間歇牽制控制下非線性多智能體系統(tǒng)的滯后一致性

黎美華， 李豐兵， 馬忠軍

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

近年來，多智能體系統(tǒng)的一致性問題越來越受到人們的關(guān)注，如社會學(xué)、生物學(xué)、傳播學(xué)、控制工程和計算機科學(xué)等。許多有效的控制策略被用來使多智能體系統(tǒng)能夠達(dá)成一致，包括自適應(yīng)控制[1]、間歇控制[2-7]、脈沖控制[8]、牽制控制[9-15]和反饋控制[16]。由于大型控制網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)量巨大，對所有節(jié)點施加連續(xù)控制往往是不可能的(成本太高或?qū)嶋H條件不允許)。為此，間歇控制協(xié)議和牽制控制協(xié)議越來越受到人們的重視。Liu等[2]通過添加一些間歇牽制控制器來研究線性耦合無延遲網(wǎng)絡(luò)的聚類同步問題。文獻(xiàn)[3-5]通過不同方法研究周期間歇牽制控制的時延網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)同步問題。文獻(xiàn)[6-7]通過引入周期性間歇控制方法，分別研究了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌系統(tǒng)的同步問題。

網(wǎng)絡(luò)中的信息流通常不是瞬時的，其中時延普遍存在。以往的工作主要研究時延對智能體系統(tǒng)收斂性的影響[17-19]。文獻(xiàn)[20]提出了滯后一致性的概念，滯后一致意味著跟隨者的相應(yīng)狀態(tài)向量在領(lǐng)導(dǎo)者后有一個時延。此后，一些學(xué)者進(jìn)行了一系列滯后一致性的研究[21-25]。Wang等[21]提出了一種基于鄰居和領(lǐng)導(dǎo)者局部信息的控制算法，解決非線性多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問題,此外，還考慮了具有自適應(yīng)反饋控制下的非線性多智能體系統(tǒng)的滯后一致性。Zhou等[22]研究了具有有界外部擾動的二階多智能體網(wǎng)絡(luò)的有限時間滯后一致性問題,通過構(gòu)造一種新的具有速度和位置相對信息的協(xié)商一致控制協(xié)議，使多智能體網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)滯后一致。Hu等[23]考慮了在分布式自適應(yīng)控制協(xié)議下的領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問題，運用Lyapunov穩(wěn)定性理論, 給出了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)滯后一致的充分條件。Wang等[24]應(yīng)用Lyapunov泛函和矩陣?yán)碚摲治隽朔蔷€性多智能體系統(tǒng)在牽制控制下的滯后一致性。Ni等[25]研究了具有輸入延遲的二階領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)在固定時間內(nèi)的滯后一致性問題。

目前,尚未有非線性多智能體系統(tǒng)在間歇牽制控制下滯后一致性的相關(guān)研究。鑒于此，給出間歇牽制控制協(xié)議，并運用矩陣不等式、泛函微分方程理論和穩(wěn)定性理論，導(dǎo)出該系統(tǒng)在非周期間歇牽制控制下實現(xiàn)滯后一致的充分條件。

1 預(yù)備知識

1.1 圖論

設(shè)G=(V,ε,A)為N階加權(quán)的有向圖，其中V={1,2,…,N}表示節(jié)點集，節(jié)點之間的連接邊構(gòu)成的集合為ε?V×V，A=(aij)N×N為G的加權(quán)鄰接矩陣。圖G的有向邊記為εij=(i,j)，表示節(jié)點i能收到來自節(jié)點j的信息。aij>0當(dāng)且僅當(dāng)G有有向邊(i,j)，否則aij=0。若有向圖G的某個節(jié)點按照有向路徑可以到達(dá)所有其他節(jié)點，則有向圖G具有一個生成樹。若有向圖G的任意2個不同節(jié)點i和j都存在i到j(luò)的有向路徑，同時也存在j到i的有向路徑，則稱有向圖G是強連通的。Ni為節(jié)點i的鄰居節(jié)點集，即Ni={j∈V:(i,j)∈ε}。L= (lij)N×N為有向圖G的拉普拉斯矩陣，且

1.2 模型描述

考慮一個具有N個跟隨者的多智能體系統(tǒng)，其中每個跟隨智能體的動力學(xué)模型為

(1)

其中：xi(t)∈Rn,ui(t)∈Rn，i=1,2,…,N，分別為第i個智能體的位移變量和控制輸入；f∶Rn→Rn為連續(xù)映射，表示第i個智能體自身非線性動力學(xué)；c為位移的耦合強度。鄰接矩陣A=(aij)∈RN×N描述系統(tǒng)(1)的網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)洌舻趇個智能體能收到第j個智能體的信息，則aij>0，否則aij=0。

領(lǐng)導(dǎo)者智能體的動力學(xué)模型為

(2)

x0=(x01,x02,…,x0n)Τ∈Rn為領(lǐng)導(dǎo)者智能體的位移變量，f(x0)=(f1(x0),f2(x0),…,fn(x0))Τ∈Rn為領(lǐng)導(dǎo)智能體的自身動力學(xué)。

非周期間歇牽制控制協(xié)議為

(3)

其中k∈N。若第i個智能體能收到來自領(lǐng)導(dǎo)者智能體的通訊信息，則bi>0，否則bi=0。

定義1[20]若存在常數(shù)τ2>0，使得

(4)

其中i=1,2,…,N，則稱系統(tǒng)(1)和(2)能實現(xiàn)滯后一致。

假設(shè)1存在非負(fù)常數(shù)ρ，使得

‖f(x(t-τ1),x(t))-f(x0(t-τ1-τ2),

x0(t-τ2))‖≤ρ[‖x(t-τ1)-

x0(t-τ1-τ2)‖+‖x(t)-x0(t-τ2)‖]，

(5)

其中，

x(t-τ1),x(t),x0(t-τ1-τ2),x0(t-τ2)∈Rn。

假設(shè)2[26]存在2個正常數(shù)0<θ<ω<+∞，對于k=1,2,…，使得

(6)

定義2[26]對于非周期間歇牽制控制協(xié)議，定義休息寬度tk+1-sk在時間跨度tk+1-tk上的最大比值為

(7)

顯然，0<Ψ<1。由于Ψ=0是連續(xù)情形，通常假設(shè)Ψ∈(0,1)。

(8)

a1>a2≥0,δ=a1+a3>0,σ=λ-δΨ>0，

(9)

則

(10)

其中λ>0為方程

的唯一正解。

2 主要結(jié)論

具有非周期間歇牽制控制協(xié)議(3)的第i個跟隨者智能體系統(tǒng)(1)可描述為

(11)

其中xi(t)∈Rn為第i個智能體的位移狀態(tài)變量，i=1,2,…,N。

令位移狀態(tài)誤差

ei(t)=xi(t)-x0(t-τ2)，

則第i個誤差系統(tǒng)可寫為

(12)

誤差系統(tǒng)用向量形式可表示為

(13)

e(t)= (e1(t)Τ,e2(t)Τ,…,eN(t)Τ)Τ∈RNn×1,

ei(t)= (ei1(t),…,ein(t))Τ=

(xi1-x01,…,xin-x0n)Τ∈Rn×1，

i=1,2,…,N，其中：xij為第i個智能體的第j個分量；

H=L+diag(b1,b2,…,bN)。

定理1若假設(shè)1成立，并存在一個正定矩陣H及

α1=-(3ρ-2cλmin(H)),

α2=3ρ-2cλmin(L),α1>ρ≥0,

δ=α1+α2>0,λ-δΨ>0,

證明定義Lyapunov函數(shù)

(14)

易知，V(t)≥0，若V(t)=0，當(dāng)且僅當(dāng)e(t)=0Nn×1。

當(dāng)t∈[tk,sk],k∈N時，將V(t)沿式(13)的軌跡對時間t求導(dǎo)，可得

eΤ(t)[F(e(t))-c(H?In)e(t)]≤

ceΤ(t)(H?In)e(t)≤

ceΤ(t)(H?In)e(t)≤

βV(t-τ1)，

(15)

其中，

α1=-(3ρ-2cλmin(H)),β=ρ。

適當(dāng)選取c的值，可使α1>0,β>0。

當(dāng)t∈(sk,tk+1),k∈N時，采用類似分析方法將V(t)沿式(13)的軌跡對時間t求導(dǎo)，可得

eΤ(t)[F(e(t))-c(L?In)e(t)]≤

ceΤ(t)(L?In)e(t)≤

ceΤ(t)(L?In)e(t)≤

(16)

其中，α2=3ρ-2cλmin(L),β=ρ,且α1+α2>0。結(jié)合式(15)、(16)，可得

(17)

基于上述分析，由引理2易導(dǎo)出：

即多智能體系統(tǒng)(1)和(2)在非周期間歇牽制控制協(xié)議(3)下可實現(xiàn)滯后一致。證明完畢。

推論1若假設(shè)2成立，且

μ=λ(θ-τ1)-κ(ω-θ)>0,

其中κ=α2+ρ，ρ為假設(shè)1中的定義，θ和ω為假設(shè)2中的定義，λ和α2為定理1中的定義，則多智能體系統(tǒng)(1)、(2)在非周期間歇牽制控制協(xié)議(3)下可以實現(xiàn)滯后一致。

證明類似于文獻(xiàn)[26],由于

因此，多智能體系統(tǒng)(1)和(2)在非周期間歇牽制控制協(xié)議(3)下可實現(xiàn)滯后一致。

3 數(shù)值模擬

對于多智能體系統(tǒng)(11)，考慮1個領(lǐng)導(dǎo)者和4個跟隨者，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D如圖1所示，其中：0為領(lǐng)導(dǎo)者；1、2、3、4為4個跟隨者。非線性函數(shù)f可由蔡氏電路[27]表示為

(18)

其中：

α=10,β=17.53,γ=0.163 6,a=-1.432 5,b=-0.783 1,ε=0.2,η=0.5,通訊時滯τ1=0.02。初始條件取[0,1]上不同常數(shù)函數(shù)(t∈[-0.02,0])時，系統(tǒng)(18)存在混沌吸引子，如圖2所示。

圖2 蔡氏電路系統(tǒng)(18)的混沌吸引子

由網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D可得G的Laplace矩陣：

令B=diag(5,0,0,0)，由Laplace矩陣可知，只有第1個智能體能接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息。對于間歇控制，定義非周期間歇控制為

[0,0.2]∪[0.5,0.8]∪[1,1.2]∪[1.5,1.8]∪

[2.0,2.2]∪[2.5,2.8]∪[3.0,3.2]…。

對于定理1中的矩陣H，取ρ=0.1，c=0.1，則

α1=-(3ρ-2cλmin(H))=0.5，α1>ρ≥0，

α2=3ρ-2cλmin(L)=0.3，

δ=α1+α2=0.8>0，λ=0.4，ψ=0.4，

λ-δψ=λ-0.32=0.08>0。

由于滿足定理1中的所有條件，多智能體系統(tǒng)(1)和(2)能實現(xiàn)滯后一致。由數(shù)值模擬得出領(lǐng)導(dǎo)者和4個跟隨者的滯后誤差曲線如圖3所示。從圖3可看出，系統(tǒng)(1)與(2)之間相應(yīng)變量的對應(yīng)分量的滯后誤差隨時間趨于無窮大而趨于0。

圖3 滯后誤差變量隨時間的演化(i=1,2,3,4)

4 結(jié)束語

研究了一階非線性多智能體系統(tǒng)在非周期間歇牽制控制下的滯后一致性問題。非周期間歇牽制控制的多智能體系統(tǒng)只需在每個區(qū)間的某個時間段內(nèi)進(jìn)行牽制，而不是整個區(qū)間，以確保系統(tǒng)達(dá)到滯后一致，從而節(jié)約資源和降低成本。此外，與以往文獻(xiàn)不同，延遲是自然引入的，使得整體動態(tài)模型成為泛函微分方程。利用Lyapunov函數(shù)方法導(dǎo)出了多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)滯后一致的充分條件。由于通信時延通常是時變的，今后將研究受時變通信時延影響的多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問題。