基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法

孫寧娜,曾同生,戴曉峰,周潤庚,李鐘曉,李振春,盛冠群

(1.青島大學電子信息學院,山東青島266071;2.中國石油勘探開發(fā)研究院,北京100083;3.中國石油大學(華東)地球科學與技術(shù)學院,山東青島266580;4.三峽大學大數(shù)據(jù)中心,湖北宜昌443000)

在地震數(shù)據(jù)常規(guī)處理中,多次波被視為一種干擾噪聲,它們的存在會干擾對一次波的處理。因此,需要盡量在地震數(shù)據(jù)疊前處理階段對多次波進行壓制。壓制多次波的方法主要有濾波法[1-2]和基于波動方程的預測相減法[3-8]。濾波法是基于信號分析處理的方法,利用一次波和多次波之間的特征或性質(zhì)的差異壓制多次波[9]。但對于復雜地質(zhì)構(gòu)造,基于波動方程的預測相減法進行多次波壓制的效果更加顯著。該方法是采用數(shù)據(jù)驅(qū)動或模型驅(qū)動的方式構(gòu)造多次波模型,然后利用自適應(yīng)相減方法壓制多次波[10]。其關(guān)鍵步驟為多次波自適應(yīng)相減,其效果的優(yōu)劣決定著多次波壓制的精度,進而影響地震數(shù)據(jù)成像和反演的效果。

多次波自適應(yīng)相減方法主要包括基于匹配濾波器的方法[11-13]、基于模式識別的方法[14-16]、基于盲信號分離的獨立成分分析法[17]、基于支持向量回歸的方法[18]、基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[19]和基于U-net的方法[20]。基于匹配濾波器的方法被歸結(jié)成一個線性回歸問題,利用匹配濾波器消除預測多次波與真實多次波之間的復雜差異,在業(yè)界被廣泛應(yīng)用。VERSCHUUR等[21]使用1D匹配濾波器表示預測多次波與真實多次波的差異,在2D時間-空間數(shù)據(jù)窗口內(nèi)對估計一次波施加能量最小化約束,并利用最小二乘算法求解1D匹配濾波器?？紤]到預測多次波和實際多次波在空間上也存在差異,DONNO[22]將1D匹配濾波器擴展到時間-空間域的2D匹配濾波器,獲得了比1D匹配濾波器更好的多次波自適應(yīng)相減結(jié)果。李鐘曉等[23]將多次波自適應(yīng)相減表示為一個2D卷積信號盲分離問題,以2D匹配濾波器表示真實多次波與預測多次波之間的差異,采用一次波的非高斯性最大化為優(yōu)化目標,并利用迭代最小二乘算法(IRLS)[24]求其優(yōu)化問題。但由于IRLS在每次迭代中都需要解決一個最小二乘優(yōu)化問題,使得該方法計算效率較低。LIU等[25]構(gòu)建一次波L1范數(shù)最小優(yōu)化問題,并使用迭代收縮閾值算法(ISTA)[26]加速求解2D匹配濾波器。快速迭代收縮閾值算法(FISTA)[27-28]是ISTA的加速版本,在每一步迭代中,FISTA通過線性組合當前和先前步驟中的收縮閾值結(jié)果來獲得更新的收縮閾值結(jié)果,可以達到更高的精度和計算效率。LI等[29]在拋物線Radon域?qū)⒍啻尾ㄗ赃m應(yīng)相減表示為2D匹配濾波器求解的問題,構(gòu)建基于一次波L1范數(shù)最小化約束的優(yōu)化問題,并采用FISTA來求解該優(yōu)化問題。

考慮到地震數(shù)據(jù)的非穩(wěn)態(tài)性,在多次波自適應(yīng)相減過程中需要將地震數(shù)據(jù)進行分窗。當采用較大的數(shù)據(jù)窗口時,需要選擇較大的匹配濾波器去壓制多次波。但對于較大的數(shù)據(jù)窗口,求取匹配濾波器時需要構(gòu)造較大的數(shù)據(jù)褶積矩陣進行求逆操作,這會導致較低的計算效率。當采用較小的數(shù)據(jù)窗口時,由于數(shù)據(jù)窗口的大小限制,匹配濾波器的尺寸不能過大。而由于預測多次波和真實多次波在時間、空間和振幅上通常存在較大的差異,單個小窗口匹配得到的短濾波器很難準確地表征預測多次波與真實多次波之間的復雜差異,往往會造成多次波殘余和一次波損傷。

本文提出基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法,該方法可以同時利用多個小數(shù)據(jù)窗口中豐富的預測多次波信息,將多個窗口的預測多次波和對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)進行擬合來壓制多次波。該方法對多個窗口中的一次波施加L1范數(shù)最小化約束,并利用快速迭代收縮閾值算法(FISTA)求解該優(yōu)化問題。首先介紹了基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的數(shù)學模型;然后在構(gòu)建多窗口L1范數(shù)最小化優(yōu)化問題的基礎(chǔ)上,詳述了FISTA迭代步驟;最后將基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法應(yīng)用于模型數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù),以驗證方法的有效性。

1 基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的數(shù)學模型

基于單窗口匹配的數(shù)學模型為[25,27,29-30]:

p=s-Mx

(1)

式中:p表示估計一次波構(gòu)建的向量,大小為TR×1(TR=T×R);s表示原始數(shù)據(jù)構(gòu)建的向量,大小為TR×1(TR=T×R);M表示預測多次波構(gòu)建的褶積矩陣,大小為TR×pq(TR=T×R,pq=p×q);x表示匹配濾波器,大小為pq×1(pq=p×q)。T和p為采樣點個數(shù),分別表示2D處理窗口的時間大小和匹配濾波器的時間長度;R和q為道數(shù),分別表示2D處理窗口空間大小和濾波器的空間長度。

本文引入多窗口聯(lián)合優(yōu)化求解匹配濾波器,同時利用多個窗口的預測多次波信息來實現(xiàn)多次波自適應(yīng)相減。基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的數(shù)學模型可以表示為:

vi=di-Hix(i=1,2,…,n)

(2)

式中:vi(i=1,2,…,n)表示第i個窗口中估計一次波構(gòu)建的向量,大小為TR×1;di(i=1,2,…,n)表示第i個窗口中原始數(shù)據(jù)構(gòu)建的向量,大小為TR×1;Hi(i=1,2,…,n)表示第i個窗口中預測多次波的褶積矩陣,大小為TR×pq;n表示同時進行優(yōu)化的窗口個數(shù)。

輸入n個窗口的原始數(shù)據(jù)和預測多次波同時進行優(yōu)化,在n個重疊的二維數(shù)據(jù)窗口上估計一個匹配濾波器。由于利用了多個數(shù)據(jù)窗口豐富的預測多次波信息,基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的匹配濾波器可以更有效地消除真實多次波與預測多次波之間的復雜差異。

2 優(yōu)化問題

求解匹配濾波器x的關(guān)鍵是使預測多次波經(jīng)過x濾波后與真實多次波之間的差異達到最小[23]。傳統(tǒng)的基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法是在每一個2D窗口上求解一個匹配濾波器,在每個窗口中基于一次波L1范數(shù)最小化約束求解匹配濾波器系數(shù)。相應(yīng)的優(yōu)化問題表示為:

(3)

式中:加權(quán)因子α用來均衡一次波稀疏約束和濾波器系數(shù)能量最小化約束。為更好地保護一次波并壓制多次波,本文構(gòu)建如下的優(yōu)化問題:

(4)

本文構(gòu)建的優(yōu)化問題利用了多個窗口的預測信息,目的是使多個窗口的一次波L1范數(shù)同時最小化。與構(gòu)建單個窗口的一次波L1范數(shù)最小化相比,多個窗口聯(lián)合的一次波L1范數(shù)最小化可以防止過擬合,在壓制殘余多次波的同時,有效地保護一次波。

3 求解算法

本文采用FISTA求解優(yōu)化問題(4)中的匹配濾波器。FISTA在估計一次波時定義如下的距離算子:

(5)

FISTA通過線性組合當前和先前步驟中的收縮閾值結(jié)果來獲得更新的收縮閾值結(jié)果。在本文中,使用FISTA獲得更新的收縮閾值結(jié)果:

i=1,2,…,n

(6)

(7)

然后,估計一次波為:

(8)

因此,可將FISTA步驟總結(jié)如下。

對于迭代次數(shù)m=0,1,…,N-1:

4)m=m+1,若m未達到最大迭代次數(shù)N,返回步驟1)計算更新的收縮閾值;否則,停止迭代。

本文將FISTA進行了推廣,當同時優(yōu)化的窗口個數(shù)n=1,利用FISTA求解優(yōu)化問題(4)中的匹配濾波器,在每次迭代時,只需計算一次更新閾值。但當同時優(yōu)化的窗口個數(shù)n>1,FISTA在求解匹配濾波器時,需要計算n次更新閾值。本文基于推廣的FISTA求解得到的匹配濾波器利用了n個數(shù)據(jù)窗口的預測多次波信息,可以更有效地表征預測多次波和真實多次波之間的差異。

4 應(yīng)用實例

4.1 模型數(shù)據(jù)

模型數(shù)據(jù)包含195道,每道包含900個采樣點,采樣率為8ms。圖1a和圖1b分別是原始數(shù)據(jù)和2D自由表面多次波壓制方法(surface related multiple elimination,SRME)[31]預測的自由表面多次波。針對本文所提方法,選擇同時優(yōu)化的窗口個數(shù)n=280;匹配濾波器在時間方向上的長度p=7,在空間方向上的長度q=5;數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=60、在空間方向上的長度R=50。因此,用280個預測多次波窗口匹配280個原始數(shù)據(jù)窗口,并可同時輸出280個窗口的一次波估計結(jié)果。另外,選取一次波閾值sγ=0.2、阻尼因子α=0.001、最大迭代次數(shù)M=5。

圖1 原始模型數(shù)據(jù)(a)和預測的自由表面多次波數(shù)據(jù)(b)

為了定量評價本文所提多次波自適應(yīng)相減方法的性能,定義如下的信噪比:

表1 模型數(shù)據(jù)的運行時間和信噪比

(9)

其中,p0表示真實一次波,p表示估計的一次波。圖2a,圖2b和圖2c分別表示本文方法估計的一次波、去除的多次波和差剖面。其中,差剖面定義為真實一次波與一次波估計結(jié)果差值的絕對值。本文方法估計一次波的SNR為20.45dB,見表1所示。

基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法(小窗口)基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法(大窗口)運行時間/s0.640.702.88SNR/dB20.4514.4519.98

傳統(tǒng)基于單窗口匹配的方法首先選擇較小的2D數(shù)據(jù)窗口,匹配濾波器在時間方向上的長度p=5、在空間方向上的長度q=3,數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=70、在空間方向上的長度R=60,一次波閾值sγ=0.1,阻尼因子α=0.001,最大迭代次數(shù)N=6。圖3a顯示了基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法(選取較小的2D數(shù)據(jù)窗口)得到的一次波估計結(jié)果。圖2a和圖3a中的黑色箭頭所示表明,相對于傳統(tǒng)的小窗口匹配方法,本文采用多窗口聯(lián)合優(yōu)化方法在一次波估計結(jié)果中能更有效地去除殘余多次波。此外,圖3a中的一次波SNR為14.45dB。相比而言,本文方法所得到的一次波信噪比提高了6dB。圖3b顯示了基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法(選取較小的2D數(shù)據(jù)窗口)所去除的多次波。圖2b和圖3b中的白色箭頭所示表明,基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法能更好地保護一次波。差剖面可用于評估多次波是否被有效去除以及一次波是否被很好地保護。圖3c為基于傳統(tǒng)的小窗口匹配得到的差剖面。對比圖2c與圖3c可見,圖2c中的能量明顯少于圖3c。說明本文方法能更有效地分離一次波和多次波。

圖2 基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的模型數(shù)據(jù)實驗a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波;c 差剖面

另外,選擇較大的2D數(shù)據(jù)窗口,數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=193、在空間方向上的長度R=248,匹配濾波器在時間方向上的長度p=11,在空間方向上的長度q=9,其它參數(shù)(一次波閾值、阻尼因子、最大迭代次數(shù))與圖3a中的對應(yīng)參數(shù)取值相同。圖4a為基于大數(shù)據(jù)窗口匹配的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法得到的一次波估計結(jié)果;圖4b為去除的多次波。圖4a中的一次波SNR為19.89dB(表1)。雖然圖4a的SNR與本文方法接近,但計算效率低于本文方法,本文方法的運行時間為0.64s,傳統(tǒng)基于單窗口匹配方法(小窗口、大窗口)的運行時間分別為0.70s和2.88s(表1)。圖4c為基于傳統(tǒng)的大數(shù)據(jù)窗口匹配得到的差剖面。因此,針對模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果,相對于選取較小數(shù)據(jù)窗口的傳統(tǒng)的多次波自適應(yīng)相減方法,本文方法在去除殘余多次波的同時能更好地保護一次波,并且一次波信噪比提高了6dB。相對于選取較大數(shù)據(jù)窗口的傳統(tǒng)的多次波自適應(yīng)相減方法,本文方法在保持計算精度的基礎(chǔ)上,計算效率提高了約78%。

圖3 基于單窗口匹配的模型數(shù)據(jù)實驗(小窗口)a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波;c 差剖面

圖4 基于單窗口匹配的模型數(shù)據(jù)實驗(大窗口)a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波;c 差剖面

為了分析本文方法中窗口匹配個數(shù)對一次波與多次波分離效果的影響,對模型數(shù)據(jù)進行了進一步的實驗。

選擇不同的窗口匹配個數(shù),其它參數(shù)(數(shù)據(jù)窗口大小、濾波器長度、一次波閾值、阻尼因子、最大迭代次數(shù))與圖2a中的對應(yīng)參數(shù)取值相同。圖5給出了一次波信噪比隨窗口匹配個數(shù)的變化曲線。由圖5可見,在窗口匹配個數(shù)為280時得到的信噪比最高,為20.45dB。

圖5 模型數(shù)據(jù)的一次波信噪比隨窗口匹配個數(shù)的變化曲線

此外,為了分析本文方法中窗口匹配個數(shù)對計算效率的影響,選擇了幾個典型的窗口匹配個數(shù)對模型數(shù)據(jù)進行了實驗。

選擇窗口匹配個數(shù)n=2時,運行時間為0.88s;選擇窗口匹配個數(shù)n=30時,運行時間為0.79s;選擇窗口匹配個數(shù)n=150時,運行時間為0.70s;選擇窗口匹配個數(shù)n=280時,運行時間為0.64s。由于選擇較小的窗口匹配個數(shù),處理所有的數(shù)據(jù)窗口需要多次對褶積矩陣進行求逆,因此會比選擇較大的窗口匹配個數(shù)時計算效率低。

4.2 實際數(shù)據(jù)

本文選取316個采樣點(160～792ms)、道數(shù)為493的共偏移距道集來驗證基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法的效果。圖6a為原始數(shù)據(jù),圖6b為2D SRME方法預測的自由表面多次波。從圖6a中可以看出,多次波的能量強且分布廣泛,存在強同相軸且一次波與多次波相互重疊。與圖6a相比,圖6b的預測多次波與真實多次波存在較大的振幅差異等。

圖6 實際數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)(a)和預測的自由表面多次波(b)

針對基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法,選擇同時優(yōu)化的窗口個數(shù)n=5,匹配濾波器在時間方向上的長度p=7,在空間方向上的長度q=9,數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=35、在空間方向上的長度R=30。因此,用5個預測多次波窗口匹配對應(yīng)的5個原始數(shù)據(jù)窗口,并可同時輸出5個窗口的一次波估計結(jié)果。求出的匹配濾波器能有效表征5個數(shù)據(jù)窗口中預測多次波與真實多次波之間的復雜差異。另外,選取一次波閾值sγ=0.1、阻尼因子α=0.001、最大迭代次數(shù)M=10。圖7a 和圖7b分別表示本文方法估計的一次波和去除的多次波。

對于傳統(tǒng)基于單窗口匹配的方法,首先選取較小的2D數(shù)據(jù)窗口,匹配濾波器在時間方向上的長度p=5,在空間方向上的長度q=3,數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=70、在空間方向上的長度R=70。另外,選取一次波閾值sγ=0.1、阻尼因子α=0.001、最大迭代次數(shù)M=10。圖8a和圖8b分別為基于小窗口的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法得到的一次波估計結(jié)果和去除的多次波。對比圖7a和圖8a中箭頭處可見,本文方法比基于小窗口的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法能更徹底地去除多次波。

選取較大的數(shù)據(jù)窗口進行多次波自適應(yīng)相減,匹配濾波器在時間方向的長度p=9,在空間方向上的長度q=11,數(shù)據(jù)窗口在時間方向上的長度T=100、在空間方向上的長度R=120。另外,選取一次波閾值sγ=0.1、阻尼因子α=0.001、最大迭代次數(shù)M=10。圖9a和圖9b為基于大窗口的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法得到的一次波估計結(jié)果和去除的多次波。由圖7、圖8和圖9可見,相比于選取較小的數(shù)據(jù)窗口進行多次波自適應(yīng)相減,選取較大的數(shù)據(jù)窗口和基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的多次波自適應(yīng)相減方法可以更好地平衡一次波保護和多次波去除。但由于本文利用多窗口聯(lián)合優(yōu)化求解匹配濾波器,需要構(gòu)建的預測多次波褶積矩陣小,從而計算效率比選取較大的數(shù)據(jù)窗口進行自適應(yīng)相減高。本文所提方法的運行時間為1.46s,傳統(tǒng)的多次波自適應(yīng)相減方法(小窗口、大窗口)的運行時間分別為1.40s和2.81s,如表2所示。

圖7 基于多窗口聯(lián)合優(yōu)化的實際數(shù)據(jù)實驗a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波

圖8 基于單窗口匹配的實際數(shù)據(jù)實驗(小窗口)a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波

圖9 基于單窗口匹配的實際數(shù)據(jù)實驗(大窗口)a 一次波估計結(jié)果;b 去除的多次波

因此,針對實際數(shù)據(jù)處理結(jié)果,相比選取較小數(shù)據(jù)窗口的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法,本文方法可以更好地去除殘余多次波。相比選取較大數(shù)據(jù)窗口的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法,本文方法減少了大約48%的計算時間。

表2 實際數(shù)據(jù)的運行時間

5 結(jié)論

與傳統(tǒng)的基于單窗口匹配的多次波自適應(yīng)相減方法相比,采用多窗口聯(lián)合優(yōu)化的方法進行多次波自適應(yīng)相減可以更有效地壓制殘余多次波并保護一次波,且計算效率與基于小窗口匹配的傳統(tǒng)多次波自適應(yīng)相減方法相當。但在實際應(yīng)用中,多窗口聯(lián)合優(yōu)化方法中的窗口匹配個數(shù)需要根據(jù)不同的地震資料進行選取。因此,在提高一次波與多次波分離精度的基礎(chǔ)上實現(xiàn)智能化的多次波自適應(yīng)相減是必要的。在未來的工作中,利用深度學習實現(xiàn)多次波自適應(yīng)相減是我們后續(xù)的重要研究方向。