一道課本習(xí)題的溯源、破解與思考

張志剛 (山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

徐章韜教授提出，理想的課堂是“學(xué)術(shù)”“技術(shù)”“藝術(shù)”三“術(shù)”交織的課堂．作為教師，其修為要能“上通數(shù)學(xué)、下達(dá)課堂”，能做“頂天立地”之事．然三“術(shù)”的發(fā)展具有序列性，先要解決一些“技術(shù)”問(wèn)題，首先表現(xiàn)在教師能深刻研讀教材，能看到教材背后的“微言要義”．課程教材承載的是傳統(tǒng)成熟內(nèi)容，是數(shù)學(xué)工作者集體智慧的結(jié)晶，不僅具備完整的學(xué)科知識(shí)體系，同時(shí)也是教師實(shí)施教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要材料，而作為教材重要組成部分的習(xí)題理應(yīng)置于顯著的位置上．眾多高考試題和競(jìng)賽試題都是從課本例題或習(xí)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)改編、綜合、拓展、嫁接而來(lái)，具體表現(xiàn)為：課本例題、習(xí)題數(shù)據(jù)的變更，課本例題、習(xí)題條件的拓展，課本例題、習(xí)題背景的變換，課本例題、習(xí)題的應(yīng)用等[1]．對(duì)典型習(xí)題的深度挖掘有利于我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)涵和本質(zhì)，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，概括歸納深藏其中的思維主線(xiàn)，以此為中心推而廣之，可以收到以一敵百的良好成效．事實(shí)上，“小題深挖”“一題多法”“一題多變”“多題一法”充分體現(xiàn)了教學(xué)的簡(jiǎn)約性功能，能在盡可能短的時(shí)間內(nèi)傳播盡可能多的數(shù)學(xué)思想，對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)也是一種“反制”，歷來(lái)都是我國(guó)習(xí)題課教學(xué)的寶貴經(jīng)驗(yàn)，在繼承與發(fā)展的道路上，我們應(yīng)使其煥發(fā)新的生機(jī)．下面舉例說(shuō)明．

1 題目再現(xiàn)

圖1

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)必修《數(shù)學(xué)5》(人教版2007年1月第3版，A版)第101頁(yè)習(xí)題3.4B組第2題：如圖1，樹(shù)頂A離地面am，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面bm，在離地面cm的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)多遠(yuǎn)時(shí)視角最大？

2 問(wèn)題剖析

2.1 問(wèn)題探源

本題源于歷史上經(jīng)典的米勒問(wèn)題．1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒(Johannes Miller)向諾德?tīng)?Christian Roder)教授提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)(即可視角最大)？上述最大視角問(wèn)題因是米勒首先提出的，故被稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”．米勒問(wèn)題廣泛存在于各種實(shí)際問(wèn)題中，例如探求欣賞一幅畫(huà)的最佳角度、足球比賽最佳射門(mén)點(diǎn)等．

2.2 數(shù)學(xué)模型

歷史上的米勒問(wèn)題涉及的范圍是三維空間．作為實(shí)際問(wèn)題，我們首先要做的是根據(jù)實(shí)物背景抽象出簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型．相對(duì)于懸桿而言，地球的體積是相當(dāng)大的，我們可視地球表面為平面，為了簡(jiǎn)化模型，同時(shí)忽略觀察者身高對(duì)答案的影響，可以設(shè)觀察者的身高為0，且懸桿在地面上的投影也為0，因?yàn)閼覘U垂直于地面，所以距點(diǎn)O相同距離的點(diǎn)所得可視角是相同的(圖2)．

圖2

2.3 問(wèn)題轉(zhuǎn)化

將上述模型一般化，可得到如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖3，設(shè)M,N是銳角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，試在邊OB上找一點(diǎn)P，使∠MPN最大．

圖3

對(duì)上述米勒問(wèn)題，我們有如下重要結(jié)論，不妨稱(chēng)之為米勒定理：

米勒定理 設(shè)M,N是銳角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是射線(xiàn)OB上異于點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△MNP的外接圓與射線(xiàn)OB相切于點(diǎn)P時(shí)，∠MPN最大．

證明如圖4，在射線(xiàn)OB上任取異于P的一點(diǎn)P′，連結(jié)MP′,NP′,NP′與圓相交于點(diǎn)C，易知∠MCN>∠NP′M．又因?yàn)椤螹CN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N(xiāo).得證．

圖4

3 問(wèn)題解答

3.1 幾何視角

解法1由圓的幾何性質(zhì)探求張角最大值.

如圖5，DE是過(guò)點(diǎn)C且垂直于AB的直線(xiàn)，D為垂足．當(dāng)DE與過(guò)點(diǎn)A,B的圓相切時(shí)，切點(diǎn)記為C，此時(shí)∠ACB=α最大．

圖5

3.2 代數(shù)視角

解法2探索銳角∠ACB正切的最大值.

圖6

4 定理應(yīng)用

以米勒問(wèn)題為背景的最大張角問(wèn)題在歷年高考試題中屢見(jiàn)不鮮而又經(jīng)久不衰，如1986年高考全國(guó)卷理科第5題、2005年高考浙江卷理科第17題、2010年高考江蘇卷第17題等，若能從題設(shè)中挖掘、識(shí)別出隱含的米勒問(wèn)題模型，將有效地突破思維瓶頸，大幅減少運(yùn)算量，降低思維難度，從而使問(wèn)題順利獲解．倘若無(wú)法及時(shí)提取該模型，很容易成為考生難以逾越的一道鴻溝．值得關(guān)注的是，米勒問(wèn)題在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中也頻頻亮相，需要引起足夠的重視.下面列舉幾例．

題1(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定點(diǎn)M(-1,2),N(1,4)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(參考答案：1)

5 核心素養(yǎng)價(jià)值思考

從以上分析可以看出，米勒問(wèn)題內(nèi)蘊(yùn)豐富，其解決過(guò)程需要直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，具有較高的挖掘價(jià)值．而直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來(lái)理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)．主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路．[2]直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段．在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過(guò)運(yùn)用直觀手段以及借助直觀展開(kāi)想象從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、作出猜想的例子比比皆是．直觀想象在數(shù)學(xué)活動(dòng)中是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．史寧中教授在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)解讀》中提出的案例5-9本質(zhì)上也是典型的米勒問(wèn)題，他還以此為例說(shuō)明了直觀想象素養(yǎng)的三個(gè)水平．

案例5-9足球場(chǎng)上豎立一個(gè)電影屏幕，屏幕高為L(zhǎng)，底部距離地面為H．設(shè)一人站在足球場(chǎng)上，眼睛距離地面高度為h，r=H-h>0．問(wèn)：此人應(yīng)該站在足球場(chǎng)上何處觀看電影，眼睛觀察屏幕上下沿形成的視角最大？

圖7

用豎直的線(xiàn)段AB表示屏幕,用EF表示站立的人,E點(diǎn)為眼睛的位置，觀察屏幕的上、下沿，形成視角θ=∠AEB，畫(huà)出平面圖(圖7)．學(xué)生能描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題：設(shè)AB=L,BD=H,CD=EF=h，求點(diǎn)F的位置，使得視角θ最大．如此，學(xué)生能夠建立事物的幾何圖形，體會(huì)圖形和數(shù)量的關(guān)系，即達(dá)到了水平一的標(biāo)準(zhǔn)．

圖8

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，直觀想象主要表現(xiàn)為以下四點(diǎn)：建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解問(wèn)題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物．米勒問(wèn)題的解決過(guò)程是直觀想象素養(yǎng)的完美演繹，是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的集中體現(xiàn)，是不可多得的訓(xùn)練素材和載體，極具教育價(jià)值．