概率問題常見典型考題賞析

朱云飛

概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容。高考主要考查隨機(jī)事件與概率，考查事件的相互獨(dú)立性以及概率與頻率等。下面就概率問題常見典型考題進(jìn)行舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與提高。

題型1：隨機(jī)事件的表示

理解隨機(jī)現(xiàn)象、樣本點(diǎn)和樣本空間的概念，理解隨機(jī)事件的概念，在實(shí)際問題中，能正確求出事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并會(huì)寫出相應(yīng)的樣本空間。

例1 拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間。（2）寫出這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)。

（3）指出事件A={（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}的含義。

（4）寫出“點(diǎn)數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示。

解：（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω為{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2， 1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3， 1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4， 1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6， 1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

（2）這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)為36。

（3）事件A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7。

（4）記事件B=“點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則B={（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

題型2：隨機(jī)事件的含義

解答此類問題，應(yīng)先理解事件中樣本點(diǎn)的意義，再觀察事件中樣本點(diǎn)的規(guī)律，才能確定隨機(jī)事件的含義。

例2 柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳。指出下列隨機(jī)事件的含義。

（1）事件M={A1B1，A1B2，A1C1， A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1， B1C2，B2C1，B2C2}。

（2）事件N={A1B1，B1C1，A1C1}。（3）事件P={A1B2，A1C2，A2B1， A2C1，B1C2，B2C1}。

解：（1）事件M的含義是“從3雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋不成雙”。

（2）事件N的含義是“從3雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋都是左腳”。

（3）事件P的含義是“從3雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只，取到的鞋一只是左腳，一只是右腳，但不成雙”。

題型3：事件的運(yùn)算

事件的運(yùn)算應(yīng)注意的兩個(gè)問題：一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面列舉同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來判斷。如果遇到比較復(fù)雜的題目，需要嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理。

例3 在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件。例如，事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6={出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}。根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題。

（1）請(qǐng)列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件。

（2）利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件。

解：（1）事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1CD3，C2CD3，C3D3， C1CD3。

同理可得：事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6;事件D2包含事件C4，C5，C6;事件F包含事件C2，C4，C6;事件G包含事件C1，C3，C5。

易知事件C1與事件D1相等，即事件C1=D1。

（2）

題型4：互斥事件與對(duì)立事件

互斥事件與對(duì)立事件的判斷是針對(duì)兩個(gè)事件而言的。一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生;兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件同時(shí)不發(fā)生。所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立;反之，兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥。

例4 某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”。判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件。

（1）A與C;（2）B與E;（3）B與D;（4）B 與C;（5）C與E。

解：（1）由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件。

（2）事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件。又事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E是對(duì)立事件。

（3）事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”，即有可能“不訂甲報(bào)”，也就是說事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生，故B與D不是互斥事件。

（4）事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”。事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”。也就是說事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件。CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773

（5）由（4）的分析知，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件。

題型5：古典概型

解古典概型問題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和計(jì)算公式。這類問題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，解題時(shí)需要注意兩個(gè)問題：試驗(yàn)必須具有古典概型的兩大特征，即有限性和等可能性;計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，要做到不重不漏，可借助坐標(biāo)系、表格或樹狀圖等列出所有基本事件。

例5 同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則方程2x2+ax+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根的概率為（）。

A.1/5

B.1/4

C.1/3

D.1/2

解：因?yàn)榉匠?x2+ax+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ=a2—8b>0。

同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則共包含36個(gè)樣本點(diǎn)。

應(yīng)選B。

題型6：概率的基本性質(zhì)

當(dāng)事件A與B互斥（ANB=）時(shí)，P（AUB）=P（A）+P（B），這稱為互斥事件的概率加法公式。一般地，如果A1，A2，.，Am是兩兩互斥的事件，則P（A1UA2U···UAm）=P（A1）+P（A2）+···+P（Am）。若 A.B為對(duì)立事件，則P（A）=1—P（B）。求復(fù)雜事件的概率的兩種方法：將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件;先求其對(duì)立事件的概率，再求所求事件的概率。

例6

解：

題型7：相互獨(dú)立事件的判斷

對(duì)于事件A，B，若滿足P（ANB）=P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A，B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B獨(dú)立。所謂獨(dú)立事件就是某事件發(fā)生的概率與其他任何事件都無關(guān)，用集合的概念解釋即集合之內(nèi)所有事件發(fā)生的可能性范圍互不相交。通過式子P（AB）=P（A）P（B）來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這也是定量判斷。

例7 一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件A={一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}。對(duì)下述兩種情形，討論事件A與B的獨(dú)立性。

（1）家庭中有兩個(gè)小孩。

（2）家庭中有三個(gè)小孩。

解：（1）有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形為Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，即4個(gè)基本事件。由等可能性知這4個(gè)基本事件的概率都為1/4。

由題意可知，事件A={（男，女），（女，男）}，B={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB=（（男，女），（女，男）}，所以P（A）=1/2，P（B）=3/4，P（AB）=1/2。

由此可知，P（AB）≠P（A）P（B），所以事件A，B不相互獨(dú)立。

（2）有三個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形為Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，即8個(gè)基本事件。

所以事件A與B相互獨(dú)立。

題型8：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用

求較復(fù)雜事件概率的方法：列出題中涉及的各事件，用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示;弄清事件之間的關(guān)系（兩事件是互斥還是對(duì)立，或是相互獨(dú)立），列出關(guān)系式;根據(jù)事件之間的關(guān)系，準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率。

例8

（1）假設(shè)甲，乙，丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率。

解：

題型9：頻率與概率的關(guān)系

在實(shí)際問題中，常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計(jì)值。在用頻率估計(jì)概率時(shí)，要注意試驗(yàn)次數(shù)n不能太小，只有當(dāng)n很大時(shí)，頻率才會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律性，即在某個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，且這個(gè)常數(shù)就是概率。

例9 某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命（單位：h）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

（1）求各組的頻率。

（2）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500h的概率。

解：（1）由表可知頻率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042。

（2）樣本中壽命不足1500h的頻數(shù)是48+121+208+223=600，所以樣本中壽命不足1500h的頻率是6/6000=0.6，即燈管使用壽命不足1500h的概率約為0.6。

題型10：隨機(jī)模擬法估計(jì)概率

隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí)，先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果?？梢詮囊韵氯齻€(gè)方面考慮：當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)等可能時(shí)，樣本點(diǎn)總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn);研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù);當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來處理，此時(shí)一定要注意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù)。

例10 某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率。先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功;再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果。經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907。

由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）。

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

解：由10組隨機(jī)數(shù)為812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，可知4～9中恰有三個(gè)隨機(jī)數(shù)的有569，989，即2組，故所求的概率為P=2/0=0.2。應(yīng)選A。

作者單位：福建省廈門市新店中學(xué)

（責(zé)任編輯郭正華）CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773