混合Lebesgue空間中平移不變信號(hào)的隨機(jī)采樣穩(wěn)定性

李 婉， 蔣英春

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

采樣理論是信號(hào)處理中一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容。經(jīng)典的Shannon采樣定理指出，當(dāng)采樣間隔充分小時(shí)，帶限信號(hào)可以從均勻樣本中重構(gòu)[1]。實(shí)際處理中的信號(hào)往往具有隨機(jī)特性，因而隨機(jī)采樣方式引起了不少學(xué)者的研究興趣。

近年來(lái)，已有不少學(xué)者對(duì)隨機(jī)采樣理論進(jìn)行了研究。2004年，Bass等[2]研究了多元三角多項(xiàng)式的隨機(jī)采樣問(wèn)題，并估計(jì)了相關(guān)的Vandermonde型和Toeplitz類矩陣條件數(shù)的概率分布。隨后，Bass等[3]研究了帶限信號(hào)的相關(guān)采樣。2013年，Yang等[4]研究了單生成平移不變空間中信號(hào)的隨機(jī)采樣問(wèn)題，證明了當(dāng)樣本點(diǎn)足夠多時(shí)，能量集中子集中信號(hào)的采樣穩(wěn)定性以高概率成立。2019年，Yang[5]研究了多生成平移不變空間中信號(hào)的隨機(jī)采樣問(wèn)題，建立了能量集中信號(hào)的采樣不等式，并構(gòu)造了有限維子空間中信號(hào)的重構(gòu)算法。同年，Rühr等[6]對(duì)有限生成的平移不變空間中信號(hào)的相關(guān)采樣進(jìn)行了研究，證明了當(dāng)R充分大時(shí)，選取O(Rnlog(R))個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)，可高概率地得到能量集中子集上的一個(gè)穩(wěn)定采樣集。2020年，Lu等[7]研究了有限信息率空間中信號(hào)的非均勻隨機(jī)采樣和重構(gòu)問(wèn)題。同年，Patel等[8]對(duì)再生核空間中信號(hào)的隨機(jī)采樣展開研究，證明了在積分核滿足衰減性情況下，均勻分布在有界方體上的隨機(jī)樣本可以高概率地構(gòu)成方體上能量集中信號(hào)的穩(wěn)定采樣集，并建立了有限維子空間中信號(hào)的重構(gòu)算法。

經(jīng)典信號(hào)空間中隨機(jī)采樣理論的研究已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，但信號(hào)只能定義在時(shí)域或空域中，而實(shí)際信號(hào)多是時(shí)變的，即同時(shí)存在于時(shí)域和空域?；旌螸ebesgue空間對(duì)不同變量具有分離可積性，是測(cè)量時(shí)變信號(hào)的一個(gè)有力工具。1961年，Benedek等[9]對(duì)混合Lebesgue空間進(jìn)行了詳細(xì)的描述。隨后，不少學(xué)者又從調(diào)和分析和算子理論的角度對(duì)混合Lebesgue空間做了進(jìn)一步的研究[10-11]。

為了處理高維時(shí)變信號(hào)，經(jīng)典Lebesgue空間中帶限信號(hào)和平移不變信號(hào)的許多結(jié)論被推廣到混合Lebesgue空間的相應(yīng)子空間中[12-16]，但卻并未涉及平移不變信號(hào)的隨機(jī)采樣理論。采樣理論的一個(gè)重要內(nèi)容是找到穩(wěn)定的采樣集重構(gòu)信號(hào)。因此，對(duì)混合Lebesgue空間中平移不變信號(hào)的隨機(jī)采樣穩(wěn)定性展開研究。

1 預(yù)備知識(shí)

令Lp,q(R×Rd)(1≤p,q<∞)為混合Lebesgue空間，即

Lp,q(R×Rd)={f∶‖f‖Lp,q(R×Rd)<∞}，

其中，

當(dāng)p,q=∞時(shí)，定義

p,q(Z×Zd)={c∶‖c‖lp,q(Z×Zd)<∞}，

其中，

當(dāng)p,q=∞時(shí)，定義

混合Lebesgue空間Lp,q(R×Rd)的平移不變子空間Vp,q(φ)定義為

(1)

其中，1

對(duì)于式(1)中的生成元φ,假設(shè)其滿足如下條件：

1)φ在某個(gè)有界區(qū)域上緊支，即對(duì)任意的r1,r2>0，supp(φ)?[-r1,r1]×[-r2,r2]d;

2)φ的平移是穩(wěn)定的，即存在2個(gè)正常數(shù)cp,q、Cp,q，使得對(duì)任意的c∈p,q(Ζ×Ζd)有

(2)

對(duì)充分大的K1,K2>0及δ∈(0,1)，定義Vp,q(φ)的子集為

(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)}。

(3)

其中，CK1,K2=[-K1,K1]×[-K2,K2]d，且

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

定義

(4)

其中，f|CK1,K2表示將f限制在方體CK1,K2上。

覆蓋數(shù)作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，在估計(jì)概率誤差及給定置信度和誤差范圍所需的樣本數(shù)方面具有重要的應(yīng)用。設(shè)S是一個(gè)度量空間，且η>0，稱以η為半徑覆蓋S的最小圓盤個(gè)數(shù)m為S的覆蓋數(shù)，記作N(S,η)，其中m∈Ν。特別地，當(dāng)S緊支時(shí)，m<∞。

證明令ZK1,r1=Z∩[-K1-r1,K1+r1]，

f(x,y)=g(x,y)|χCK1,K2=

其中，(x,y)∈CK1,K2。

因此，

[2K1+2r1+1][2K2+2r2+1]d。

一方面，利用式(2)可得

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

另一方面，

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=‖g‖Lp,q(CK1,K2)≤‖g‖Lp,q(R×Rd)=1，

k2)φ(x-k1,y-k2)‖Lp,q(R×Rd)≥

(5)

‖f‖Lp,q(CK1,K2)≥(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)≥

(1-δ)cp,q‖c‖lp,q。

(6)

注意到‖c‖≤‖c‖，結(jié)合式(5)、(6)，可得

為簡(jiǎn)單起見，使用記號(hào)

(7)

利用引理3，可得

個(gè)元素，所以式(7)成立。

設(shè)Z={(xi,yj)∶i,j∈Ν}是均勻分布在CK1,K2上的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。對(duì)任意的f∈Vp,q(φ)，定義新的隨機(jī)變量

?CK1,K2|f(x,y)|dxdy，

(8)

其中，i,j∈Ν。易知，{Zi,j(f)∶i,j∈Ν}是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且期望值E(Zi,j(f))=0。

1)‖Zi,j(f)‖≤c*；

2)‖Zi,j(f)-Zi,j(g)‖≤2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)；

3)Var(Zi,j(f))≤(c*)2；

4)Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))≤2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。證明因

由引理3可得

‖f‖L∞,∞(CK1,K2)≤c*‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤

c*‖f‖Lp,q(R×Rd)=c*。

1)由式(8)可得

2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

3)利用方差的定義及E[Zi,j(f)]=0，可得

4)用與3)相同的方法可得

Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))=E((Zi,j(f)-Zi,j(g))2)-

(E(Zi,j(f)-Zi,j(g)))2=

E((|f(xi,yj)|-|g(xi,yj)|)2)-

(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

?CK1,K2(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

與經(jīng)典的Bernstein不等式[18]類似，下述二元隨機(jī)變量的Bernstein不等式成立。

引理6令Zi,j為獨(dú)立隨機(jī)變量,且E[Zi,j]=0，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。假設(shè)Var(Zi,j)≤σ2，且|Zi,j|≤M對(duì)幾乎所有的i=1,2,…,n和j=1,2,…,m都成立，則對(duì)任意的λ≥0，

證明給定∈Ν，構(gòu)造關(guān)于的2網(wǎng)。

令C為相應(yīng)的2網(wǎng)，其中=1,2,…,則C的基數(shù)至多為

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤2→0。

由引理5的步驟2)可知，

Zi,j(f)=Zi,j(f1)+(Zi,j(f2)-Zi,j(f1))+

(Zi,j(f3)-Zi,j(f2))+…。

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2滿足

反之，取f0=0，可得

與假設(shè)矛盾。

對(duì)于每個(gè)固定的f∈C1，利用引理5的步驟1)和3)及引理6，可得

進(jìn)一步地，利用引理4，可得C1中的元素至多為

個(gè)。因此，

P(ω1)≤2exp(2K1+2r1+1)(2K2+2r2+1)d×

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2，

有

進(jìn)一步地，由引理4可知，

其中#(C)和#(C)分別為C和C中元素的個(gè)數(shù)。因此，事件的概率為

(9)

則

首先，考慮情形

(10)

利用條件(10)可得

那么，結(jié)合ω1的概率可得

最后，考慮

的情形。在這種情況下，可選取

使得

成立。結(jié)合上述2種情形，結(jié)論成立。

A‖f‖Lp,q(R×Rd)≤

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖≤

B‖f‖Lp,q(R×Rd)

(11)

至少以概率

成立，其中，

的補(bǔ)集為

一方面，

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q≤

m1-1/qn1-1/p‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q。

另一方面，

‖f‖L1,1(CK1,K2)≤(2K1)1-1/p(2K2)d(1-1/q)‖f‖Lp,q(CK1,K2)。

1-δ≤‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤1。

因此，事件

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了混合Lebesgue空間的單生成平移不變子空間中信號(hào)的隨機(jī)采樣問(wèn)題。在生成元滿足緊支性和平移穩(wěn)定性的條件下，證明了當(dāng)采樣點(diǎn)足夠多時(shí)，能量集中信號(hào)的采樣穩(wěn)定性以高概率成立。這表明信號(hào)f可以從采樣集中穩(wěn)定地重構(gòu)，但本研究并未討論信號(hào)的重構(gòu)算法。對(duì)于信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題及較復(fù)雜的多生成，生成元衰減的情形，后續(xù)將做進(jìn)一步研究。