動(dòng)態(tài)幾何：賦予 “空間觀念”以生長的力量

江蘇省無錫市江陰市澄江中心小學(xué) 任 超

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！笨臻g形式最主要的目標(biāo)是發(fā)展空間能力。動(dòng)態(tài)幾何讓圖形“動(dòng)”起來，在“運(yùn)動(dòng)或變換”中來研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣一方面可以加深對圖形特征的本質(zhì)認(rèn)識、體驗(yàn)幾何原理的生長過程；另一方面可以培育數(shù)學(xué)情感，促進(jìn)邏輯推理能力和直觀想象的能力發(fā)展，實(shí)現(xiàn)空間素養(yǎng)的提升。

一、審視：“動(dòng)態(tài)幾何”教學(xué)現(xiàn)狀

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，“圖形與幾何”作為數(shù)學(xué)課程四大板塊內(nèi)容之一，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，在這個(gè)過程中就不得不提到一項(xiàng)與信息技術(shù)相關(guān)的策略——?jiǎng)討B(tài)幾何。為了剖析目前小學(xué)數(shù)學(xué)“動(dòng)態(tài)幾何”的教學(xué)現(xiàn)狀及教師對這一概念的認(rèn)知，筆者通過“問卷”對所在地區(qū)的102位教師（其中21位低年級教師、29位中年級教師、52位高年級教師）進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，結(jié)果如下表。

通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)表，我們發(fā)現(xiàn)：

（1）被調(diào)查的教師中，一半以上的教師對“動(dòng)態(tài)幾何”這一概念不了解；

（2）在平時(shí)的圖形與幾何的教學(xué)過程中，大部分教師只采用演示文稿來進(jìn)行教學(xué)，對于其他一些動(dòng)態(tài)幾何的軟件運(yùn)用很少。筆者通過與幾位被調(diào)查的教師談話發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因大致有這幾種：①對PPT的運(yùn)用比較熟練；②不知道有哪些動(dòng)態(tài)幾何軟件；③對軟件的功能和作用不了解。

（3）“非常愿意”和“想要嘗試”運(yùn)用動(dòng)態(tài)幾何軟件來輔助教學(xué)的教師總和占了總數(shù)的91.18%。

綜上所述，數(shù)學(xué)教師因?qū)?“動(dòng)態(tài)幾何”認(rèn)知度不高，缺乏對動(dòng)態(tài)幾何軟件的了解和運(yùn)用，動(dòng)態(tài)幾何的教學(xué)理念在數(shù)學(xué)課堂中并未得到廣泛的運(yùn)用，但絕大部分教師對這一理念有興趣，想要在自己的課堂中進(jìn)行嘗試。本文基于這一現(xiàn)象，結(jié)合具體實(shí)例，對“動(dòng)態(tài)幾何”在培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的方法與價(jià)值方面進(jìn)行闡述。

二、思考：“動(dòng)態(tài)幾何”的內(nèi)涵特質(zhì)

動(dòng)態(tài)幾何是在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種幾何思想，它起源于20世紀(jì)80年代，最初的目的是利用相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件代替圓規(guī)和直尺畫直線、圓及其交點(diǎn)等幾何圖形。

著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币孕畔⒓夹g(shù)為依托，動(dòng)態(tài)幾何為這種“幾何可視化”增加了動(dòng)態(tài)的元素。在眾多的動(dòng)態(tài)幾何軟件中，“幾何畫板”的作用不容小覷。點(diǎn)、線、圓是其基本元素，一方面幾何畫板可以進(jìn)行平行線、垂線等的構(gòu)造，能度量圖形的周長、面積，同時(shí)它還具有多種圖形變換功能，包括平移、旋轉(zhuǎn)等；另一方面，畫板中的某些對象可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)或用參數(shù)的變化來直接驅(qū)動(dòng)，而其他沒有被拖動(dòng)或直接驅(qū)動(dòng)的對象會(huì)自動(dòng)調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。它比PPT更能輕松解決“圖形運(yùn)動(dòng)和變化”的問題，它打破了Flash動(dòng)畫只能按照設(shè)定的橋段走的局限性。它讓圖形與幾何的學(xué)習(xí)變得直觀、生動(dòng)、豐富，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力有著十分重要的價(jià)值。本文著重描述“幾何畫板”在發(fā)展學(xué)生空間能力方面的實(shí)踐。

三、追尋：“動(dòng)態(tài)幾何”的實(shí)踐策略

動(dòng)態(tài)幾何貫穿于“圖形與幾何”的四大領(lǐng)域（圖形的認(rèn)識、測量、運(yùn)動(dòng)與位置）學(xué)習(xí)的全過程。通過觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（一）變“靜”為“動(dòng)”，發(fā)展空間知覺

數(shù)學(xué)知識是豐富多彩的，但呈現(xiàn)在教材中的知識是靜態(tài)的、抽象的，如何把內(nèi)隱的、壓縮的過程直觀化、外顯化，動(dòng)態(tài)幾何的“動(dòng)態(tài)演示”功能恰好能做到這一點(diǎn)。

以“正方體展開圖”為例。這是蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊的內(nèi)容，是學(xué)生在認(rèn)識正方體后的一節(jié)課程。教材編排這節(jié)課的目的是通過教學(xué)正方體的展開圖來培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。在平時(shí)的教學(xué)中，教師往往直接告知學(xué)生展開圖的類型分別有“1-4-1”“2-3-1”“3-3”這三種模型，并將其對應(yīng)的展開圖以圖片形式呈現(xiàn)。這樣的教學(xué)過程，學(xué)生的空間思維并沒有得到發(fā)展，更多的只是死記硬背。而動(dòng)態(tài)幾何就能很好地把這一過程清晰地演繹出來（如圖1、圖2）。

圖1

圖2

如圖1，左側(cè)是平面展開圖，右側(cè)是立體圖，通過拖拽可以將正方體按照左側(cè)展開圖的形式一步一步展開；如圖2，也可以將展開圖還原成正方體。通過演示，讓學(xué)生經(jīng)歷“立體—平面—立體”的思維過程，將靜態(tài)的、抽象的知識動(dòng)態(tài)化、外顯化，學(xué)生的空間思維在一開一合之間得到了最大的發(fā)展。

認(rèn)識圓柱的時(shí)候，也可以引入動(dòng)態(tài)幾何。教師用幾何畫板，將一個(gè)點(diǎn)沿著直線運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)隨意運(yùn)動(dòng)，在移動(dòng)的過程中利用“追蹤點(diǎn)”功能留下點(diǎn)的軌跡，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可以是直線，也可以是曲線。接下來教師提問：想一想，線段的運(yùn)動(dòng)會(huì)形成怎樣的圖形呢？學(xué)生思考后繼續(xù)觀察幾何畫板中線段通過平移或旋轉(zhuǎn)可以得到平面圖形。此時(shí)，學(xué)生能聯(lián)想到通過面的運(yùn)動(dòng)就可以得到立體圖形。學(xué)生這樣的猜想是否正確，教師可以讓學(xué)生利用手中的長方形或圓形紙片自主操作，并討論交流。最后，教師通過幾何畫板來驗(yàn)證：將長方形繞著線段OD旋轉(zhuǎn)，保留長方形旋轉(zhuǎn)一周的軌跡，形成圓柱（如圖3）；或?qū)AO沿直線方向向下拉動(dòng)，留下的軌跡也是圓柱（如圖4）。

圖3

圖4

這一教學(xué)過程，由觀察靜態(tài)圖片變?yōu)閱栴}引領(lǐng)下的動(dòng)態(tài)動(dòng)畫呈現(xiàn)，動(dòng)態(tài)幾何豐富了幾何圖形教學(xué)的方式，化抽象為直觀，化單一表征為多元表征。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行建構(gòu)，空間知覺以“零維—一維—二維—三維”的方式得到發(fā)展，教師潛移默化地滲透了平面圖形與立體圖形間的聯(lián)系，達(dá)到了知識間的內(nèi)部遷移，深化了學(xué)生對“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”的感知和理解。學(xué)生有了這樣的表象依托后，教師可以進(jìn)一步讓學(xué)生對比不同素材旋轉(zhuǎn)后所得到的圓柱的特點(diǎn)，從而深刻理解圓柱的粗細(xì)、高矮與什么有關(guān)，為接下來圓柱的表面積和體積的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）變“散”為“連”，豐富空間表象

理論和實(shí)踐告訴我們，小學(xué)生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視覺”和“觸覺”，而實(shí)踐操作是個(gè)體化的、散點(diǎn)狀的，引進(jìn)動(dòng)態(tài)幾何，在變與不變比較中，可以溝通圖形之間的聯(lián)系。

幾何畫板中的動(dòng)畫功能是最基本的一項(xiàng)功能，在制訂路徑（線段、直線、圓等）上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就可以在既定的軌跡上往正反兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的方式可以用鼠標(biāo)按住點(diǎn)來運(yùn)動(dòng)，也可以設(shè)置動(dòng)畫按鈕來控制運(yùn)動(dòng)。下面就以兩個(gè)具體實(shí)例來闡述：

“多邊形面積的整理與復(fù)習(xí)”一課中，要求學(xué)生“在方格圖上畫一個(gè)與梯形的高和面積都相等的圖形”。教師在講解過程中，可以利用幾何畫板點(diǎn)的動(dòng)畫功能，讓梯形右上方的一點(diǎn)，沿著上底所在的直線這條軌跡運(yùn)動(dòng)，從而制作出動(dòng)畫（如圖5）：

圖5

在這一開放性問題的引領(lǐng)下，學(xué)生自主探究，個(gè)性化表達(dá)，而在分享交流中，通過幾何圖形的動(dòng)態(tài)演示，為學(xué)生直觀感知圖形間相互轉(zhuǎn)化的運(yùn)動(dòng)過程創(chuàng)造可能，盡管圖形的形狀在變，但圖形的面積沒有發(fā)生改變，本質(zhì)在于平行線之間的距離處處相等。正是基于這一前提，學(xué)生在這節(jié)課中，感受到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美：當(dāng)梯形上底縮小為0時(shí)就成了三角形，當(dāng)梯形上、下底相等時(shí)就成了平行四邊形（如圖6）。

圖6

（三）變“虛”為“實(shí)”，發(fā)展空間觀念

抽象是數(shù)學(xué)的主要特征之一?；谛W(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，借助動(dòng)態(tài)幾何軟件，可以給抽象的知識以直觀的支撐，讓空間觀念真實(shí)可及。在探索“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，學(xué)生的操作體驗(yàn)是這節(jié)課中必不可少的環(huán)節(jié)。但上過這節(jié)課的教師都知道，三角形的三條邊是線段，但教師準(zhǔn)備的材料（塑料吸管、吸鐵磁條等）在圍成三角形時(shí)都會(huì)存在誤差。在教學(xué)過程中，如何合理解釋“兩邊之和等于第三邊”這種不能構(gòu)成三角形的情況，是在上這節(jié)課時(shí)的一個(gè)隱藏的卻避無可避的“雷”。

利用幾何畫板就能把這個(gè)不易操作的實(shí)驗(yàn)過程以動(dòng)態(tài)直觀的形式真實(shí)呈現(xiàn)。

值得一提的是，幾何畫板中的動(dòng)畫功能和Flash是有區(qū)別的：Flash中的動(dòng)畫是既定的，教師一般根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)提前制作，沒有實(shí)時(shí)演示功能；而幾何畫板中的動(dòng)畫功能，教師可以通過右側(cè)的控制按鈕實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)演示功能。這樣做的好處是讓課堂更具交互性，且通過兩條邊的頂點(diǎn)逐漸靠近，讓學(xué)生感受到兩邊之和與第三條邊相等是沒有辦法圍成三角形的，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

數(shù)學(xué)結(jié)論的得出，經(jīng)歷的過程一般都是“分析—假設(shè)—實(shí)驗(yàn)—驗(yàn)證”這四個(gè)步驟，教師在教學(xué)過程中為了讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)這門學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，都會(huì)告訴學(xué)生要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，才能得出正確的結(jié)論。但這個(gè)“多次實(shí)驗(yàn)”往往既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。以“圓的面積”這節(jié)課為例，在推導(dǎo)圓面積公式的時(shí)候，教師通過將圓等分拼成類似長方形，從而推導(dǎo)得到圓面積的計(jì)算公式。

單純地用剪拼的操作來推導(dǎo)顯然太麻煩，而且效果也不理想，如果是一般的課件其預(yù)設(shè)又太單一（圓等分的份數(shù)只能事先預(yù)設(shè)，不能根據(jù)課堂生成隨機(jī)改變）， “圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越像長方形”。對于這一點(diǎn)教師往往只能讓學(xué)生發(fā)揮想象，而對空間觀念比較薄弱的學(xué)生來說，這一過程并未在其大腦中建立表象，利用幾何畫板，就可以根據(jù)學(xué)生的回答將圓等分，把思維的過程可視化，真正做到了以“一圖應(yīng)萬變”。

總之，動(dòng)態(tài)幾何是為了解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中難以解決的問題，是為了從根本上改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生更好地理解與思考。教學(xué)中，一方面要堅(jiān)持學(xué)生本位，要考慮學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)；另一方面要堅(jiān)持學(xué)科本質(zhì)，要考慮教學(xué)目標(biāo)，讓信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)相輔相成，在發(fā)展空間能力的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。