布朗運動幾種變化形式的概率性質(zhì)及其應(yīng)用

姜培華，周巧沿，蘭天涯，劉可欣

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

布朗運動又稱為Wiener 過程，是概率論中最重要且應(yīng)用最為廣泛的隨機(jī)過程之一。它起源于物理學(xué)對自然現(xiàn)象的一種描述，這種現(xiàn)象以發(fā)現(xiàn)它的英國植物學(xué)家羅伯特·布朗命名。布朗運動現(xiàn)象的首次解釋是愛因斯坦于1905 年給出的，描述布朗運動的隨機(jī)過程則是Wiener 在其1918 年開始撰寫的一系列論文中給出的[1-2]。Wiener 過程可以解釋為隨機(jī)游動的極限。布朗運動的樣本路徑非常特殊，它是關(guān)于時間t 的連續(xù)函數(shù)，雖然處處連續(xù)但是處處不可微。將布朗運動與股票價格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起Wiener 過程的數(shù)學(xué)模型是21世紀(jì)的一項具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融學(xué)中占有重要地位。股票市場處處充滿隨機(jī)性，隨機(jī)波動是股票市場最根本的特性，很多專家學(xué)者常用布朗運動、幾何布朗運動來刻畫和描述股票市場的隨機(jī)變化[2-3]。此外，Wiener 過程在產(chǎn)品壽命評估和壽命預(yù)測[4-10]、退化數(shù)據(jù)建模分析和試驗設(shè)計[11-15]、隨機(jī)控制[16]等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，所以探討布朗運動幾種變化形式的概率分布及其相關(guān)性質(zhì)具有重要意義。徐潤等[17-18]研究了布朗運動的極值分布和通過線性邊界的概率；劉廣應(yīng)等[19]研究了非線性漂移布朗運動的極值分布。本文基于標(biāo)準(zhǔn)布朗運動歸納總結(jié)了其6 種變化形式的概率分布及其相關(guān)聯(lián)合分布，推導(dǎo)給出幾種變化形式高階原點矩的計算公式，給出了標(biāo)準(zhǔn)布朗運動在給定區(qū)間上最值的矩母函數(shù)表達(dá)式，最后結(jié)合實例說明了上述結(jié)果在證明概率不等式和估計概率界方面的應(yīng)用。研究結(jié)果表明，這6 種變化形式中有5 種變化形式具有相同的概率分布，文中的一些結(jié)論補(bǔ)充了現(xiàn)有文獻(xiàn)的一些結(jié)果，使得關(guān)于布朗運動幾種變化形式的概率性質(zhì)探討更加完善。

1 相關(guān)知識

為了方便文中主要結(jié)論的敘述和論證，我們不加證明地給出下述兩個引理，其中的一些結(jié)果在一些經(jīng)典的隨機(jī)過程和隨機(jī)分析教材中都有所體現(xiàn)，故此處略去其證明過程。

引理1[2，20]設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，則m(t)的概率密度函數(shù)為

引理2[2]設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記和同分布且其概率密度函數(shù)為

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，V(t)=M(t) -B(t)，則有1)隨機(jī)向量(B(t)，M(t))的聯(lián)合概率密度函數(shù)為x≤y，y ＞0；

2)V(t)的概率密度函數(shù)為

證明：1)對任意的y ＞0 和y≥x，令Ty=inf{t:B(t)=y，t ＞0}。記B*(t)是B(t)關(guān)于Ty的反射，即B*(t)=2y -B(t)，考慮到{M(t) ＞y}={Ty≤t}有P(B*(t)≤x，M(t) ＞y)=P(B*(t)≤x，Ty≤t) ＝P(B(t)≥2y -x，Ty≤t) ＝

注意到B*(t)與B(t)是同分布的，對上式求混合偏導(dǎo)數(shù)可得(B(t)，M(t))的聯(lián)合密度函數(shù)為fB，M(x，y)=fB*，M(x，y)=

2)利用(B(t)，M(t))的聯(lián)合密度函數(shù)，先求(B(t)，V(t))的聯(lián)合密度函數(shù)，然后再求V(t)的邊際密度函數(shù)。設(shè)U=B(t)，V=M(t)-B(t)，則B(t)=U，M(t)=U+V，其雅可比行列式J=1，從而可知(U，V)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為所以V(t)的密度函數(shù)為

綜上可知結(jié)論成立。

定理2設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，Z(t)=B(t) -m(t)，則有1)隨機(jī)向量(B(t)，m(t))的聯(lián)合密度函數(shù)為y≤x，y ＜0；

2)Z(t)的概率密度函數(shù)為

2)利用(B(t)，m(t))的聯(lián)合密度函數(shù)，先求(B(t)，Z(t))的聯(lián)合密度函數(shù)，然后再求Z(t)的邊際密度函數(shù)。設(shè)U=B(t)，Z=B(t) -m(t)，則B(t)=U，m(t)=U -Z，其雅可比行列式J=-1，從而可知(U，V)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為所以Z(t)的密度函數(shù)為綜上可知結(jié)論成立。

定理3設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，則有1)M(t)、、M(t) -B(t)和B(t) -m(t)同分布且概率密度函數(shù)為

2)上述5 種形式的k(k∈Z*)階原點矩為μk=，其中Γ(·)表示伽瑪函數(shù)；

3)m(t)的k(k∈Z*)階原點矩為E[(m(t))k]=，其中Γ(·)表示伽瑪函數(shù)。

證明：1)由引理和定理1、2 中的結(jié)論易知該結(jié)論成立。

2)對任意的k(k∈Z*)有

3)對任意的k(k∈Z*)有綜上可知結(jié)論成立。

定理4設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，則其矩母函數(shù)分別為：其中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。

3 應(yīng)用舉例

對于上述布朗運動幾種變化形式的一些概率結(jié)果，下面給出標(biāo)準(zhǔn)布朗運動B(s)在區(qū)間[0，t]上最值的尾部概率界，以及在刻畫股票價格方面的應(yīng)用。

應(yīng)用1[21]設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，記，則下述不等式成立：

1)對任意的ε ＞0，有

注1應(yīng)用1 中的結(jié)論1)若將M(t)改為其他4 種形式：、M(t) -B(t)和B(t) -m(t)，結(jié)論仍然是成立的。

證明：1)先證明M(t)尾部概率的上界，利用引理中M(t)的密度函數(shù)可得

I1不變，對I2進(jìn)行分部積分得從而可得

2)先證明m(t)尾部概率的上界，利用引理中的密度函數(shù)可得

應(yīng)用2[3，20]設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，證明：對任意的ε ＞0，有

應(yīng)用3[21]設(shè){B(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，，證明：

應(yīng)用4設(shè)股票0 時刻的價格為S(0)=S，股票價格波動服從幾何布朗運動S(t)=S(0)eB(t)，求時間[0，t]內(nèi)股票最高價格與當(dāng)前(t 時刻)價格之比的期望。

解：由題設(shè)條件可得[0，t]內(nèi)股票最高價格與當(dāng)前(t 時刻)價格比為利用定理1 中的結(jié)論2)可得其中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。