談?wù)勁袛嗪瘮?shù)奇偶性的方法

陳美娟

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.判斷函數(shù)奇偶性的問(wèn)題在函數(shù)中比較常見，此類問(wèn)題難度一般不大，主要考查函數(shù)的定義域、解析式、圖象、對(duì)稱性.下面，筆者將結(jié)合例題重點(diǎn)介紹判斷函數(shù)奇偶性的三種方法.

一、定義法

定義法是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法.如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）是偶函數(shù);如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù).運(yùn)用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，需首先令x =-x，求得f（-x）的表達(dá)式，將其與f（x）比較，若f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，若f（-x）=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù).

例1.若函數(shù) y =f（x）和 y =g（x）有相同的定義域，且都不是常數(shù)函數(shù)，對(duì)定義中任意 x 有 f（x）+f（-x）=0，g（x）?g（-x）=1，且當(dāng) x ≠0，g（x）≠1，試判斷 F（x）= g（x）-1+f（x）的奇偶性.

解：由 F（x）= g（x）-1+f（x），

得 F（x）=f（x）?g（x）-1，

又 F（-x）=f（-x）?g（-x）-1=-f（x）? 1

=f（x）?g（x）-1=F（x），

所以 F（x）是偶函數(shù).

在運(yùn)用定義法進(jìn)行判斷時(shí)，要注意：（1）在整個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)討論函數(shù)的奇偶性;（2）具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

二、圖象法

我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).運(yùn)用圖象法解題，只需仔細(xì)觀察圖象，明確原點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或 y 軸對(duì)稱.

例2.設(shè)函數(shù) f（x）（x ∈ R）是偶函數(shù)，且 f（x +2）=f（x），那么 y =f（x）的圖象可能是（）.

A.?? B.

C.?? D.

解：由 f（-x）=f（x）可知函數(shù) f（x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，可以排除A和C兩項(xiàng).再由f（x +2）=f（x），可知函數(shù)為周期函數(shù)，且 T =2，必滿足 f（4）=f（2），可以排除選項(xiàng)D.故答案為B項(xiàng).

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性.解答本題，需明確偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)：關(guān)于 y 軸對(duì)稱，以及函數(shù)的周期為2，由此便可快速確定函數(shù)的圖象.

三、和差法

有時(shí)我們無(wú)法直接用定義法來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性，同時(shí)也無(wú)法作出函數(shù)的圖象，此時(shí)運(yùn)用和差法來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性.運(yùn)用和差法判斷函數(shù)的奇偶性，需將f（-x）與-f（x）相加或相減，若f（-x）-f（x）=0，則函數(shù)為偶函數(shù);若f（-x）+f（x）=0，則函數(shù)為奇函數(shù).

例3.判斷 f（x）=lg 的奇偶性.

解：因?yàn)?0，所以-1則 f（x）=lg 的定義域?yàn)椋?1，1），其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

而 f（-x）+f（x）=lg +lg =lg（?）=lg 1=0，

所以 f（-x）=-f（x），所以 f（x）=lg 為奇函數(shù).

運(yùn)用和差法解題，首先要考慮函數(shù)的定義域，然后通過(guò)加法或減法的運(yùn)算，判斷出函數(shù)的奇偶性.

相比較而言，上述三種方法中，最常用的是定義法.無(wú)論運(yùn)用哪種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們都需先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義、圖象、性質(zhì)、解析式來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）