帶有積分邊值條件的二階非線性常微分方程解的存在性

杜睿娟

(甘肅政法大學(xué)人工智能學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

0 引言

非線性常微分方程邊值問題在工程技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景,如由不同密度的N個部分組成的均勻截面鋼絲的振動可以設(shè)置為多點邊值問題[1]；彈性穩(wěn)定性理論中的許多問題可以用非線性常微分多點邊值問題的方法來解決[2]；小尺寸的橋梁通常設(shè)計有兩個支撐點,這導(dǎo)致了一個標(biāo)準(zhǔn)的兩點邊界條件,而大尺寸的橋梁有時設(shè)計有多點支撐,這對應(yīng)于一個多點邊界條件[3].基于廣泛的工程應(yīng)用背景,非線性常微分方程多點邊值問題解的存在性已經(jīng)引起了學(xué)者的很大興趣[4-6].1997年，F(xiàn)eng等[6]討論了二階常微分方程

x″(t)=f(t,x(t),x′(t))+e(t),t∈[0,1]

在邊值條件

和

下解的存在性.

當(dāng)前，有關(guān)解的存在性的結(jié)論大多數(shù)都是基于m-點邊值條件得出的,而對于m-點邊值條件的推廣,即具有積分邊值條件的非線性常微分方程解的存在性的討論并不多見.此外,已有的討論共振情形下多點邊值問題解的存在性的工作幾乎均是基于相關(guān)算子的核維數(shù)dim KerL=1而獲得的，對于核維數(shù)dim KerL=2的結(jié)論并不多見[6-8].基于以上考慮,文中討論算子L的核維數(shù)dim KerL=2的共振情形下,具有積分邊值條件的二階非線性常微分方程邊值問題

( i )Lu≠λNu, (u,λ)∈D(L)KerL∩?Ω;

( ii )Nu?ImL,u∈KerL∩?Ω;

( i )對a.e.t∈[0,1]，f(t,·)在R上連續(xù)；

( ii )對u∈R2，f(·,u)在[0,1]上Lebsgue可積；

(iii)對每一個常數(shù)ρ>0,存在函數(shù)fρ∈L1[0,1],使得

f(t,u)≤fρ(t), a.e.t∈[0,1],||u||<ρ.

注1文中總假設(shè)下列條件成立；

1 預(yù)備知識

( i )ImL是Z中的閉子集；

( ii )dim KerL=codim ImL<+∞.

文中以X,Z分別表示賦范為

Lu:=u″,u∈D(L)?X,

(1)

其中

Nu=f(t,u(t),u′(t))+e(t),t∈[0,1].

引理1算子L如(1)式所定義，假設(shè)條件(C1)，(C2)成立，則L為零指標(biāo)的Fredholm算子.定義線性算子：

則KP為算子L在D(L)∩KerP上的逆算子，即

KP=L-1|D(L)∩KerP,

其中KerP={u∈X：u(0)+u′(0)t=0}，且滿足

||KPy||≤||y||1,y∈ImL.

證明證明分五步完成.

(Ⅰ)顯然

KerL={u∈D(L):u(t)=a+bt,a,b∈R},

下證

ImL={y∈Z:Q1y=Q2y=0},

(2)

其中

設(shè)二階齊次線性方程

u″(t)=y(t)

(3)

有解u(t)滿足邊值條件，則

由邊值條件和條件(C1)可得Q1y=Q2y=0，即y∈ImL.反之,若y∈ImL，則

Q1y=Q2y=0.

(4)

(Ⅱ)證明KerL=ImL.令

易驗證T1(T1y)=T1y,T1(T2y)=0,T2(T1y)=0,T2(T2y)=T2y，所以Q2y=Qy,即Qy為線性算子.

若y∈KerL，則Q1y=Q2y=0,于是

從而

因此Q1y=Q2y=0，即y∈ImL.反之,若y∈ImL，則由Q1y=Q2y=0可得y∈KerL，因此KerL=ImL.

(Ⅲ)證明dim ImQ=2，L為零指標(biāo)的Fredholm算子.設(shè)y∈Z,令y=(y-Qy)+Qy,則Qy∈ImQ,y-Qy∈KerQ=ImL,因此Z=ImL+ImQ.令y(t)=at+b,則y∈ImL∩ImQ,由y∈ImL及Qy的定義可知,Q1(at+b)=0,Q2(at+b)=0.由

可得a=b=0，ImL∩ImQ={0}，這表明Z=ImL⊕ImQ.因此codim ImL=dim ImQ=2,這表明L為零指標(biāo)的Fredholm算子.

為算子L限制在D(L)∩KerP上的逆算子.

(Ⅴ)由KP的定義,有

因此可得||KPy||≤||y||1.】

2 主要結(jié)果及證明

定理1假設(shè)下列條件成立：

(H1)存在函數(shù)m,n,p,q∈L1[0,1]及常數(shù)θ∈[0,1]，滿足

或者

(H2)令

則存在常數(shù)A>0,B>0，當(dāng)|u(t)|>A，|u′(t)|>B時，有

(H3)存在常數(shù)C>0,使得對任意實數(shù)a,b，當(dāng)|a|>C或|b|>C時,有

Q1(a+bt)+Q2(a+bt)>0,

(7)

或者

Q1(a+bt)+Q2(a+bt)<0.

(8)

則當(dāng)||m||1+||n||1<1/2時，邊值問題(1)在C1[0,1]中至少存在一個解.

證明假設(shè)條件(5)成立，令Ω1={u∈D(L)KerL:Lu=λNu,λ∈[0,1]}.設(shè)u∈Ω1，則λ≠0,QNu=0，即Q1u=Q2u=0.由(H2)可知，存在t1,t2∈[0,1]滿足|u(t1)|≤A，|u(t2)|≤B.又因為

所以有

再結(jié)合引理1可得

所以

整理得

由常數(shù)θ∈[0,1)可知存在常數(shù)M>0，使得||u||≤M，因此Ω1有界.

令Ω2={u∈KerL:Nu∈ImL}.設(shè)u∈Ω2，則u∈KerL，其中KerL={u∈D(L):u(t)=a+bt,a,b∈R,t∈[0,1]}.由Q(a+bt)=0可知Q1(a+bt)=Q2(a+bt)=0，結(jié)合條件(H3)可知，|a|≤C,|b|≤C，從而||u||≤|a|+|b|≤2C，即Ω2有界.

記

若條件(7)成立，令Ω3={u∈KerL:λJu+(1-λ)QNu=0}.設(shè)u(t)=a+bt,a,b∈R，u∈Ω3，則λJu+(1-λ)QNu=0.經(jīng)過簡單計算可得

所以

若λ=1，則a=b=0；若λ≠1,則由條件(H3)可知

這與λ(|a|+|b|)≥0矛盾！故Ω3有界.

若(8)式成立，類似可證明Ω3有界.

L-緊的，于是定理A的條件( i ),( ii )成立.因為

所以定理A的條件(iii)也成立.