直觀算理與抽象算法的深度數學課堂

李慧

【摘? 要】鄭毓信教授曾說過深度學習應該深在哪里？他指出首先深在人的心靈與精神境界，其次深在系統(tǒng)結構與教學規(guī)律。因此，深度的數學課堂要找準知識生長點，促進學生思維的深度發(fā)展。筆者從案例描述、我的思考、改進策略三個方面進行闡述。

【關鍵詞】直觀算理;抽象算法;深度數學

一、案例描述

“兩位數除以一位數（首位不能整除）”是兩位數除以一位數單元中相對較復雜的一種計算類型，學生在前一課已經學習了“兩位數除以一位數（首位能整除）”，課堂上絕大部分學生已經基本掌握了豎式計算的算法，而本節(jié)課教學難點是被除數十位上的數有剩余應該怎么處理。教材是繼續(xù)利用學生能夠平均分實物（羽毛球）的已有情境圖，通過前一課學生學習知識的經驗，學生已經知道用小棒代替羽毛球，借助其進行平均分小棒操作，將平均分小棒的過程與除法豎式計算過程之間形成一種聯(lián)結。但學生在小棒操作52÷4的過程中遇到了困難，5捆里拿出4捆平均分，還剩下1捆怎么辦？那1捆其實就是不夠平均分的1個10，辦法總比困難多，學生想到了把1捆打開，這樣1個10就變成了10個1，和還沒有分的2個1合起來，接著12個1繼續(xù)分，讓學生在分小棒過程中體會并感悟這樣操作的道理，學生的思維也順利由形象思維過渡到抽象思維，算理與算法也無縫隙地融合在一起，從而有效突破本節(jié)課的教學重難點。

兒童的天性好動，喜歡有吸引力的課堂。以上兒童感興趣的小棒操作在教師用心指導下達到了想要的教學效果，這正和鄭毓信教授對深度學習應該深在哪里的闡述不謀而合。

在教學過程中，筆者對課堂活動的情況及時進行了分類與統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)28%的學生拿著那剩余的1捆小棒不知所措;34%的學生干脆對剩余的那1捆小棒置之不理;25%的學生把1捆整的拆下來變成10根散的，并且把這10根小棒平均分成兩份，每份分得5根，困難解決了接著繼續(xù)分;13%的學生把剩下的1捆和2根合起來變成12根小棒一起分。筆者思索著既然這么多學生的認知達不到自己的預期，那就及時干預吧！于是筆者通過多媒體動態(tài)演示每一步分小棒的過程，讓學生仔細觀察，并結合動態(tài)演示過程先讓全班派代表說，再讓同桌互相說，最后自己小聲說，多次說分小棒的全過程，讓學生大腦充分運轉起來，真正做到動手、動嘴和動腦的集合，使學生覺得數學有意思，從而真正愛上學習數學。

接著結合剛剛分小棒的過程教學52÷2的豎式計算，我以為動手操作的環(huán)節(jié)有了細致的指導，學生豎式計算的過程應該問題不大，可幾分鐘后還是大致出現(xiàn)了以下兩種情況，其中第一種情況統(tǒng)計下來大約有20%左右的學生出現(xiàn)。

本以為這節(jié)課孩子先通過動手操作分小棒，再結合多媒體動態(tài)演示分小棒的過程，接著呈現(xiàn)正確的和錯誤的52÷2豎式計算對比，然后安排多元化的習題鞏固，最后再將上節(jié)課的知識點和本節(jié)課的知識點進行對比，兒童經歷了一系列操作之后應該能有效突破該節(jié)課的教學難點，然而結果并不樂觀。

二、我的思考

帶著腦子里滿滿的困惑繼續(xù)前行，筆者想，如果要讓學生真正做到深度學習，教師一定要用有深度思維的好問題驅動學生的深度學習。筆者反復在腦海里回顧課堂中的場景，頓悟到教學時“直觀算理”與“抽象算法”沒有有效銜接。于是筆者從“算理與算法的關聯(lián)是什么？”“算理為什么要直觀？”“算法為什么要抽象？”這三個方面進行深度思考，引導學生對豎式“講道理”，通過“明理”實現(xiàn)“得法”，幫助學生實現(xiàn)算法的有效建構。

（一）算理與算法的關聯(lián)是什么？

《小學數學課程標準（2011年版）》中指出，數學教育要注重學生的十大核心素養(yǎng)的發(fā)展，里面提及要注重培養(yǎng)兒童的運算能力。算理主要有助于學生思維能力的發(fā)展，而算法主要有助于學生運算能力的提升，算理與算法是一家人，要互相融入，做到理中有法，法中有理?！缎W數學課程標準（2011年版）》也同時指出：在基本技能的教學中不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。

如何將兩者“潤物細無聲”式地嫁接，筆者又查閱了一些資料。資料中指出：算理使學生理解程序和步驟的道理;算法使學生掌握技能操作的程序和步驟。算法是算理的人為規(guī)定，算理是算法的內化，所以說算理和算法如同一枚硬幣的正反兩面，緊密相連且無法分開。

（二）算理為什么要直觀呢？

數學課堂上為什么要算理直觀呢？我想算理直觀性是由計算原理的抽象性與兒童思維的具體性所決定的。算理直觀是根據兒童年齡認知發(fā)展特征，因為兒童的思維發(fā)展是由直觀到抽象的發(fā)展過程，是為了促進兒童理解，且兒童的理解應處于三級水平：第一階段是低級水平，即主要是知覺辨認，對概念的初步理解;第二階段是中級水平，即主要是理解概念意義本質，思維如何進一步發(fā)展;第三階段是高級水平，即主要形成一個系統(tǒng)結構，讓兒童對問題有深度理解。

“兩位數除以一位數（首位不能整除）”這部分內容是針對兒童理解的三級水平層層遞進的，這三個層次即通過動手操作小棒算出得數（動作思維），觀看動態(tài)演示算出得數（形象思維），分步口算算出得數（邏輯思維），讓兒童充分直觀地去理解算理。

（三）算法為什么要抽象呢？

《小學數學課程標準（2011年版）》中明確指出：運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運算技能的逐步提高，還應包括運算思維素質的提升。算法抽象會促進學生對算理的掌握，促進學生運算能力素養(yǎng)的形成，所以說運算技能是運算能力形成的基礎。

張景中院士曾說過：“計算是具體的推理，推理是抽象的計算。”為了使兒童在“數與代數”領域的思維能夠深度發(fā)展，需要先讓學生在一系列的直觀操作中理解算理，再讓學生從直觀操作中抽象出計算法則，讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的思維跨越過程，把培養(yǎng)學生推理能力作為持久目標。

三、改進策略

（一）去情境，加強對比，以理馭法

課堂開始舍去教材原有問題情境（52個羽毛球，平均分給2個班，每班分得多少個？），通過和學生交流談話導入該課：猜一猜教師這節(jié)課會和大家一起研究什么內容？由于前一課時學習的計算，學生很快就會猜出來，這時課件出示兩位數除以一位數的標題，繼續(xù)說道：“今天我們再次學習兩位數除以一位數，關于這個課題，大家有什么問題想問老師嗎？”學生一時被問蒙了，我順勢拋出：“誰能大膽地提出你心中的疑惑？”

在鴉雀無聲中，我出示PPT并介紹這是我們以前學的兩位數除以一位數（46÷2），這是我們今天要研究的兩位數除以一位數（52÷2），你們發(fā)現(xiàn)不同點了嗎？

筆者小結：我們把被除數十位上有余數的除法叫作首位不能整除的除法，今天教師和大家一起研究首位不能整除的兩位數除以一位數，再次改進教學設計的時候筆者選擇了情境教學，因為學生前面已有了這樣的計算經驗，本節(jié)課應該注重計算教學中的道理，所以筆者認為情境教學也無妨。

（二）親探究，豐富過程，以探促悟

根據之前的教學經驗，教師發(fā)現(xiàn)學生對“兩三位數除以一位數（首位不能整除）”的學習在腦海中不是以“一張白紙”進課堂的，兒童是有兒童的思想的，有時成人思維需要和兒童思維進行換位思考，這樣才會收到意想不到的效果。于是筆者采取了“任務單”（見下圖）方式進行教學，用于活躍課堂氣氛。

其實對任務單進行這樣的設計是因為數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微?！弊鳛榻處?，如果用敏銳的捕捉力長期深度挖掘課堂生成的資源，久而久之，學生的思維就能得到深度發(fā)展。

“任務單”上面的方法一和方法二其實是對比分小棒的直觀操作過程與口算和豎式計算的兩步過程，從而進行有效且抽象的“數”與直觀的“形”關聯(lián)。在思考“任務單”的設計時，筆者有意識地把抽象的“數”與直觀的“形”放在一起，其內涵一樣是為了讓學生通過多樣化的方式去洞察，這樣可以幫助學生充分理解算法的本質，即做到真正理解算理，通過抽象的“數”與直觀的“形”有效結合從而達到“法”與“理”的相融，成功建造“理”與“法”之橋，促使學生思維的通透與深度發(fā)展。

（三）重求聯(lián)，對比練習，組建結構

學生的認知結構會隨年齡的增長不斷成熟和完善，所以教師應該在新知教學的開端就加以重視，將這種思維的“種子課”在還沒有生根發(fā)芽時就種到學生腦海中去，而不是等到單元教學統(tǒng)整時再去矯正學生已有的認知結構，這樣就會提高學生的運算思維能力，運算技能就能得到提升，運算方法也會實現(xiàn)自主遷移，并在以后的學習中得以靈活運用。

因此，根據遷移的條件，教師在習題設計時設置了三道題目讓兒童進行對比練習，分別是69÷3、92÷2、80÷5，其實前兩題的對比絕大多數學生都已經知道了，在課堂上反饋的時候正確率也很高，可是最后一題80÷5的正確率就有點不盡如人意，被除數80個位上是0，十位上的8分掉5個10之后還多3個10，有的學生做到這里時就束手無策了，這對三年級的學生來說還是比較抽象的。接著在這里我放了由3個10變?yōu)?0個1的直觀小棒圖，在對比中，學生仔細分辨各種情況，從而真正理解算理上的異曲同工之妙，促使學生深度發(fā)展，讓學生有所感悟。

（四）重反思，回顧思考，知識發(fā)展

不管是什么類型的數學課都少不了反思環(huán)節(jié)。讓學生回顧思考該課是怎樣開始的，過程是怎樣研究的，結果學到了什么知識，在整節(jié)課有什么樣的收獲與體會。讓學生說一說并在腦海中回放本節(jié)課的學習內容，這樣的反思對學生而言是深刻且久遠的。我想學生在這樣的數學課堂上才會提升最基本的數學學習能力，比如遇到困難不急不慌靜下心思考，找到問題突破口的能力;又如審題時更加細心，會和以前相似的題目進行對比并找出不同，這樣學生的思維會更加縝密。長期通過這樣的數學課堂對學生思維進行訓練，學生的知識發(fā)展才會更深刻。

綜上所述，筆者認為教師不僅要看得見學生認知結構內在的微妙變化，還需要努力讓學生認知結構的形成從能看懂、能記住、會解題、熟練解題、會梳理、融會貫通、把握數學思維、體驗學習樂趣到最終的樂此不疲，這就需要教師能有“看山是山，看山不是山，看山還是山”的本領，將孤立的數學知識點由點成線，再由線成面，逐漸增加到相應的結構體系中，使結構體系越來越趨于完整，使學生的認知結構走向越來越成熟，使學生在課堂中學得更快樂并將自己的魅力展現(xiàn)出來。

【參考文獻】

[1]加涅，等.教學設計原理[M].5版.王小明，等譯.上海：華東師范大學出版社，2007.

[2]顧泠沅，周超，等.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.