例析古典概型的交匯問題

鄭瑋

古典概型是一種概率模型，是概率論中最直觀和最簡(jiǎn)單的模型。在這個(gè)模型下，隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的，并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。下面例析古典概型的交匯問題。

一、與集合有關(guān)的概率問題

例1 已知集合A={2，3，4，5，6，7}，B={2，3，6，9}，在集合AUB中任取一個(gè)元素，則它是集合ANB中的元素的概率為（）。

A.2/3

B.3/5

C.3/7

D.2/5

解：

應(yīng)選C。

評(píng)注：古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性。在應(yīng)用古典概型的概率公式時(shí)，關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系，事件和樣本空間的關(guān)系。

二、與函數(shù)有關(guān)的概率問題

例2 已知aE{-2，0，1，2，3}，bE{3， 5}，則函數(shù)f（x）=（a2—2）e+b為減函數(shù)的概率是（）。

A.3/10

B.3/5

C.2/5

D.1/5

解：

應(yīng)選C。

評(píng)注：涉及函數(shù)的概率問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

三、與向量有關(guān)的概率問題

例3 設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a=（m，n），b=（1，-3）。

（1）使得事件“aLb”發(fā)生的概率是。

（2）使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率是。

解：

評(píng)注：

四、與幾何圖形有關(guān)的概率問題

例4 從正方形的4個(gè)頂點(diǎn)及中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為。

解：從正方形4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D及中心O這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)的結(jié)果為（A，B），（A，C），（A，D），（A，O），（B，C），（B， D），（B，O），（C，D），（C，O），（D，O），共10 種情況，這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的為（A，B），（B，C），（C，D），（A，D），（A， C），（B，D），共6種情況。所以這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為6/10=3/5。

評(píng)注：求與幾何圖形有關(guān)的概率問題，應(yīng)充分利用幾何圖形的性質(zhì)。

五、與游戲有關(guān)的概率問題

例5 某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)。參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖1所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)。記兩次記錄的數(shù)分別為x，y。獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶。

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻。小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)。

（1）求小亮獲得玩具的概率。

（2）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由。

解：

（1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，即A={（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）}，所以P（A）=5/6，即小亮獲得玩具的概率為

（2）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

理由如下：記“xy≥8”為事件B，“3

事件C包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，即C={（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}，所以P（C）=5/16。因?yàn)?/8>5/16，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

評(píng)注：生活中的概率游戲問題，背景真實(shí)，內(nèi)容鮮活，具有知識(shí)性、娛樂性、趣味性和益智性。

六、與取球有關(guān)的概率問題

例6一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)1，2，3，4的4個(gè)形狀大小完全相同的小球，先后隨機(jī)地選取2個(gè)小球，根據(jù)下列條件，分別求2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率。

（1）小球的選取是無放回。

（2）小球的選取是有放回。

解：記事件A=“選取的2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”。

（1）從4個(gè)小球中無放回隨機(jī)選取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）， （4，2），（4，3）}。事件A包含6個(gè)樣本點(diǎn)，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。

由古典概型概率計(jì)算公式得P（A）=/2=1/2。故無放回選取2個(gè)小球，其上數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為1/2。

（2）從4個(gè)小球中有放回隨機(jī)選取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）， （4，4）}。事件A包含6個(gè)樣本點(diǎn)，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。由古典概型概率計(jì)算公式得P（A）=6/6=3/8。故有放回選取2個(gè)小球，其上數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為。

評(píng)注：對(duì)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看成是有順序的，也可以看成是無順序的，其最后結(jié)果是一致的。但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。對(duì)于有放回抽樣，在連續(xù)取出兩次的過程中，因?yàn)橄群箜樞虿煌?，所以（a1，b），（b，a1）不是同一個(gè)樣本點(diǎn)。解答本題的關(guān)鍵是要分清“無放回抽取”與“有放回抽取”，且每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的。

作者單位：清華大學(xué)附屬中學(xué)永豐學(xué)校

（責(zé)任編輯郭正華）