多元表征：讓數(shù)學(xué)“看得見”

【摘要】本文基于多元表征教學(xué)理念，從圖像表征讓算理可見、圖形表征讓知識(shí)結(jié)構(gòu)可見、身體表征讓度量概念可量可感、言語表征讓數(shù)學(xué)思考聽得見、多元表征讓數(shù)學(xué)看得見等多個(gè)維度論述降低小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度的實(shí)踐策略。

【關(guān)鍵詞】多元表征 小學(xué)數(shù)學(xué) 可感可見

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）10-0091-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。為了便于小學(xué)生正確理解抽象的數(shù)形概念及關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要采用多元表征的方式，讓抽象的數(shù)學(xué)于小學(xué)生而言可感可見，幫助小學(xué)生降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的綜合能力。

所謂多元表征，通俗地說就是把同一種數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、規(guī)律等）通過不同的形式表現(xiàn)出來?！氨碚鳌?，現(xiàn)代漢語詞典解釋為“顯示出來的現(xiàn)象”“表現(xiàn)出來的特征”。也就是說，表征是一種信息記載或表達(dá)的方式，是能把某些實(shí)體或某類信息表達(dá)清楚的形式化系統(tǒng)以及說明該系統(tǒng)如何行使其職能的若干規(guī)則。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在圖形圖表、言語、實(shí)物情境、書寫符號(hào)、教具模型五種表征類型，其中：實(shí)物情境指的是解釋學(xué)習(xí)內(nèi)容或問題情境的實(shí)際物品，教具模型指的是顯示學(xué)習(xí)對(duì)象的內(nèi)在關(guān)系的具體物，圖形圖表指的是將數(shù)學(xué)關(guān)系予以具體、形象化表示或推理的圖形或圖表，言語指的是日常口語和數(shù)學(xué)的特殊語言、數(shù)學(xué)專有名詞，書寫符號(hào)指的是一般的書面符號(hào)和數(shù)學(xué)的特殊符號(hào)（數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)與關(guān)系符號(hào)等）。例如，對(duì)于“[13]所代表的意義”這種思維層面的學(xué)習(xí)內(nèi)容：直呼“三分之一”的音便是言語表征;先把一個(gè)規(guī)則的圖形平均分成3份，涂色表示其中的1份便是圖形表征;在實(shí)際生活中把3個(gè)蘋果平均分成3份，告訴別人其中的一份就是“[13]”，這是實(shí)物情境表征。其實(shí)，關(guān)于多元表征的類型劃分，在數(shù)學(xué)界歷來仁者見仁智者見智。下面，筆者將結(jié)合自身的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劧嘣碚饔跀?shù)學(xué)教學(xué)的意義。

一、圖像表征——讓算理可見

算理是計(jì)算過程中的道理，回答思維層面“為什么這樣算”的問題;算法是人為規(guī)定的計(jì)算方法，為數(shù)學(xué)計(jì)算提供快捷的操作方法。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括。算法教學(xué)時(shí)常需要以算理教學(xué)為基礎(chǔ)。筆者以為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和形象思維特征，遵循兒童認(rèn)知規(guī)律，教師可以借助實(shí)物、圖表或圖像表征的方式以及操作、觀察等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的方法，讓學(xué)生形象感知數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，從中理解算理、掌握算法，進(jìn)而達(dá)到讓學(xué)生既知其然又知其所以然的目的。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)第一單元“20以內(nèi)的退位減法”第一節(jié)，教材創(chuàng)設(shè)了一個(gè)小猴買東西的實(shí)物情境：盒子里有10個(gè)桃子，外面有3個(gè)，小猴要買9個(gè)，問還剩多少個(gè)。很明顯，這是一個(gè)“十幾減幾”的計(jì)算問題。怎么減呢？教材中沒有陳述“破十法”或“平十法”的計(jì)算方法，而是直接呈現(xiàn)了如圖1所示的三種圖像表征，暗含了三種不同的計(jì)算方法?！胺椒ㄒ弧钡膱D像中：盒子外有3個(gè)，又取出了6個(gè)，盒子內(nèi)還有4個(gè)，此圖像可以看作“平十法”的算理表征，相當(dāng)于將減數(shù)9分成3和6，先去掉盒子外的3個(gè)，就是13-3=10（個(gè)），此所謂“平十”;再?gòu)暮凶永锏?0個(gè)中去掉6個(gè)，于是得出結(jié)果10-6=4（個(gè)）。方法二的圖像中：直接從盒子里的10個(gè)中拿去了9個(gè)，于是10-9=1（個(gè)），完成了交易，此所謂“破十”;再將盒子里剩下的1個(gè)與盒子外的3個(gè)合在一起，便是最終剩下的桃子數(shù)，即1+3=4（個(gè)）。方法三的圖像中：把退位減法直接變成進(jìn)位加法，體現(xiàn)了“減法是加法的逆運(yùn)算”的算理。教學(xué)實(shí)踐中，教師如果直接告訴一年級(jí)的小學(xué)生什么是“破十法”和“平十法”，再讓學(xué)生去運(yùn)用這些方法解決問題，因算法過于抽象，很容易“破壞”小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致小學(xué)生的學(xué)習(xí)困難;運(yùn)用教材中的圖像表征形式展開教學(xué)，學(xué)生選擇算法、積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情高漲。在本課中，大多數(shù)學(xué)生更樂于選擇方法二“破十法”，少數(shù)學(xué)生選擇了方法一“平十法”，選擇方法三的學(xué)生少之又少。

以上退位減法的算法學(xué)習(xí)，借助數(shù)學(xué)知識(shí)的圖像表征方式，既能讓學(xué)生形象地感知到方法形成的動(dòng)態(tài)過程，又能讓學(xué)生經(jīng)歷“不僅知其然而且知其所以然”的算理闡釋過程，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、圖形表征——讓知識(shí)結(jié)構(gòu)可見

復(fù)習(xí)課承載著知識(shí)的回顧與整理、實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)與生長(zhǎng)的獨(dú)特功能。怎樣讓學(xué)生在“溫顧”中“知新”，突破“一問一答再鞏固”的復(fù)習(xí)課模式？筆者嘗試帶領(lǐng)學(xué)生用思維導(dǎo)圖等圖形表征方式整理和溝通相關(guān)知識(shí)，取得了較好的實(shí)踐效果。長(zhǎng)此以往，學(xué)生到高年級(jí)以后，便可以自主運(yùn)用教師教給的圖形表征方法，整理跨單元、跨年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)了。

例如，學(xué)生在學(xué)完正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、三角形、圓形等平面圖形的面積計(jì)算公式及推導(dǎo)過程之后，在教師指導(dǎo)下，自主整理相關(guān)知識(shí)、溝通其間關(guān)系，構(gòu)建了如圖2所示的圖形表征。

學(xué)生掌握了方法，還可以如圖3所示自如地應(yīng)用圖形表征方式，整理長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位等知識(shí)。在圖3的圖形表征中，學(xué)生能用文字和符號(hào)表示各個(gè)單位，并溝通了單位間的內(nèi)在聯(lián)系——表達(dá)出了相鄰單位間的進(jìn)率，還補(bǔ)上了與面積單位公頃相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位“百米”，知識(shí)整理的水平達(dá)到了自然生成的境地。

三、身體表征——讓度量概念可量可感

身體表征是基于自己的理解和想象，用身體或肢體的姿勢(shì)或動(dòng)作來呈現(xiàn)內(nèi)在思維的一種表征方式。度量指的是運(yùn)用一個(gè)帶單位的數(shù)值刻畫某種物體某類屬性，賦予這個(gè)數(shù)值特殊意義的行為，比如度量物體的長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、時(shí)間等。度量是人類創(chuàng)造出來的一種數(shù)學(xué)語言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界某一類特征的工具。正如龐加萊所說：“如果沒有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間。”小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中的度量教學(xué)分散在計(jì)量單位的認(rèn)識(shí)與換算、平面圖形的周長(zhǎng)與面積、立體圖形的表面積與體積、不規(guī)則圖形的面積和體積當(dāng)中。為了培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀學(xué)科素養(yǎng)，教師在實(shí)施度量教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生借助身體表征的方式去認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

例如，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位時(shí)，借助“身體尺”（如圖4），學(xué)生可以形象具體地把握外在的世界。這樣的“身體尺”還有很多，比如：1厘米約等于大拇指指甲的寬;1分米約等于大拇指和食指張開的距離;1米約等于二年級(jí)班上個(gè)子較矮的小朋友兩手張開的距離，也稱為一庹;1平方厘米約等于大拇指的指甲蓋的面積;1平方分米約等于兩只手的大拇指和食指張開所組成的圖形的面積;1平方米約等于同桌兩人伸出雙臂圍成較大的圖形的面積以及兩個(gè)小朋友雙腳張開面對(duì)面坐在地上所圍成的圖形的面積……

“我聽見了就忘記了，我看見了便記住了，我做過了就理解了。”學(xué)生用“身體尺”表達(dá)自己對(duì)常見的長(zhǎng)度、面積單位的理解與記憶，可以讓度量概念可量可感。

四、言語表征——讓數(shù)學(xué)思考聽得見

愛因斯坦說過：“一個(gè)人的智力發(fā)展和形成概念的方法在很大程度上是取決于語言的?！焙诵乃仞B(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

例如，教師執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第五單元“厘米和米的認(rèn)識(shí)”一課，在教材所呈現(xiàn)的一個(gè)測(cè)量線段長(zhǎng)度的圖示中，學(xué)生給出了兩個(gè)答案，一個(gè)說是11厘米，一個(gè)說是8厘米，教師沒有直接評(píng)判二者的對(duì)錯(cuò)，而是與學(xué)生展開了下面的課堂對(duì)話。

師：現(xiàn)在我們有兩種意見，到底誰說得對(duì)呢？請(qǐng)你說出理由。

生1：我覺得是11厘米，因?yàn)榻K點(diǎn)是11厘米。

生2：我不同意！這條線段的起點(diǎn)是3厘米，從3厘米到4厘米是1厘米，從4厘米到5厘米是1厘米，這樣數(shù)下去，一共有8個(gè)1厘米，就是8厘米。

師：現(xiàn)在你們覺得誰的說法是正確的？

生3：第二個(gè)的說法是正確的。因?yàn)闇y(cè)量線段的長(zhǎng)度，不能光看終點(diǎn)，還要看它的起點(diǎn)是不是在“0”處。如果是從“0”開始的，終點(diǎn)是幾就是幾厘米;如果起點(diǎn)不在“0”處，可以像剛才那位同樣那樣一段一段地?cái)?shù)，還可以直接用終點(diǎn)的數(shù)字減去開始的數(shù)字。

學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解可以用多種方式表征，但言語表征在形成概念的方法中不可或缺。言語表征，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考“聽得見”。

五、多元表征——讓數(shù)學(xué)“看得見”

實(shí)際教學(xué)中，教師常常要用到多元表征。運(yùn)用多元表征推進(jìn)課堂教學(xué)，要特別注意溝通不同表征形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生可以從不同角度理解和表征數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

例如，執(zhí)教蘇教版五年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)偶數(shù)的教學(xué)內(nèi)容：可以用文字的方式表征——“能夠被2整除的整數(shù)”;可以用圖形表征——把實(shí)物圖像兩個(gè)兩個(gè)地圈起來;可以用符號(hào)表征——寫作“2a，a是大于零的整數(shù)”;還可以用數(shù)據(jù)表征——2、4、6、8、10……多種方式表征，可以幫助學(xué)生建構(gòu)偶數(shù)的豐富表象，溝通其內(nèi)在聯(lián)系——“2的倍數(shù)”，揭示概念的本質(zhì)。

如果說數(shù)學(xué)理解是內(nèi)化和建構(gòu)的過程，那么數(shù)學(xué)表達(dá)就是外化和應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)的多元表征，既要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，構(gòu)建內(nèi)在表征的“關(guān)系網(wǎng)”，又要注重?cái)?shù)學(xué)能力的外化，在發(fā)展學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的問題解決能力。

例如，執(zhí)教六年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略”例1（如圖5），教師放手讓學(xué)生自由表達(dá)看法，學(xué)生悄然使用了假設(shè)法，呈現(xiàn)了多種解決問題的方式：有的用實(shí)物演示，直觀形象;有的用圖形表征，或者把圖形變成線段表征;有的遷移比的思想并列式;有的類比方程的思想并列式;有的同化分?jǐn)?shù)的思想并列式。

在實(shí)物、圖形、線段三種表征中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生共同的思維軌跡：將一個(gè)小杯的容量看作單位“1”，大杯容量就是“3”，假如把1個(gè)大杯換成3個(gè)小杯，這樣720毫升的果汁就倒?jié)M了9個(gè)小杯，用720÷9便可以算出小杯的容量，再由小杯的容量算出大杯的容量。在比的思想的算式表征中，學(xué)生把“小杯容量是大杯的[13]”轉(zhuǎn)化為比的思想，即“大杯與小杯容量之比是3∶1”，假如把1個(gè)大杯換成3個(gè)小杯，這樣720毫升的果汁就倒?jié)M了9個(gè)小杯，用720÷9可以算出小杯的容量，再由小杯的容量可算出大杯的容量。在方程思想的算式表征中，學(xué)生把小杯的容量設(shè)為x毫升，則大杯的容量就是3x毫升，列方程為6x+3x=720，于是問題解決。同樣的題目，學(xué)生解決問題的策略是一致的，但方式方法各不相同，展現(xiàn)了他們多元的知識(shí)表征方式和思維風(fēng)格。

多元表征，讓算理、建構(gòu)、度量、思維可感可見，可有效培育和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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作者簡(jiǎn)介：倪若琳（1995— ），江蘇蘇州人，小學(xué)二級(jí)教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）