模型思想視域下的數(shù)學(xué)“綜合與實踐”教學(xué)探究
——從一道“階梯計費”習(xí)題說開去

江蘇省南京市小營小學(xué) 王 歡

五年級上學(xué)期期初，學(xué)生遇到這樣一道題：

為了鼓勵居民節(jié)約用水，某市從2018年1月1日起實施階梯水價制，每戶4人以下（含4人）按下表收費：

第一階段：年用水量0～150噸（含） 2．65元/噸第二階段：年用水量150～250噸（含） 3．45元/噸第三階段：年用水量250噸以上 5．85元/噸

李阿姨全家4人一年用水約270噸，請你算一算：她家一年應(yīng)付水費多少元？

我們統(tǒng)計學(xué)校6個班214名學(xué)生的完成情況得知，正確解答的學(xué)生只有68名，正確率為31.8%。在錯誤的解法中，將水費的單價直接按第二階梯的單價3.45元/噸來計算的學(xué)生達(dá)到118人，占55.1%。

學(xué)生對“階梯計費”的計費方法不理解，教師也反映現(xiàn)階段學(xué)生還沒有遇到類似的問題。我們靜心思考能夠發(fā)現(xiàn)，學(xué)生把問題解決的落腳點放在了“數(shù)據(jù)的分段整理”（如圖1）上，問題數(shù)據(jù)在哪一段，學(xué)生就在哪一個項目中抽取條件，“數(shù)據(jù)的分段整理”模型與“數(shù)據(jù)的階梯計費”模型的認(rèn)知模糊才是學(xué)生解題出錯的原因所在。

圖1

其實，蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊第47頁、第81頁的“探索與實踐”板塊，分別編排了這樣的綜合與實踐活動（如圖2、圖3）。這兩次綜合實踐活動，不僅與學(xué)生的生活實際密切聯(lián)系，還是學(xué)生充分感受“分段數(shù)量關(guān)系”的好素材，具有很強(qiáng)的針對性、探索性和綜合性。

圖2

圖3

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型是溝通數(shù)學(xué)與世界的橋梁，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。吳正憲老師認(rèn)為，在小學(xué)滲透模型思想，需要教師結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識，創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學(xué)生把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，體驗數(shù)學(xué)模型的形成過程，從而提高建立數(shù)學(xué)模型的意識，感受建立數(shù)學(xué)模型的作用。

為改善“綜合與實踐”這一板塊的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者聚焦模型思想，進(jìn)行了以“階梯計費”為主題的實踐研究。

一、自主探究，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題

對于五年級學(xué)生來說，獨立研究電費單上復(fù)雜的數(shù)據(jù)還存在著很多困難。于是，課前，筆者給學(xué)生提供了一份“電費單的研究報告”（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生先自主研究，將自己已經(jīng)知道的信息寫下來，同時把想研究的和存在的疑惑記錄下來，再進(jìn)行小組交流。

圖4

從學(xué)生反饋的情況來看，他們已經(jīng)知道了電費單上的用戶名、地址等基本信息，還知道了用電量＝本月示數(shù)－上月示數(shù)，電費＝單價×用電量，總電費＝峰時電費+谷時電費。他們的疑問及想進(jìn)一步研究的內(nèi)容大都集中在：（1）什么是“一檔基數(shù)”“二檔基數(shù)”“三檔基數(shù)”；（2）如何根據(jù)這些基數(shù)計算電費。

通過課前的思考，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)隱藏在電費計價單中的數(shù)學(xué)問題，而對這個數(shù)學(xué)問題的求解，又進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的熱情。

生活原型是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，從貼近學(xué)生生活的真實素材入手，引發(fā)學(xué)生思考并提出問題，這樣的過程是有挑戰(zhàn)性的、有思維價值的。熟悉的、典型的素材有助于學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括等過程，從而形成一般的模式表達(dá)，這也是生活問題數(shù)學(xué)化對感悟模型思想的價值。

二、畫圖表征，外顯并初建數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模過程，實際上就是將生活中的實際問題數(shù)學(xué)化的過程。學(xué)生從現(xiàn)實生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這樣的學(xué)習(xí)過程就是獲得某種“數(shù)學(xué)模型”的過程。根據(jù)學(xué)生的研究報告，筆者精心設(shè)計教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解“階梯計費”的本質(zhì)內(nèi)涵，構(gòu)建“階梯計費”的計算方法模型，讓學(xué)生感悟模型思想的功能與價值。

學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)與模型思想的建構(gòu)，首先在于其對實際問題的理解、表達(dá)和轉(zhuǎn)述。為了讓學(xué)生對問題有深入的理解和表達(dá)，筆者引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式，重新分析、整理、描述問題情境，以達(dá)到對問題條件表述的一目了然。綜合學(xué)生的整理情況，筆者總結(jié)出主要有以下幾種呈現(xiàn)方式（如圖5、圖6、圖7）：

圖5

圖6

圖7

通過展示、交流、比較和概括，學(xué)生逐漸厘清了三個階段電量“分階”的范圍、對應(yīng)單價。如果學(xué)生能將生活素材中所蘊(yùn)藏的本質(zhì)屬性，用自己的理解方式提煉、轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述與刻畫，從本質(zhì)上看，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷就是學(xué)生在大腦中形成數(shù)學(xué)初步模型的過程。

三、抽象概括，修正并完善數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的過程不是對已有知識的直接轉(zhuǎn)移和套用。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實際，對已有知識進(jìn)行分析，對已有經(jīng)驗進(jìn)行調(diào)整。建立數(shù)學(xué)模型的過程是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識不斷進(jìn)階、提升，對生活經(jīng)驗不斷修正、完善的過程。

教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生表示出富有個性的數(shù)學(xué)化圖示（如圖8）后，筆者又引導(dǎo)學(xué)生對不同的表征進(jìn)行比較，抽象概括出不同形式表征蘊(yùn)藏的共同本質(zhì)特征，嘗試用更加簡明的方法表示問題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系。針對部分學(xué)生提出的“電費＝總電量×對應(yīng)單價”的計算方法，有的學(xué)生提出了電費的計價方式是逐級計價，電費總價是逐級遞增的計價方式：電費＝第一階段電量×第一階段單價+第二階段電量×第二階段單價+第三階段電量×第三階段單價。通過交流比較，學(xué)生一致認(rèn)為后者的計算方式相對于前者，顯得更為人性化，更能促成人們節(jié)約用電意識的培養(yǎng)，而生活中電費計價方式恰恰也是這樣的。

圖8

通過這個層次的教學(xué)，學(xué)生在觀察、比較、分析中初步抽象出了更為一般的數(shù)量關(guān)系式：總電費＝第一階段要付的電費+第二階段要付的電費+第三階段要付的電費，從而提高了初步建立簡單的數(shù)學(xué)模型的能力。

四、應(yīng)用拓展，體驗并感悟模型價值

對于某一個數(shù)學(xué)模型，不同水平、不同能力、不同經(jīng)驗的學(xué)生在理解上千差萬別，在實際操作中更是有可能大相徑庭。數(shù)學(xué)模型如果只能夠解決某一個問題，那就失去了其應(yīng)有的價值。當(dāng)學(xué)生初步形成模型意識時，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用這個“模型”去解決一些新的數(shù)學(xué)問題。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生聚焦“模型思想”的內(nèi)涵，不斷優(yōu)化、推廣這些“數(shù)學(xué)模型”，那么，建立“模型思想”的意識就易于在學(xué)生的思維習(xí)慣中“落地”，教師與學(xué)生之間教與學(xué)的效率就會提高，學(xué)生運用“數(shù)學(xué)模型”去解決生活中的數(shù)學(xué)問題的能力才會不斷得到進(jìn)階。

為了檢測學(xué)生對“階梯計費”計算模型的理解和掌握情況，筆者布置學(xué)生在新知鞏固階段完成了這道題：

戶籍人口在4人及以下的居民住戶，每月第一檔電量0～230度（含），每度電價格為0.53元；每月第二檔電量230～400度（含），每度電價格為0.58元；每月第三檔電量大于400度，每度電價格為0.83元。明明一家上月共用電450度，他家上月共繳納電費多少元？

經(jīng)統(tǒng)計，同一個班級的學(xué)生，同類型、同難度問題的正確率從之前的31.8%上升到了現(xiàn)在的92.1%。這一變化在一定程度上說明了教學(xué)的效果，凸顯了“階梯計費”模型教學(xué)的價值和作用。

在此基礎(chǔ)上，筆者還引導(dǎo)學(xué)生試著運用解決“階梯電費計價”的經(jīng)驗，來統(tǒng)整“階梯電費”“階梯水費”“階梯燃?xì)赓M”的本質(zhì)含義，從而抽象出更為一般化的“階梯計費”數(shù)學(xué)計算模型，讓學(xué)生感受到經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程的意義和價值。

至此，在整個教學(xué)過程中，教師借助對“階梯計費”計算方法的探索與實踐，引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)提出問題—初步建立模型—修正完善模型—模型應(yīng)用拓展”的建模過程，讓學(xué)生逐漸感悟模型思想的本質(zhì)及作用，獲得對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加深刻的理解。

教師要讓學(xué)生在主動探究中感悟優(yōu)化意識，在綜合與實踐中積累反思經(jīng)驗，在模型演繹中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)理性的數(shù)學(xué)品質(zhì)。這些都是學(xué)生帶得走、用得著的終身本領(lǐng)，也是教師要適時培養(yǎng)的學(xué)科核心素養(yǎng)。