挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)　提升學(xué)生思維

陳晶

[摘 要]在“雙減”政策背景下，只有不斷提升教育教學(xué)質(zhì)量，才能落實(shí)學(xué)生在校內(nèi)學(xué)足學(xué)好的要求。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能是機(jī)械的、重復(fù)的訓(xùn)練，要在教學(xué)中改變把簡單的知識切成碎片傳遞給學(xué)生的方式，改變習(xí)慣性把簡單結(jié)論告訴學(xué)生并不斷地進(jìn)行操練的形式。課堂教學(xué)要立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生理解意義并進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。在教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的高階思維，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)本質(zhì);學(xué)生思維;代數(shù)思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要建立知識之間的聯(lián)系，讓點(diǎn)狀知識連成線，線結(jié)成知識網(wǎng)，從表象到本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)的素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，要摒棄淺層次的模仿，知識不能依賴簡單的記憶，而要追求學(xué)生知識的內(nèi)化。減負(fù)提質(zhì)，從改變教與學(xué)的方式開始，引導(dǎo)學(xué)生走向數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)生高階的數(shù)學(xué)思維，啟迪學(xué)生的智慧，培育學(xué)生的理性精神。

一、代數(shù)化學(xué)習(xí)，提升學(xué)生思維

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生更習(xí)慣用算術(shù)方法解決問題，算術(shù)思維只是解決一個問題的方法，而代數(shù)思維卻是解決一類問題的方法。從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維，這是學(xué)生思維的一次重要飛躍。代數(shù)思維是數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)的重要形式，代數(shù)思維將運(yùn)算中蘊(yùn)含的關(guān)系進(jìn)行概括和推理，同時，將蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律一般化是代數(shù)思維的核心。

代數(shù)化學(xué)習(xí)活動不能始終停留在具體的問題情境中，要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)必要的抽象，即由各個具體問題抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這樣才能看成一節(jié)真正的數(shù)學(xué)課。例如，我在教學(xué)一年級《比大小》時就嘗試運(yùn)用代數(shù)思維。課堂設(shè)計(jì)動手操作活動，擲兩個骰子比大小，同桌兩人每人擲一次骰子，先將每次擲出的兩個點(diǎn)數(shù)寫成加法算式，最后不計(jì)算比較兩個算式大小。一名學(xué)生擲出兩個骰子分別是3點(diǎn)和4點(diǎn)，同桌擲出骰子點(diǎn)數(shù)分別是3點(diǎn)和5點(diǎn)，學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察兩個骰子上的點(diǎn)數(shù)，然后把點(diǎn)數(shù)抽象并用數(shù)學(xué)符號（算式）表達(dá)，學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過程。對于兩個算式的大小，學(xué)生通常做法是先求和，最后通過比較和的大小得出兩個算式得數(shù)的大小。本節(jié)課設(shè)計(jì)高認(rèn)知活動、高行為活動，讓學(xué)生不計(jì)算出和進(jìn)行比較，兩個算式都有相同加數(shù)3，只要比較4小于5，所以3+4小于3+5。不是用運(yùn)算解決問題，而是用數(shù)與數(shù)之間的大小關(guān)系解決問題，幫助學(xué)生建立代數(shù)化的學(xué)習(xí)，對學(xué)生思維要求更高，是學(xué)生高階思維的結(jié)果。此時，通過教師的追問，“兩個算式中的相同加數(shù)只能是3，才能用這種方法比較兩個算式的大小嗎？”“可以是6、9、10等嗎？”“你能舉一些例子嗎？”組織同桌兩人互相說，進(jìn)一步感悟兩個算式之間存在著關(guān)系，并會用自己的方法描述，能進(jìn)行簡單推理?！翱梢該Q成圖形表示相同加數(shù)，然后比較兩個算式的大小嗎？”再次引導(dǎo)、組織學(xué)生四人小組討論，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。從特殊數(shù)到圖形，經(jīng)歷一般化概括的過程，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升學(xué)生思維品質(zhì)。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，將學(xué)生的動手實(shí)踐活動與理性思考相結(jié)合，運(yùn)用一般化的關(guān)系進(jìn)行推理，加深學(xué)生對知識深度的理解。在整個學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生能發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含規(guī)律的眼光與視角和分析與表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間的關(guān)系，并抽象出數(shù)學(xué)模型的代數(shù)思維能力。

二、教學(xué)做合一，優(yōu)化學(xué)生思維

陶行知指出，“教學(xué)做合一”應(yīng)集中在一個“做”字上面，做是學(xué)的中心，也就是教的中心，所以，“做”占重要位置。因此，“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，也是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要條件之一。應(yīng)倡導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以動手操作實(shí)驗(yàn)、直觀觀察、得出結(jié)論的學(xué)習(xí)方式為主，讓學(xué)生更多地獲得感性認(rèn)識、積累活動的經(jīng)驗(yàn)等，以此培育學(xué)生的理性精神。

在觀摩《除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法》課堂教學(xué)中，學(xué)生從情境圖的數(shù)學(xué)信息分析得到四年級兩個班共種52棵樹，求平均每班種的棵樹就是總棵樹52除以班級數(shù)2。教師組織學(xué)生小組合作動手操作分小棒，在分小棒活動中幫助學(xué)生理解52除以2的除法豎式的算理。根據(jù)皮亞杰的兒童發(fā)展四個階段理論，小學(xué)生主要處于第三階段具體運(yùn)算階段，本階段兒童深深根植于客觀世界，難以進(jìn)行抽象思維。這個階段的兒童能夠憑借具體事物或從具體事物中獲得表象進(jìn)行邏輯思維，他們可以形成概念、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、解決問題，但是仍需要具體事物的支撐，這是“具體運(yùn)算階段”的典型特征。學(xué)生在學(xué)習(xí)除法過程中，對商、余數(shù)等概念的理解需要通過操作學(xué)具分小棒獲得，得到的活動經(jīng)驗(yàn)作為理解除法算理的支撐。教師雖然設(shè)計(jì)了小組合作動手操作學(xué)具分小棒的活動，但是，有一些小組學(xué)生為了快速算出結(jié)果，覺得分小棒影響計(jì)算速度，是一種負(fù)擔(dān)，根本就沒有去操作分小棒，而是直接在學(xué)習(xí)單上列豎式計(jì)算。這部分學(xué)生一味追求快速解答，將“學(xué)習(xí)”與“操作”分開，并沒有達(dá)到教師設(shè)計(jì)的通過動手實(shí)踐活動從而讓學(xué)生理解筆算除法算理的初衷。動手實(shí)踐操作不是給學(xué)生的學(xué)習(xí)做加法，而是給學(xué)生的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)和做鋪墊。另外，有些小組學(xué)生沒有理解活動目的，把動手操作分小棒與除法豎式計(jì)算看作互不相關(guān)的兩件事，小組內(nèi)有的學(xué)生只顧分小棒，有的學(xué)生只顧埋頭進(jìn)行除法豎式計(jì)算，除完十位以后，遇到十位余下的1十分茫然，無從下手，不知道接下來的步驟和方法。他們不知道可以看看分小棒同學(xué)是怎樣將5捆十根小棒和2根小棒平均分成2份，每班先得到2捆小棒以后，剩余1捆小棒拆分成10根小棒與原來2根小棒合并成12根小棒繼續(xù)平均分成2份，每班6根小棒。通過類比實(shí)踐活動將剩余1捆小棒拆分，可以得到除法豎式計(jì)算十位剩余1，將“十”這個計(jì)數(shù)單位繼續(xù)細(xì)分成更小計(jì)數(shù)單位，學(xué)生觀察到雖然計(jì)數(shù)單位變了，但數(shù)的大小不變。此時，10個1與個位2個1合并成12個1，平均分成兩份，每份6個1，突破了剛才除法豎式思維障礙，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生真正理解除法算理的目的。執(zhí)教教師忽視引導(dǎo)學(xué)生溝通動手操作小棒與除法豎式計(jì)算二者之間的聯(lián)系，學(xué)生的動手操作活動也就成為可有可無的擺設(shè)，完全喪失了為學(xué)生思維發(fā)展提供有力支撐的價值。教學(xué)做合一是培養(yǎng)兒童高階思維的需要，要想學(xué)生高階思維得到發(fā)展，往往需要經(jīng)歷動手操作、推理、論證和數(shù)學(xué)模型建立的過程，從而獲得理性認(rèn)識，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

三、多元化表征，促進(jìn)學(xué)生思維

鄭毓信教授提出，應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并根據(jù)需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有一個更深刻、更全面的認(rèn)識與理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。在數(shù)學(xué)課堂中，教師要營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心、興趣和信心，充分調(diào)動學(xué)生的思維，讓學(xué)生采用多元的解決問題策略，從而使學(xué)生思維更豐富。

例如，學(xué)習(xí)運(yùn)算定律之后，可以設(shè)計(jì)一組計(jì)算題的練習(xí)，通過計(jì)算促進(jìn)和加深對知識的理解，讓學(xué)生多元化解決問題，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生思維。學(xué)生在解決725×4這一問題時，大部分學(xué)生很自然地想到三位數(shù)乘一位數(shù)用豎式筆算解決，只有少數(shù)學(xué)生能觀察數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的意義和組成將725分成700與25的和，然后分別口算700乘4與25乘4，最后把兩個乘積2800和100相加。兩種不同的方法體現(xiàn)出學(xué)生對運(yùn)算方法的選擇能力和運(yùn)用能力。在計(jì)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不急于盲目計(jì)算，要先觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，再思考運(yùn)算的策略和運(yùn)算順序，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。運(yùn)算能力是觀察能力、理解能力、推理能力和表達(dá)能力組成的綜合能力。學(xué)生在解決37.6-7.6÷2.5這一問題時，對學(xué)生正確使用運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)的要求非常高，學(xué)生首先要整體觀察，盡管37.6與7.6有相同部分，但是根據(jù)運(yùn)算法則，不能直接用37.6減去7.6得到整數(shù)30。學(xué)生要有整體思維，合理運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律。還有一部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)先算7.6÷2.5太麻煩，被除數(shù)和除數(shù)同時乘4，轉(zhuǎn)化為30.4÷10，直接口算結(jié)果。學(xué)生能根據(jù)問題的特點(diǎn)，靈活使用運(yùn)算性質(zhì)，其他同學(xué)也感受到運(yùn)用這種變換方法比原來的計(jì)算更容易和簡潔。從表征的角度而言，學(xué)習(xí)可以理解為表征的豐富性（數(shù)量）、優(yōu)化（質(zhì)量）與關(guān)聯(lián)性，從而促進(jìn)學(xué)生思維。在多元化表征中，教師應(yīng)著眼于提高學(xué)生的應(yīng)變能力，重視促進(jìn)學(xué)生思維的整體性、靈活性和創(chuàng)造性。

無法彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)是沒有靈魂的，在課堂教學(xué)中要努力做到：問題讓學(xué)生自己提出，過程讓學(xué)生自己經(jīng)歷，結(jié)論讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)。在“雙減”背景下，“減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”成為學(xué)科教學(xué)要關(guān)注的重要維度。要聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)得有意義、有意思，讓教學(xué)激發(fā)學(xué)生興趣，逐步形成數(shù)學(xué)的思考方式和習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解和把握，用數(shù)學(xué)本質(zhì)撬動學(xué)生思維能力的提升。

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（責(zé)任編輯 馮 璐）