2021年高考“古典概型與幾何概型”問題聚焦

何煒 劉大鳴

古典概型與幾何概型是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是新高考的必考內(nèi)容。古典概型的基本事件都是有限的，其概率等于事件所包含的基本事件個數(shù)除以總的基本事件個數(shù)。幾何概型的基本事件通常不可計數(shù)，只能通過一定的測度，如長度，面積，體積的比值來表示。下面聚焦2021年高考“古典概型與幾何概型”問題，希望對同學們的學習有所幫助。

一、利用枚舉法計數(shù)，構(gòu)建古典概型求概率

例1（2021年高考全國卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）。

A.0.3

B.0.5

C.0.6

D.0.8

解：用枚舉法排列計數(shù)，用古典概型公式計算概率。

將3個1和2個0隨機排成一行為00111，01011，01101，01110，10011，10101， 10110，11001，11010，11100，共10種排法，其中2個0不相鄰的排法為01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6種排法。故2個0不相鄰的概率為5/10=0.6。應(yīng)選C。

素養(yǎng)：求古典概型概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的主要表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法。解答本題的關(guān)鍵是正確計數(shù)，注意3個1和2個0分別為相同元素，不要誤用排列計數(shù)。

二、復雜事件的概率借助“互斥事件合理分類，相互獨立事件分步”求解

例2（2021年新高考全國卷）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）。

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

解：弄清甲、乙、丙、丁事件的意義，再分別計算概率進行判斷。

由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和是8的結(jié)果為（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩次取出的球的數(shù)字之和是7的結(jié)果為（1，6，（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）。由古典概型的概率公式得P（甲）=3/6=1/6，P（乙）=3/36=1/6，P（丙）=5/56，P（?。?5/6=1/6。因為P（甲丙）=0，P（甲）P（丙）=5/16，所以P（甲丙）≠P（甲）P（丙），排除A。因為P（甲?。?1/36，P（甲）P（?。?1/36，所以P（甲?。?P（甲）P（?。?，B成立。因為P（乙丙）=1/36，P（乙）P（丙）=25/16，所以P（乙丙）≠P（乙）P（丙），排除C。因為P（丙?。?0，P（丙）P（?。?2/216，所以 P（丙?。貾（丙）P（丁），排除D。應(yīng)選B。

素養(yǎng)：本題涉及相互獨立事件的判斷?！蔼毩ⅰ迸c“互斥”的區(qū)別：兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響（如有放回抽取模型）。兩事件相互獨立通常不互斥，兩事件互斥通常不獨立。若事件A，B互斥，則P（A+B）=P（A）+ P（B），若事件A，B不互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），若事件A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）。對于復雜概率的計算：一般要先設(shè)出事件，準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種;然后判斷事件是A+B還是AB事件，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式;最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解。

三、一元變量的幾何概型構(gòu)建長度或角度比求解

例3（2021年高考全國卷）

解：一元變量構(gòu)建區(qū)間長度比，根據(jù)幾何概型的概率公式求解。

應(yīng)選B。

素養(yǎng)：幾何概型的特點是無限性和等可能性?；臼录梢猿橄鬄辄c，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率。

當試驗的結(jié)果等可能且構(gòu)成的區(qū)域為長度或面積或體積時，考慮使用幾何概型求解。

四、二元變量的幾何概型構(gòu)建面積比求解

例4（2021年高考全國卷）

解：二元變量的幾何概型構(gòu)建面積比，根據(jù)幾何概型的概率公式求解。

應(yīng)選B。

素養(yǎng)：求解二元變量幾何概型的關(guān)鍵是把所取的兩個數(shù)視作x，y，然后把點（x，y）看作點集區(qū)域，再利用面積測度求概率。解題時，弄清某事件對應(yīng)的面積與全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解。

作者單位：陜西省洋縣中學

（責任編輯郭正華）