整合與創(chuàng)造，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深處
——以“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)為例

?武漢市第二中學(xué) 陳 錕

?湖北大學(xué)附屬中學(xué) 章雄鋼

1 引言

新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革，凸顯了思維是教與學(xué)的核心，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)整體發(fā)展的基礎(chǔ).美國(guó)課程學(xué)者施瓦布認(rèn)為：課程是一個(gè)相互作用的“生態(tài)系統(tǒng)”，它是建立在對(duì)課程意義的“一致性解釋”基礎(chǔ)上，通過這個(gè)“生態(tài)系統(tǒng)”要素間的相互理解、相互作用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)需求的滿足和德性的生長(zhǎng)[1].教師、教材、學(xué)生、環(huán)境構(gòu)成學(xué)習(xí)的生態(tài)系統(tǒng).思維型課堂教學(xué)理論認(rèn)為，激發(fā)動(dòng)機(jī)、產(chǎn)生認(rèn)知沖突，學(xué)生自主建構(gòu)、自我監(jiān)控、應(yīng)用遷移是課堂的學(xué)習(xí)生態(tài)系統(tǒng).教師在這個(gè)生態(tài)系統(tǒng)中起著方向標(biāo)作用.教師方向標(biāo)作用體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是整理課程素材，整合學(xué)習(xí)要素，創(chuàng)造性設(shè)計(jì)指示牌——教學(xué)設(shè)計(jì)；二是課堂教學(xué)過程中的引導(dǎo)與啟發(fā)；三是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中利用各種評(píng)價(jià)激發(fā)學(xué)生.總體上，這個(gè)方向標(biāo)分階段地“把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深處”.本文中以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”為例談一談教師如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)——整理

周恩來總理在《我的修養(yǎng)要?jiǎng)t》談到他的學(xué)習(xí)方法和原則：抓住中心，寧精勿雜，寧專勿多……要注意檢討和整理，要有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造[2].這給教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供了有效路徑，即整理是教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和前奏.情境認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)情境之間產(chǎn)生關(guān)系，而產(chǎn)生關(guān)系的關(guān)鍵就是由情境建立的學(xué)習(xí)支架.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置身于問題情境、系列任務(wù)情境、人與人之間的情感交流情境，能實(shí)現(xiàn)以學(xué)為中心的教學(xué)實(shí)踐，將情境認(rèn)知與學(xué)習(xí)實(shí)踐相結(jié)合，才能實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí).同時(shí)，具身認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是身體、環(huán)境、認(rèn)知三者交互作用、共同參與，學(xué)生用整個(gè)身體進(jìn)行學(xué)習(xí)，這就是一種“具身認(rèn)知”，做到“手—腦—心”“實(shí)踐—感知—思考”“身體—心理—靈魂”為一體.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，需要從零維逐漸升級(jí)到二維，乃至高維.零維即找到一個(gè)“點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)入“境”;一維即連一條“線”，保持學(xué)習(xí)的持續(xù)性;二維即筑一個(gè)“場(chǎng)”，整體建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu).根據(jù)上述認(rèn)知理論，教師整理課程素材主要包括以下幾類.

第一類，學(xué)習(xí)目標(biāo).根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版),確定知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)，明確培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要點(diǎn).以人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.5.1節(jié)“函數(shù)零點(diǎn)與方程的解”第一課時(shí)為例，課程標(biāo)準(zhǔn)中知識(shí)目標(biāo)定位為“結(jié)合學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系”，“結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”[3].能力目標(biāo)定位為“能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解；能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解不等式”[3]，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生“化歸與轉(zhuǎn)化思想”“數(shù)形結(jié)合思想”“函數(shù)與方程思想”等數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用能力的培養(yǎng).用知識(shí)與能力的培養(yǎng)提升學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理”[3]素養(yǎng).

第二類，學(xué)情信息.整理學(xué)情信息主要包括學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，認(rèn)知能力，學(xué)習(xí)行為特點(diǎn)，學(xué)習(xí)可能遇見的障礙等.從知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知能力看，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)的過程中，已經(jīng)初步理解了一元二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的解之間的關(guān)系，具備一定的用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)提供了知識(shí)準(zhǔn)備.但學(xué)生對(duì)函數(shù)認(rèn)知具有局限性，對(duì)高次函數(shù)在定理的導(dǎo)出過程中，涉及到將形轉(zhuǎn)化為數(shù)、從幾何直觀到代數(shù)表達(dá)的過程，如何在初學(xué)函數(shù)零點(diǎn)存在定理后對(duì)其加以正確應(yīng)用等具有一定難度.具有不同學(xué)習(xí)行為特點(diǎn)的學(xué)生還可能遇見其他學(xué)習(xí)難點(diǎn)，這需要在整理學(xué)情信息時(shí)結(jié)合本校學(xué)生具體學(xué)習(xí)行為特征.

第三類，教學(xué)資源.一份優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)，包括教師個(gè)人對(duì)課標(biāo)、教材、學(xué)情的準(zhǔn)確把握，同時(shí)也包含教師對(duì)他人成果的借鑒.因此，教學(xué)資源的整理包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是教師基于學(xué)情對(duì)教材內(nèi)容的整理;二是利用知網(wǎng)、萬(wàn)方等各種數(shù)字資源平臺(tái)搜集資源，這類資源包含對(duì)知識(shí)的理解、對(duì)教學(xué)的理解、教學(xué)方案設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)行為分析、習(xí)題與測(cè)評(píng)等.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)的技術(shù)——整合

日本東京大學(xué)大學(xué)院教育學(xué)研究科教授，教育學(xué)博士佐藤學(xué)在《教師的挑戰(zhàn)——寧?kù)o的課堂革命》一書中提到：“在教學(xué)中教師的中心工作在于‘傾聽’‘串聯(lián)’‘反芻’.其中，串聯(lián)是教學(xué)的核心.”湯超穎、魯小凡在《整合式創(chuàng)造性教學(xué)》一書中將“串聯(lián)”用“整合”來表達(dá)，訓(xùn)練學(xué)生聯(lián)合調(diào)動(dòng)若干知識(shí)和技能，來解決復(fù)雜的情境.核心是整合情境——一個(gè)包括主要信息、干擾信息，并運(yùn)用先前學(xué)習(xí)的一個(gè)復(fù)雜情境，具體分兩步完成:第一步是建立系列的鏈接，如新舊知識(shí)的鏈接、學(xué)生個(gè)體與整體的鏈接、知識(shí)與問題的鏈接、知識(shí)與情境的鏈接、學(xué)習(xí)活動(dòng)之間的鏈接、課內(nèi)與課外的鏈接、課本知識(shí)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活的鏈接等等；第二步是結(jié)合學(xué)情，整合學(xué)習(xí)素材、教學(xué)活動(dòng)要素、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)要素等.

做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，如何實(shí)現(xiàn)整合？一般地，可以從教學(xué)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的六個(gè)要素進(jìn)行分部整合，整體把握，根據(jù)教學(xué)的功能，確定每一部分的整合點(diǎn).如表1，“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)的整合技術(shù)，為我們的常態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì)提供示范.

表1 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”教學(xué)設(shè)計(jì)的整合

在整合中，不僅關(guān)注知識(shí)目標(biāo)，更關(guān)注能力目標(biāo)；不僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)情(如知識(shí)水平、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等)，而且關(guān)注面向新的問題時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；不僅關(guān)注學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)工具，更關(guān)注教對(duì)學(xué)的作用，如教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)支架等.從整合的系統(tǒng)來看，師生雙方作為真實(shí)個(gè)體投入到教育過程中，進(jìn)行積極的對(duì)話，各自敞開自我、相互傾聽、相互理解、相互吸引，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“活”起來，實(shí)現(xiàn)線性→交叉——教學(xué)流程的整合，零散→系統(tǒng)——教學(xué)內(nèi)容的整合，先教→讓學(xué)——教學(xué)方式的整合，讓思維貫穿教與學(xué)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)的燃點(diǎn)——?jiǎng)?chuàng)新

根據(jù)整合的結(jié)果，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律及個(gè)性特點(diǎn)，選擇合適的教學(xué)支架，有創(chuàng)新地設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程中的燃點(diǎn)，即激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、產(chǎn)生認(rèn)知沖突、引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)的學(xué)習(xí)情境，學(xué)生在該情境中“具身參與”，逐步深化個(gè)人思維深度，逐步理解知識(shí)的內(nèi)涵和外延，逐步達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo).在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”第一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以問題串為教學(xué)支架，通過問題引導(dǎo)學(xué)生分步思考問題，學(xué)生在問題解決中逐步將思維走向深處.

問題1：類比二次函數(shù)零點(diǎn)的定義，你能給出一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)零點(diǎn)的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生由二次函數(shù)零點(diǎn)的定義類比得到一般函數(shù)零點(diǎn)的定義，即將函數(shù)零點(diǎn)的概念直接抽象化，這對(duì)學(xué)生是比較困難的.從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)入手，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展點(diǎn)”，為抽象形成概念做鋪墊.

問題2：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，你能給出y=f(x)零點(diǎn)的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過前面一次函數(shù)零點(diǎn)的過渡，學(xué)生由特殊到一般、由淺入深、循序漸進(jìn)自然地類比得到一般函數(shù)零點(diǎn)的定義.

問題3：填表，分析表格及函數(shù)圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

函數(shù)零點(diǎn)簡(jiǎn)圖y>0時(shí),x的取值范圍y<0時(shí),x的取值范圍y=x2-x-2y=x2-2x+1y=2x-1y=3(x-1)(x+1)(x+2)

圖1

設(shè)計(jì)意圖：表格中涉及到二次函數(shù)、一次函數(shù)、三次函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過求對(duì)應(yīng)方程根、畫出函數(shù)圖象，加深學(xué)生對(duì)“零點(diǎn)”概念的理解，同時(shí)讓學(xué)生從函數(shù)、方程、圖象三個(gè)角度認(rèn)識(shí)同一現(xiàn)象，深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)、方程的根三者之間的等價(jià)關(guān)系，掌握零點(diǎn)的求法，并嘗試由特殊到一般歸納出連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì).

問題4：對(duì)于二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3，觀察它的圖象(如圖1)，計(jì)算它的函數(shù)值，在零點(diǎn)所在的區(qū)間，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？

x-3-2-1012345f(x)f(x)與0的大小關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：以熟悉的二次函數(shù)為研究對(duì)象，學(xué)習(xí)者親自動(dòng)手，探索規(guī)律，得出結(jié)論，猜想定理.

問題5：(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，請(qǐng)畫出下列三種情況下經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的可能的函數(shù)圖象.你能得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件嗎？

圖2

(2)如果將“圖象是連續(xù)不斷的一條曲線”去掉，上述函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上仍然滿足f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在零點(diǎn)嗎?(如圖2)

(3)將(a,b)換成[a,b]，結(jié)論還成立嗎？

(4)不滿足定理?xiàng)l件，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定不存在零點(diǎn)嗎？

(5)定理能判定零點(diǎn)的存在性，能判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)嗎？

(6)怎樣修改條件,使函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)零點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般探究函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，得出定理，剖析定理的作用，明確定理關(guān)鍵條件的不可或缺.

問題6：判斷方程lnx+2x-6=0是否有解？如果有解，請(qǐng)問有幾個(gè)解？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以利用函數(shù)的圖象解決問題，也可以用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決問題，也可以用兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)解決問題.讓學(xué)生真實(shí)感受到函數(shù)的圖象與性質(zhì)在研究方程解的妙用，并產(chǎn)生解精確性問題，為 “二分法”的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

問題7：研究下列問題，請(qǐng)你談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

(1)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對(duì)應(yīng)值表：

x1234567f(x)239-711-5-12-26

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有( )個(gè).

A.5 B.4 C.3 D.2

(2)函數(shù)f(x)=-x3-3x+ 5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為( ).

A.(-2，0) B.(1，2) C.(0，1) D.(0，0.5) (3)已知f(x)=|x2-2x-3|-a，那么實(shí)數(shù)a取何值時(shí)能分別滿足下列條件？

①2個(gè)零點(diǎn);②3個(gè)零點(diǎn);③4個(gè)零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：整理思想方法，靈活應(yīng)用解題，延伸課堂思維，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

5 總結(jié)

函數(shù)零點(diǎn)方程根，形數(shù)孿生相伴情.圖象連續(xù)是條件，零點(diǎn)存在端點(diǎn)探.一首小詩(shī)總結(jié)了函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與其他知識(shí)鏈接范例，它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起，將局部研究與整體研究有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.在整理中發(fā)現(xiàn)，在整合中思考，在創(chuàng)新中實(shí)踐，合理利用二次函數(shù)零點(diǎn)作為“已知區(qū)”“最近發(fā)展區(qū)”，通過問題串探索函數(shù)零點(diǎn)“未知區(qū)”，學(xué)生在一個(gè)個(gè)問題解決的過程中逐漸走向思維深處，建構(gòu)有序的思維路徑.伴隨著“算”方程的根，“畫”函數(shù)圖象，“判”函數(shù)零點(diǎn)，學(xué)生充分運(yùn)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合，學(xué)法的創(chuàng)新，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)“自然而然”地發(fā)生.