Medium 詣零*-clean 環(huán)

張習(xí)習(xí)，吳 俊

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

除非特別說(shuō)明，文中的環(huán)均指含單位元的結(jié)合環(huán)。Id(R)表示冪等元的集合，U(R)表示可逆元的集合，P(R)表示投射元的集合，N(R)表示冪零元素的集合，Z(R)表示環(huán)R 的中心，J(R)是環(huán)R 的Jacobson 根。記Mn(R)是環(huán)R 上的n 階矩陣環(huán)，Tn(R)是環(huán)R 上的n 階上三角矩陣環(huán)，Zn是整數(shù)環(huán)Z 模n的剩余類環(huán)。

clean 環(huán)[1]的概念首次由Nicholson 提出：對(duì)于元素a∈R，若有a=e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)，則稱環(huán)a 是clean 的。若環(huán)R 中每一個(gè)元素都是clean 的，則稱R 是clean 環(huán)。2013 年，Diesl 用冪零元取代可逆元，引入了詣零-clean 環(huán)[2]的概念。關(guān)于詣零-clean 環(huán)及其他環(huán)類的研究吸引了眾多代數(shù)學(xué)者的關(guān)注[2-15]，近期眾多學(xué)者在環(huán)中引入*-運(yùn)算[9]，得到*-環(huán)的概念并研究*-環(huán)的性質(zhì)，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-13]。2010 年，將強(qiáng)clean 環(huán)的概念引入到*-環(huán)中，提出了強(qiáng)*-clean 環(huán)[10]的概念。由于投射元一定是冪等元，因此*-clean 環(huán)是clean 的，但反之不一定成立。文獻(xiàn)[4]引入并研究了強(qiáng)弱詣零-clean環(huán)，文獻(xiàn)[13]是將文獻(xiàn)[4]中的環(huán)引入到*-環(huán)中的一些研究。

受上述研究啟發(fā)，本文繼續(xù)研究文獻(xiàn)[13]中medium 詣零*-clean 環(huán)的基本性質(zhì)，得到了一些等價(jià)刻畫。此外，還研究了medium 詣零*-clean 同態(tài)像的基本性質(zhì)并得到一些等價(jià)刻畫。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]若存在映射* :R →R，使得對(duì)任意的x，y∈R 均有(x+y)*=x*+y*，(xy)*=y*x*且(x*)*=x，則稱環(huán)R 是*-環(huán)。在以下定義2～4 中，都假設(shè)R 是一個(gè)*-環(huán)。

定義2[12]若對(duì)任意a∈R，均有a=p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，則稱環(huán)R 是詣零*-clean的。

定義3[13]若對(duì)任意a∈R，均有a=e+w 或者a=-e+w，其中e∈P(R)，w∈J(R)且ew=we，則稱R 是medium *-clean 的。

定義4[13]若對(duì)任意a∈R，a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp，則稱R是medium 詣零*-clean 環(huán)。

注1顯然，medium 詣零*-clean 環(huán)是強(qiáng)弱詣零-clean 環(huán)，但反之未必成立[13]。根據(jù)定義，顯然{強(qiáng)詣零*-clean 環(huán)}?{medium 詣零*-clean 環(huán)}?{弱詣零*-clean 環(huán)}?{弱詣零*-clean 環(huán)}。

定義5[10]若R 中每個(gè)冪等元都是中心的，則稱環(huán)R 是阿貝爾的。若環(huán)R 中每個(gè)投射元都是中心的，則稱環(huán)R 是*-阿貝爾的。

定義6[15]若對(duì)任意的a∈R，均有a=e1+e2+n，其中e1，e2∈Id(R)，n∈N(R)且e1，e2，n 兩兩可交換，則稱環(huán)R 是強(qiáng)2-詣零-clean。

定義7[2]若對(duì)于任意a∈R，均存在正整數(shù)n，使得an∈Ran+1∩an+1R，則稱環(huán)R 是強(qiáng)π-正則的。

定義8[16]若對(duì)任意a∈R，都存在不同的m，n∈N 使得am=an，則稱環(huán)R 是周期的。若R 是周期的且環(huán)R 中的每個(gè)冪等元都是投射元，則稱環(huán)R 是*-周期的。

強(qiáng)π-*-正則環(huán)[17]有如下的等價(jià)定義：對(duì)于任意的a∈R，存在p∈P(R)和u∈U(R)使得a=p+u，pu=up，ap∈N(R)。

引理1[18]設(shè)R 是*-環(huán)。若環(huán)R 中的每個(gè)冪等元是投射元，則R 是阿貝爾的。

引理2[19]設(shè)R 是*-環(huán)，I?J(R)，e∈R 是冪等元。如果e -e*∈I，則存在一個(gè)投射元f∈R，使得eR=fR，e -f∈I。

2 主要結(jié)果

命題1設(shè)R 是*-環(huán)。u∈U(R)且元素a∈R是medium 詣零*-clean。若u*=u-1，則u-1au 是medium 詣零*-clean 元素。

證明：因?yàn)閍∈R 是medium 詣零*-clean 的，則a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。設(shè)存在正整數(shù)m∈Z，使得bm=0，則(u-1pu)2=u-1pu 且(u-1bu)m=u-1bmu=0，從而u-1au=u-1pu+u-1bu 或者u-1au=-u-1pu+u-1bu。又因?yàn)閡*=u-1，則(u-1pu)*=u*p*(u-1)*=u-1pu，即u-1pu 是投射元且u-1pu·u-1bu=u-1bu·u-1pu，因此，元素u-1au 是medium 詣零*-clean 的。

命題2設(shè)R 是*-環(huán)。對(duì)于γ∈J(R)，若γ=p+b 或者γ=-p+b 是medium 詣零*-clean 分解，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp，則p=0。

證明：由于b∈N(R)，設(shè)存在正整數(shù)m，使得bm=0，則p=pm=(γ -b)m∈J(R)或者p=pm=(b -γ)m∈J(R)，因此p=0。

定理1設(shè)環(huán)R 是*-環(huán)，則下述條件等價(jià)：

1)R 是medium 詣零*-clean 環(huán)；

2)R 是強(qiáng)*-clean 的且是弱詣零clean 的；

3)R 是阿貝爾弱詣零*-clean 的；

4)R 中每個(gè)冪等元都是投射元且對(duì)任意a∈R，有a ± a2∈N(R)；

5)R 是medium *-clean 環(huán)且是詣零的。

證明：1)?2)顯然，環(huán)R 是強(qiáng)弱詣零-clean 的，由1)知，對(duì)任意a∈R，有a=p+b 或者a=-p +b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。如果a=p +b，則a=(1 -p)+[1+(2p -1)b]，其中1+(2p -1)b∈U(R)，(2p -1)2=1，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*。如果a=-p+b，則a=1 -p+(b -1)，其中b -1∈U(R)。因此，R 是強(qiáng)*-clean 環(huán)。

2)?3)由文獻(xiàn)[18]中的定理2.1 知，R 是阿貝爾的且R 中的每個(gè)冪等元都是投射元，得證。

3)?4)顯然，環(huán)R 中每個(gè)冪等元都是投射元且R 是阿貝爾弱詣零-clean，由文獻(xiàn)[4]中的定理2.1 可知，對(duì)任意a∈R，有a ± a2∈N(R)。

4)?1)由文獻(xiàn)[4]中的定理2.1 可證。

1)?5)由文獻(xiàn)[13]中的定理5.1 可證。

例1令R=Z2× Z2，定義σ：R →R 為σ(x，y)=(y，x)。記定義：則T2(R，σ)是環(huán)。定義映射*：T2(R，σ) →T2(R，σ)，其中經(jīng)檢驗(yàn)得，*是T2(R，σ)的對(duì)合運(yùn)算，對(duì)任意a，b∈R，N(T2(R，σ))，從而T2(R，σ)是弱詣零*-clean 環(huán)。注意到=A2∈T2(R，σ)是冪等元但非中心元，則環(huán)R 不是阿貝爾，由定理1知T2(R，σ)不是medium 詣零*-clean 的。

若環(huán)R 中元素a，有a -1∈N(R)，則稱a 是unipotent。

命題3每個(gè)medium 詣零*-clean 是強(qiáng)*-clean的；此外，若環(huán)中每個(gè)可逆元都是unipotent，則其逆命題也成立。

證明：由定理1 知，顯然。反之，假設(shè)環(huán)R 是強(qiáng)*-clean，且R 中每個(gè)可逆元都是unipotent 的，取a∈R，則存在投射元q∈R 和可逆元u∈R，使得a+1=q+u，且qu=uq。因?yàn)閡 是unipotent 的，所以存在n∈N(R)使得u=1+n，因此a=q+n，且qn=q(n -1)=(n -1)q=nq；類似可證a=-q+n，且qn=q(n -1)=(n -1)q=nq。故R 是medium詣零*-clean 的。

注2一般情況下，命題3 的逆命題不成立。例如：取素?cái)?shù)p≥3 及正整數(shù)n≥1，則環(huán)R=Zpn滿足*=1R時(shí)是強(qiáng)*-clean 的。但由于2∈U(R)，即2?N(R)，根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的命題3.14，R 不是強(qiáng)弱詣零clean 環(huán)，從而不是medium 詣零*-clean 的。實(shí)際上，2-1 不是冪零元，即2 不是unipotent。

設(shè)I 是*-環(huán)R 的理想。若I*?I，則稱I 是*-不變的，在這種情況下，環(huán)R 中的對(duì)合運(yùn)算* 可以延拓到商環(huán)R/I 上，仍記為*。

推論1設(shè)R 是medium 詣零*-clean 環(huán)。若I是R 的*-不變理想，則R/I medium 是詣零*-clean 環(huán)。

證明：因?yàn)橥渡湓耐瑧B(tài)像(或者冪等元)是投射元(或者冪等元)，命題得證。

命題4設(shè)環(huán)R 是medium 詣零*-clean 環(huán)，則有：

1)R/J(R)是詣零*-clean 環(huán)；

2)若N(R)是理想，則R/N(R)是medium 詣零*-clean 環(huán)。

證明：1)由推論1，只需證明J(R)是*-不變的。取x*∈J(R)*，其中x∈J(R)。對(duì)任意的y∈R，由1 -xy*∈U(R)，則1 -yx*=(1 -yx*)*∈U(R)，即證。

2)由于N(R)是理想，則只需證明N(R)是*-不變的。給定任意的a*∈N(R)*，下證a*∈N(R)。因?yàn)閍∈N(R)，于是存在正整數(shù)m，使得am=0，則(a*)m=(am)*=0，故a*∈N(R)。再根據(jù)推論1，即證。

定理2設(shè)I 是*-環(huán)R 的任意詣零*-不變理想且R/I 中的投射元可提升到環(huán)R 中，則R 是medium 詣零*-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 是阿貝爾的；

2)R/I 是medium 詣零*-clean 的。

證明：(?)由定理1 和推論1 得證。

設(shè)R 是*-環(huán)，令I(lǐng) 是R 的*-不變理想。若I 中每個(gè)元素都能表示成投射元與冪零元的和或者差且兩者可交換，則稱I 是medium 詣零*-clean 的。

推論2設(shè)I 是*-環(huán)R 的*-不變理想，則a 是I 中的medium 詣零*-clean 元當(dāng)且僅當(dāng)a 是R 中的medium 詣零*-clean 元。

證明：(?)顯然的。

(?)令a 是R 中的medium 詣零*-clean 元，則a=p+b 或a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。若a=p+b，則a=(1 -p)+(2p -1 +b)=(1 -p)+(2p -1)[1+(2p -1)b]，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，2p -1+b∈U(R)，ap=(2p -1 +b)p。由于I 是R 的理想，則p=(2p -1+b)-1ap∈I，從而b=a -p∈I。若a=-p+b，則a=(1 -p) +(b -1)，pb=bp，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，b -1∈U(R)，ap=(b-1)p，則p=(b-1)-1ap∈I，則b=a+p∈I，因此a 是I 中的medium 詣零*-clean 元。

推論3設(shè)I 是*-環(huán)R*-不變理想，且R 是medium 詣零*-clean 環(huán)，則I 必然是medium 詣零*-clean 的(I未必有單位元)，特別地，J(R)是medium 詣零*-clean 的。

設(shè)R 是*-環(huán)且Z(R)是R 的中心，易證Z(R)也是*-環(huán)。

定理3設(shè)R 是弱詣零*-clean 環(huán)，則Z(R)是medium 詣零*-clean 的。

證明：由條件知，對(duì)任意的a∈Z(R)，a=p+b或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)。Ⅰ)若a=p+b，則a(1 -p)=b(1 -p)且ap=pa，故存在正整數(shù)l≥1 使得al(1 -p)=bl(1 -p)=0，又因?yàn)閜a=p(p+b)=p+pb=p(1+b)，所以p=pa(1 +b)-1=p(1+b)-1a∈Ra。因?yàn)閜=p2，則p∈Rak，對(duì)任意的k≥1，記p=tal=alt。下證p∈Z(R)，取任意的y∈R，有py(1 -p)=taly(1 -p)=tyal(1 -p)=0，且(1 -p)yp=(1 -p)yalt=al(1 -p)yt=0。因此有py=pyp=yp，從而p∈Z(R)且b=a -p∈Z(R)。Ⅱ)若a=-p+b，類似Ⅰ)可證，因此Z(R)是medium 詣零*-clean 的。

定理4設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 的當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 是阿貝爾的；

2)a -a*∈N(R)對(duì)所有的a∈R 恒成立；

3)R 是強(qiáng)弱詣零*-clean。

證明：(?)1)、3)由定理1 得證，只需證明2)。由條件可知，對(duì)任意的a∈R，有a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp。顯然，R是強(qiáng)2-詣零-clean 的。由文獻(xiàn)[15]中的定理3.3 和定理3.6 得，N(R)形成R 的理想。Ⅰ)若a=p+b，則a*=p*+b*=p+b*，因?yàn)镹(R)*?N(R)，則a-a*=b-b*∈N(R)。Ⅱ)若a=-p+b，則a*=-p*+b*=-p+b*，類似可得a -a*∈N(R)。

(?)由文獻(xiàn)[4]中的定理3.1 知，N(R)是R 的理想，因此N(R)?J(R)，由3)知，對(duì)任意的a∈R，有a=e+b 或者a=-e+b，其中e∈Id(R)，b∈N(R)且eb=be。若a -e=b，由2)可得e -e*∈N(R)。根據(jù)引理2 知，存在f∈P(R)使得e -f∈N(R)，則a -f∈N(R)。若a+e=b，類似可證，故R 是medium 詣零*-clean 的。

注3定理4 中的3 個(gè)條件是必要的，缺一不可。例如：令R=Z2⊕Z2，定義*：R →R，(a，b)*=(b，a)，那么環(huán)R 是阿貝爾且是強(qiáng)弱詣零-clean 的，但(1，0) -(1，0)*?N(R)。因此，環(huán)R 不是medium詣零*-clean 的。

文獻(xiàn)[4]的定理3.1 中證明了環(huán)R 是強(qiáng)弱詣零-clean 的當(dāng)且僅當(dāng)N(R)是理想且R/N(R)是弱布爾環(huán)。對(duì)于medium 詣零*-clean 環(huán)，也有類似的結(jié)論。

命題5設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

1)環(huán)R 中的每個(gè)冪等元都是投射元；

2)N(R)形成R 的理想且R/N(R)是弱布爾環(huán)。

證明：(?)由定理1 得證。

(?)由文獻(xiàn)[4]中的定理3.1 知，R 是強(qiáng)弱詣零-clean 環(huán)，又由于1)，則R 是medium 詣零*-clean環(huán)。

推論4設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 的當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 中的每個(gè)冪等元都是投射元；

2)J(R)是詣零的；

3)R/J(R)是弱布爾環(huán)。

證明：(?)由文獻(xiàn)[13]中的定理5.4 得證。

(?)由文獻(xiàn)[4]中的推論3.2 知，R 是強(qiáng)弱詣零-clean 環(huán)，又由于1)，則R 是medium 詣零*-clean環(huán)。

命題6設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 的當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 是*-周期環(huán)；

2)R/J(R)是弱布爾環(huán)。

證明：(?)由定理1 知，環(huán)R 中每個(gè)冪等元都是投射元，且N(R)?J(R)，所以R/J(R)是弱布爾環(huán)，環(huán)R 是強(qiáng)弱詣零-clean 環(huán)，由文獻(xiàn)[4]中的定理2.1 知，對(duì)任意a∈R，有a ± a2∈N(R)。若a+a2∈N(R)，則存在m∈Z，使得(a+a2)m=0。于是存在f(t)∈Z(t)，使得am=am+1f(a)，由文獻(xiàn)[20]知，環(huán)R是*-周期的。若a -a2∈N(R)，類似上述證明，可得R 是*-周期的。

(?)由于R 是*-周期的，則J(R)是詣零的，由推論4 得證。

命題7medium 詣零*-clean 環(huán)是強(qiáng)π-*-正則。

證明：設(shè)R 是*-環(huán)且a∈R 是medium 詣零*-clean 的，則a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp。若a=p+b，則a=(1 -p)+(2p -1+b)，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，2p -1+b∈U(R)，a(1 -p)=b(1 -p)∈N(R)。若a=-p+b 類似可證，因此結(jié)論得證。

推論5設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 的每個(gè)冪等元都是投射元；

2)R 是強(qiáng)π-正則的；

3)R/J(R)是弱布爾環(huán)。

定理5設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

1)R 是強(qiáng)*-clean 的；

2)R/J(R)是布爾環(huán)、Z3或者它們的直積且J(R)是詣零的。

證明：1)?2)顯然。

2)?1)由文獻(xiàn)[4]中的推論3.2，R 是強(qiáng)弱詣零-clean 的；根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的推論5.4 即證。

推論6設(shè)R 是局部*-環(huán)，則下述條件等價(jià)：

1)R 是medium 詣零*-clean 環(huán)；

2)R/J(R)?Z2或Z3，且J(R)是詣零的。

證明：1)?2)由定理5，R/J(R)是布爾環(huán)、Z3或者它們的直積且J(R)是詣零的，但R 是局部*-環(huán)，所以冪等元是平凡的，因此R/J(R)?Z2或Z3。

2)?1)顯然R/J(R)是弱布爾環(huán)，由于R 是局部*-環(huán)，則R 是強(qiáng)*-clean 由定理5 即證。

命題8設(shè)R 是*-環(huán)，則R 是medium 詣零*-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[[x]]是medium 詣零*-clean 環(huán)。

證明：(?)由定理4 知，R 是強(qiáng)*-clean 環(huán)，由文獻(xiàn)[17]中的推論2.10 得R[[x]]是強(qiáng)*-clean 環(huán)。設(shè)f(x)∈R[[x]]，則存在冪等元e∈R，使得f(0) -e∈N(R)或f(0)+e∈N(R)，因此f(x) -e∈N(R[[x]])或f(x)+e∈N(R[[x]])，則推出R[[x]]是弱詣零-clean 環(huán)。再由定理4 知，R[[x]]是medium 詣零*-clean 的。

(?)設(shè)對(duì)任意a∈R，由文獻(xiàn)[4]中的命題2.1知，存在冪等元f(x)∈R[[x]]，使得a -f(x)∈N(R[[x]])或a+f(x)∈N(R[[x]])，af(x)=f(x)a。取e=f(0)，則a -f(0)∈N(R[[x]])或a+f(0)∈N(R[[x]])，af(0)=f(0)a。因?yàn)閒(0)∈R 是冪等元，因此，R 是medium 詣零*-clean 環(huán)。