留迭代過程中的非零向量，因而相比支持向量機，減少了計算量。文獻[5]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以電池端電壓和充放電電流采集值為輸入，SOC為輸出，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并采用梯度下降法訓(xùn)練模型的權(quán)重和偏值。文獻[6]采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（fuzzy neural network，F(xiàn)NN），用粒子群算法對模型中的權(quán)重、偏值和隸屬度函數(shù)進行優(yōu)化。總的來說，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，回歸模型的準(zhǔn)備時間較長。

混合方法將基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法和基于模型的方法相融合，試圖克服數(shù)據(jù)驅(qū)動方法對于數(shù)據(jù)量的依賴性和基于模型的方法中由于模型本身的誤差而導(dǎo)致對于客觀物理對象描述的不準(zhǔn)確性，比如用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法來獲取機理模型中測量方程的輸出值，以減少在復(fù)雜工況下，模型參數(shù)辨識不準(zhǔn)確導(dǎo)致的估計誤差。文獻[7]用DS（dempster-shafer）理論來初始化訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，并用蒙特卡洛方法來更新電池容量退化雙指數(shù)模型中的參數(shù)。文獻[8]用卡爾曼濾波算法（KF）來增強電池容量的相關(guān)向量機模型，提高了預(yù)測的長期性和預(yù)測精度。文獻[9]用離線的電池模型參數(shù)作為容量退化的特征量，來訓(xùn)練灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并用于在線容量估計。這類方法的魯棒性較好，具有較強的參數(shù)修正能力，但總的來說，混合方法提高了預(yù)測模型和估計算法的復(fù)雜度，在提高可靠性的同時不可避免地導(dǎo)致預(yù)測精度的降低。

高斯過程回歸（Gaussian process regression，GPR）[10]是最近發(fā)展起來的一種基于貝葉斯框架的回歸方法，在處理高維度、小樣本、強非線性的問題中具有較強優(yōu)勢，適合電池這一強非線性系統(tǒng)。本文首先提取鉛酸蓄電池的充電特征曲線，分析對比了恒流充電階段的相關(guān)特征。然后建立起GPR模型，采用混沌粒子群算法（CPSO）對模型中的超參數(shù)進行優(yōu)化，找到高質(zhì)量的超參數(shù)。兩種算法相互協(xié)同，形成了CPSO-GPR算法，實驗結(jié)果表明，用該算法來預(yù)測新樣本點的SOH值，估計精度在3%以內(nèi)。

1 恒流充電特征分析對比

鉛酸蓄電池屬于二次電池，其具有可逆的化學(xué)反應(yīng)，即“雙硫酸鹽化反應(yīng)”，在正負級都會有PbSO4生成。充電過程是正、負極板上的PbSO4得電子，和水反應(yīng)，分別在正、負極生成PbO2和Pb。放電反應(yīng)是正、負極的活性物質(zhì)分別與電解液H2SO4反應(yīng)，失電子生成 PbSO4，隨著PbSO4擴散到正、負極的活性物質(zhì)里面，使得H2SO4難以入內(nèi)參與化學(xué)反應(yīng)，使得放電電壓急劇下降。鉛酸蓄電池可以反復(fù)充、放電多次，每次體系恢復(fù)到原始狀態(tài)，但由于極板老化、硫酸鹽化和板柵腐蝕等原因，電池的可用容量逐漸衰減。

下面用循環(huán)充、放電實驗來獲取鉛酸電池的容量衰減曲線。充電實驗采用先恒流充電再恒壓充電[4]的形式，這種方法較溫和，對電池的沖擊較小，且保證較高的充電效率。放電實驗則采用恒流放電。

電池參數(shù)為：額定容量200 A·h，循環(huán)充電電壓（14.70±0.18）V，最大充電電流50 A。

實驗步驟為：1）20 A恒流充電；2）當(dāng)端電壓達到14.4 V時，轉(zhuǎn)為恒壓充電，當(dāng)充電電流下降到2.4 A時，充電階段結(jié)束；3）40 A恒流放電，同時用傳感器記錄放電電流和時間，用A·h計量法計算實際容量；4）端電壓達到截止電壓1.6 V時，一個充、放電循環(huán)結(jié)束；5）重復(fù)1）～4）步驟52次。得到容量隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖1所示。

圖1 電池容量退化趨勢Fig.1 The degeneration trend of battery capacity

記錄每次循環(huán)充放電過程中的恒流充電時間和恒壓充電時間隨當(dāng)前容量的對應(yīng)關(guān)系，得到如圖2所示的關(guān)系曲線。由圖2易知，恒壓、恒流充電階段時間和充電總時間隨容量衰減而變化顯著。設(shè)充電總時間、恒壓和恒流充電時間分別為T，T1，T2，分別計算灰色關(guān)聯(lián)度和皮爾遜相關(guān)系數(shù)來選取相關(guān)性最高的量，得到表1。

圖2 電池容量和充電時間的關(guān)系曲線Fig.2 Relevance curves between battery capacity and charging time

表1 灰色關(guān)聯(lián)度分析結(jié)果Tab.1 Results of grey relevance analysis

故選取恒流充電時間T2序列和電池循環(huán)容量序列，建立GPR模型。

2 鉛酸蓄電池高斯過程回歸模型的建立

高斯過程又名正態(tài)隨機過程，面對小樣本、高維度和強非線性的樣本時具有較好的學(xué)習(xí)能力[8]。

式中：K（X，X）為訓(xùn)練樣本X的協(xié)方差矩陣；ρ（X）為訓(xùn)練樣本X的均值矩陣。

可建立如下的高斯過程模型：

式中：y為輸出向量為高斯白噪聲；I為單位矩陣為方差。

由于白噪聲相互獨立，則y也屬于高斯過程，由貝葉斯原理可知，y的先驗分布為

對于一組新的樣本(x*,y*)，可知目標(biāo)輸出向量y和測試樣本的輸出y*符合聯(lián)合高斯分布，即

K矩陣的第i行第j列元素Kij=k(xi,xj)為核函數(shù)。由貝葉斯后驗分布公式可知：

易知y*的置信度為0.997 3的置信區(qū)間為核函數(shù)取平方指數(shù)核函數(shù)[9]，用輸入變量之間的距離來反映相關(guān)性，即

式中：σp為核函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，描述輸入變量的局部相關(guān)性；l為帶寬，控制核函數(shù)的光滑程度。

σp，l，σn為超參數(shù)；當(dāng)i=j時，控制系數(shù)δij=1，否則為0。

GPR的缺點在于回歸模型中的超參數(shù)過多，選取不當(dāng)會直接影響模型的回歸性能。超參數(shù)尋優(yōu)的本質(zhì)是最小化訓(xùn)練樣本的預(yù)測值和真實值之間的均方誤差，是一類無約束優(yōu)化問題，即

式中：m為驗證集的個數(shù)。

式（7）的解析復(fù)雜，求導(dǎo)困難，超參數(shù)的初值難以估計，常用啟發(fā)式算法進行優(yōu)化，即初始化一個群，通過逐代進化，優(yōu)勝劣汰，進而尋找到一個高質(zhì)量的解。

3 混沌粒子群算法

粒子群算法[11]是一種優(yōu)秀的啟發(fā)式算法，其參數(shù)較少，收斂速度快，全局性能好，而且不需要提供目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，適合用于參數(shù)辨識、超參數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)解[10-11]而導(dǎo)致解的質(zhì)量不高。本文將混沌過程引入PSO中，形成了混沌粒子群算法，以提高其尋優(yōu)的廣度和深度，獲取更高質(zhì)量的超參數(shù)解，提升GPR模型的回歸預(yù)測效果。

3.1 混沌初始化

混沌具有遍歷性，有助于產(chǎn)生盡可能覆蓋可行區(qū)域的初始粒子。這里采用logistic序列[12]Ui+1=μUi（1-Ui）來初始化種群。當(dāng)μ=4時達到完全混沌狀態(tài)。先產(chǎn)生n維混沌變量U0（n為超參數(shù)個數(shù)），代入logistic序列中迭代M次（M＞m，m為粒子總數(shù)），生成M個混沌向量，逐一反映射到自變量的取值區(qū)間，生成M個粒子。第i個粒子Ui=（δip，li，δin），包含了 GPR可能的超參數(shù)信息。將每個粒子帶入到式（7）中，比較目標(biāo)函數(shù)值，選取最優(yōu)的m個粒子作為初始種群。較優(yōu)的初始種群能夠避免低效率搜索，加速尋優(yōu)進程。

3.2 混沌搜索

常規(guī)PSO中粒子速度和位置的迭代公式如下：

式中：ω為慣性因子；c1，c2為學(xué)習(xí)因子；r1，r2為(0,1)之間的隨機數(shù)為粒子i在第k次迭代時的位置為粒子i在第k次迭代時的速度為粒子i的歷史最優(yōu)位置是當(dāng)前全局最優(yōu)位置。

為了提高尋優(yōu)的廣度，在粒子運動過程中加入混沌搜索。粒子的速度位置在第k次更新時，采用如下方法：隨機產(chǎn)生n維向量uo，uoi∈(0,1)。代入logistic方程迭代T次，生成T個混沌向量ut,t=1,2,…,T。令控制混沌搜索的幅度，取為攝動步長，代入式（8）中，迭代更新公式化為

此時粒子i有T個混沌速度位置1,2,…,T和1個不加混沌攝動的速度位置對這T+1種選擇，取最優(yōu)結(jié)果作為第k+1迭代時的速度和位置，即

將式（10）代入式（9）中重復(fù)進行。

3.3 交叉變異操作

遺傳算法[13]（genetic algorithm，GA）的交叉變異操作有助于算法跳出局部最優(yōu)解，借鑒這一思想，當(dāng)種群的平均適應(yīng)度變化較小時，對種群進行交叉和變異操作，有助于獲取新個體，將種群引入新的搜索區(qū)域。

采用多項式交叉。對粒子i和j交叉操作后產(chǎn)生的兩個個體為

其中

式中：δij為交叉因子；u為（0，1）之間的隨機數(shù)。

對于粒子i，定義變異因子：

變異后新粒子為

4 CPSO-GPR算法的基本步驟

將樣本集合D隨機劃分為k個互斥子集[9]，即D=D1∪D2∪…∪Dk,Di∩Dj=?，依次選取Di，i=1，2，…，k為驗證集，其余子集為訓(xùn)練集。代入式（8）中，并用混沌粒子群算法優(yōu)化問題，以獲取高質(zhì)量的超參數(shù)解，經(jīng)過k輪驗證后，選取最優(yōu)的結(jié)果（驗證集中y的真實值和預(yù)測值的均方誤差最?。┳鳛槟Ｐ偷某瑓?shù)解，建立GPR回歸模型，用于新的數(shù)據(jù)點的預(yù)測，并可給出置信區(qū)間。CPSO-GPR算法的基本流程圖如圖3所示，其中，fav為粒子的平均適應(yīng)度，s為迭代計數(shù)變量。

圖3 CPSO-GPR算法流程圖Fig.3 The flow chart of CPSO-GPR

5 實驗驗證與結(jié)論

將鉛酸蓄電池52個充、放電循環(huán)的恒流充電時間數(shù)據(jù)集的前26個數(shù)據(jù)點作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后26個數(shù)據(jù)點作為測試數(shù)據(jù)，來預(yù)測SOH值。訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)都為2×1維的矩陣，第1行為恒流充電時間，第2行為相應(yīng)的當(dāng)前可用容量。實驗過程和實驗數(shù)據(jù)的具體細節(jié)參見文獻[4]。訓(xùn)練數(shù)據(jù)隨機劃分為兩個互斥子集，其中一個為訓(xùn)練集，另一個為驗證集，用于建立GPR模型。

兩個驗證集的數(shù)據(jù)點預(yù)測結(jié)果和相對誤差百分比如圖4所示。可知，各交叉檢驗集的估計誤差大多在1%以下，體現(xiàn)了較好的回歸預(yù)測效果。

圖4 估計結(jié)果及誤差Fig.4 The estimation results and errors

為展示混沌粒子群[14]的優(yōu)化效果，用常規(guī)粒子群算法優(yōu)化問題（式（8）），并與CPSO做對比，得到圖5，適應(yīng)度函數(shù)選取式（7）。由圖5可知，將混沌過程加入到粒子群算法中，增大了尋優(yōu)的廣度和深度，更加不容易陷入局部最優(yōu)解，從而求得更小的擬合誤差和更高質(zhì)量的超參數(shù)值，提高了GPR模型的回歸性能。

圖5 CPSO和PSO優(yōu)化效果對比Fig.5 The optimization effect of CPSO and PSO

將新數(shù)據(jù)點，即后26個循環(huán)周期的恒流充電數(shù)據(jù)代入建立好的GPR模型中，給出預(yù)測值和置信區(qū)間，如圖6所示。由圖6可知，99.5%的置信區(qū)間窄，表現(xiàn)出較好的預(yù)測性能。

圖6 新數(shù)據(jù)點的預(yù)測值及其置信區(qū)間Fig.6 Prediction value and confidence interval of new data points

每個數(shù)據(jù)點的估計值與真實值的相對誤差百分比如圖7所示，可知最大誤差百分比低于3%，精確度較高。

圖7 新數(shù)據(jù)點的估計誤差Fig.7 Estimation error of new data points

本文提出了CPSO-GPR算法用于鉛酸蓄電池的SOH估計中。首先提取鉛酸電池充電階段的健康特征，用恒流充電時間作為表征電池當(dāng)前SOH值的重要指標(biāo)。將混沌過程引入到粒子群算法中，以增強其尋優(yōu)的廣度和深度，用CPSO算法優(yōu)化高斯過程回歸模型中的超參數(shù)，即最小化驗證集預(yù)測值與真實值之間的均方誤差。獲取最優(yōu)的超參數(shù)解以后，用新的數(shù)據(jù)點進行預(yù)測，估計誤差在3%以內(nèi)。結(jié)果表明，CPSO算法有助于提升GPR的回歸性能，進而實現(xiàn)對鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精準(zhǔn)估計，此外，由圖5可知，CPSO算法收斂速度較快，在進行到30代左右就可以獲取較高質(zhì)量的超參數(shù)解，CPSO-GPR的運算時間在5 s以內(nèi)，具有實時性，適合于電池SOH的在線檢測。