基于拓?fù)洳贾玫某邔咏ㄖTMDI風(fēng)致振動(dòng)控制

路 暢，李春祥，曹黎媛

(上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

近年來，得益于高強(qiáng)輕質(zhì)材料的研發(fā)與應(yīng)用，超高層建筑得到繁榮的發(fā)展。這些超高層建筑項(xiàng)目不僅給人們的生活帶來很大的便利，同時(shí)為人口稠密、土地資源有限的特大城市帶來發(fā)展的新機(jī)遇[1]。對(duì)于這類細(xì)長(zhǎng)的超高層結(jié)構(gòu)，柔度大，其固有頻率更接近強(qiáng)風(fēng)的卓越頻率，從而發(fā)生大幅度的風(fēng)致振動(dòng)[2]。特別是，建筑邊緣產(chǎn)生的渦旋脫落效應(yīng)使得超高層結(jié)構(gòu)在橫風(fēng)向產(chǎn)生過度的振動(dòng)，因此引發(fā)的樓層加速度峰值遠(yuǎn)高于順風(fēng)向。為此，抑制超高層建筑在橫向風(fēng)作用下的風(fēng)致振動(dòng)并確保橫風(fēng)向水平樓層加速度保持在舒適使用范圍內(nèi)，成為了超高層結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵適用性設(shè)計(jì)要求[3]。

在過去的30年，眾多學(xué)者們提出了不同的被動(dòng)控制裝置以減小結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)，其中調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)[4-7]由于構(gòu)造簡(jiǎn)單且對(duì)整體結(jié)構(gòu)影響較小而被廣泛地應(yīng)用于超高層建筑的風(fēng)致振動(dòng)控制中。然而，TMD的減振能力在很大程度上取決于慣性質(zhì)量大小，即慣性質(zhì)量越大，TMD的控制效果越好且魯棒性也越強(qiáng)[8]，但對(duì)于輕質(zhì)、細(xì)長(zhǎng)的超高層建筑，有限的頂層空間限制了大質(zhì)量塊TMD控制裝置的應(yīng)用。為此，Giaralis等[9-11]提出了將調(diào)諧質(zhì)量阻尼慣容器(tuned mass damper-inerter，TMDI)運(yùn)用到超高層建筑的風(fēng)致振動(dòng)控制中。TMDI利用慣容器(Inerter)[12]的質(zhì)量放大特性，從而在不增加TMD物理質(zhì)量的情況下實(shí)現(xiàn)超高層建筑風(fēng)致振動(dòng)控制性能的增強(qiáng)。同時(shí)，Cao等[13]將串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned tandem mass dampers, TTMD)[14]與慣容器進(jìn)行集成，提出了一種新型的高性能控制裝置：串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器(tuned tandem mass dampers-inerters, TTMDI)。通過頻域內(nèi)大量仿真認(rèn)為：TTMDI系統(tǒng)抑制結(jié)構(gòu)在地面加速度作用下的振動(dòng)具有較高的有效性和魯棒性。然而，TTMDI系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)風(fēng)振反應(yīng)的性能有待研究。為此，針對(duì)易受渦旋脫落影響的細(xì)長(zhǎng)超高層建筑，本文基于TTMDI控制裝置，提出了一種新型的超高層建筑風(fēng)振控制策略，分別從結(jié)構(gòu)橫風(fēng)向響應(yīng)分析，以及最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)等方面，對(duì)不同拓?fù)洳贾貌呗韵碌腡TMDI超高層建筑風(fēng)振控制性能逐一展開研究。

1 安裝TTMDI超高層建筑的風(fēng)致動(dòng)力響應(yīng)

為了便于更好地說明所提出風(fēng)振控制策略的基本原理，將超高層建筑簡(jiǎn)化為一個(gè)具有n自由度的線性多自由度(Multiple degrees of freedom, MDOF)系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 TTMDI-p拓?fù)湎嘛L(fēng)激超高層建筑集中質(zhì)量體系模型

TTMDI裝置安裝在結(jié)構(gòu)頂層，慣容器控制裝置的質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)的第n-p層連接，這樣的布置策略稱為TTMDI的-p型拓?fù)?。則-p型拓?fù)湎掳惭bTTMDI的MDOF結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣則表示為

(1)

本文僅考慮結(jié)構(gòu)在橫風(fēng)向風(fēng)荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程，則安裝TTMDI的MDOF系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的矩陣表達(dá)式為

(2)

式中:x=[x1…xnxt1xt2]T，xi(i=1,2,…,n)為MDOF結(jié)構(gòu)第i層相對(duì)地面位移，xt1和xt2分別為TMD1和TMD2質(zhì)量塊相對(duì)地面位移；上標(biāo)“·”為對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)，“¨”為對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)；F=[F1…Fn0 0]T，F(xiàn)i(i=1,2,…,n)為作用在MDOF結(jié)構(gòu)第i層的橫風(fēng)向風(fēng)荷載。假設(shè)橫風(fēng)向激勵(lì)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)頻域輸入輸出關(guān)系，安裝TTMDI結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)功率譜密度可由式(3)計(jì)算。

(3)

B(ω)=(K-ω2M+iωC)-1

(4)

于是，安裝TTMDI的MDOF結(jié)構(gòu)第k層位移和加速度響應(yīng)方差為

(5)

MDOF結(jié)構(gòu)第k層的峰值位移和峰值加速度可由式(6)求得。

(6)

式中,g為峰值系數(shù)，可由Davenport提出的經(jīng)驗(yàn)公式式(7)計(jì)算而得。

(7)

式中：ν=2π/ω為有效結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率，Hz，可取為無控結(jié)構(gòu)的一階固有頻率；Twind為假設(shè)風(fēng)作用于結(jié)構(gòu)的持續(xù)時(shí)間，可取為3 600 s。

2 案例分析

2.1 超高層建筑和風(fēng)激勵(lì)模型

本文以某超高層鋼結(jié)構(gòu)建筑的風(fēng)致振動(dòng)控制作為工程算例，該超高層建筑共74層，層高4 m，總高度296 m，采用(50×50)m2的方形截面。在風(fēng)荷載作用下，超高層建筑通常建模為多自由度豎直懸臂梁，這一假設(shè)在風(fēng)振響應(yīng)分析上被廣泛采用。工程算例模型如圖2所示。其中建筑案例的主要參數(shù)如表1所示。

(a)

表1 案例建筑主要參數(shù)

對(duì)于提出的矩形截面超高層建筑，高寬比比較大，橫風(fēng)向響應(yīng)遠(yuǎn)大于順風(fēng)向響應(yīng)。本文采用Liang等[16]提出的零均值高斯遍歷空間相關(guān)隨機(jī)平穩(wěn)風(fēng)譜模型來計(jì)算結(jié)構(gòu)的橫風(fēng)向風(fēng)振響應(yīng)。脈動(dòng)風(fēng)荷載功率譜密度矩陣的對(duì)角線單元表示為

(8)

作用在案例結(jié)構(gòu)不同樓層的橫風(fēng)力功率譜密度函數(shù)變化曲線，如圖3所示。除了第一層和頂層的Δzk為2 m，不同于中間層Δzk為4 m，中間樓層風(fēng)荷載幅值隨著樓層高度的增加而增大，這和平均風(fēng)速和漩渦脫落頻率隨樓層高度的變化相同。

圖3 作用于案例建筑不同樓層的橫風(fēng)力功率譜密度函數(shù)

考慮第k和l層的空間相關(guān)性，脈動(dòng)風(fēng)荷載功率譜密度矩陣中的非對(duì)角線單元表示為

(9)

2.2 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

對(duì)于超高層建筑，衡量舒適度的風(fēng)振加速度響應(yīng)是重要的控制目標(biāo)。因此，定義TTMDI的優(yōu)化目標(biāo)為最小化受控結(jié)構(gòu)頂層橫風(fēng)向峰值加速度(對(duì)f1、f2、ξt1、ξt2、ξT和ηI進(jìn)行優(yōu)化)，表達(dá)如下

(10)

根據(jù)慣性力的表達(dá)式，慣容器兩端加速度差越大，其產(chǎn)生的慣性力就越大，所以考慮TTMDI在多自由結(jié)構(gòu)中的拓?fù)湫问綄?duì)于超高層建筑風(fēng)致振動(dòng)控制是非常重要的因素。為此考慮4種拓?fù)淝闆r：p=4，p=6，p=8，p=10。為了避免由于兩質(zhì)量塊不等造成的非對(duì)稱性，設(shè)定η=1。根據(jù)TTMDI最優(yōu)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，利用模式搜索算法對(duì)TTMDI在具有上述頻譜特性的風(fēng)荷載下進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化和數(shù)值研究，優(yōu)化流程如圖4所示。并與TMD，TTMD和TMDI進(jìn)行比較。研究參數(shù)和優(yōu)化參數(shù)取值范圍如表2所示。值得說明的是：TMD為TMDI在β=0時(shí)的特殊情況，TTMD為TTMDI在β=0時(shí)的特殊情況。TMD、TTMD和TMDI的目標(biāo)函數(shù)也是最小化結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度。

圖4 模式搜索法優(yōu)化流程圖

表2 優(yōu)化參數(shù)的取值范圍和指定參數(shù)值

2.3 減振性能分析

加速度是衡量舒適度的有效指標(biāo)，為了定量表示安裝TTMDI后對(duì)結(jié)構(gòu)頂層橫風(fēng)向峰值加速度的控制效果，定義控制有效性Fpa如下

(11)

當(dāng)質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時(shí)，結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度控制有效性Fpa隨β-p變化情況,如圖5所示。

(a)

由圖5可知：總體而言，質(zhì)量塊總質(zhì)量比μ越大，則TTMDI對(duì)結(jié)構(gòu)頂層加速度的控制效果越好；當(dāng)μ值一定時(shí)，TTMDI的控制有效性隨著總慣容質(zhì)量比β的增加而增大，其主要原因在于慣容器增加了虛擬質(zhì)量于控制系統(tǒng)上，極大地提高了其有效慣性質(zhì)量，從而獲得高效的控制效果。從變化趨勢(shì)可以看出，當(dāng)μ較小時(shí)，TTMDI控制系統(tǒng)可以通過提高β值達(dá)到質(zhì)量塊較大時(shí)TTMD或TMD的控制效果，所以附加慣容器有利于實(shí)現(xiàn)TTMD和TMD裝置的輕質(zhì)化。其次，慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI控制有效性越大，原因在于慣容器連接跨越樓層越多，其兩端相對(duì)加速度差值越大，慣容器對(duì)主結(jié)構(gòu)額外施加的慣性力Fb也就越大，從而提高了TTMDI系統(tǒng)的振動(dòng)抑制能力。此外，在相同的μ和β時(shí)，TTMDI系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度控制效果要優(yōu)于TMDI系統(tǒng)，但隨著總慣容比β與慣容器連接跨越樓層數(shù)的增大，兩者的差距隨之縮小。

當(dāng)μ=0.005，μ=0.01時(shí)，不同拓?fù)淇刂撇呗韵?，TTMDI最優(yōu)剛度隨總慣容比β變化趨勢(shì),如圖6所示。

由圖6可知：隨著β的增加，TTMDI最優(yōu)剛度變化出現(xiàn)明顯的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)之前，TMD1所需的kt1趨于0，而TMD2所需kt2與TMDI所需的kt相近。其主要原因是，此時(shí)慣容質(zhì)量比ηI為0，意味著，總的慣容質(zhì)量集中于與TMD2連接的慣容器上，則TMD2的有效慣性質(zhì)量要遠(yuǎn)大于TMD1，TMD2在TTMDI系統(tǒng)中起主要調(diào)諧作用，所以TMD2所需剛度要遠(yuǎn)大于TMD1。拐點(diǎn)之后，由于優(yōu)化后的ηI為約1.2的值，兩個(gè)TMD的有效慣性質(zhì)量沒有較大的懸殊，同時(shí)起到調(diào)諧的作用，所以此時(shí)TMD1所需的kt1不為零；而又因?yàn)樽顑?yōu)調(diào)諧頻率比f2>f1，所以TMD2所需的kt2仍就大于kt1。另外，從圖6可以發(fā)現(xiàn)，隨著質(zhì)量塊總質(zhì)量比μ的減小或慣容器連接跨越樓層的增加，拐點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的β值越小，甚至消失。其主要原因是，隨著μ的減小或慣容器連接跨越樓層的增加，由慣容器所提供的有效慣性質(zhì)量發(fā)揮的作用越大，所以此時(shí)存在一個(gè)最優(yōu)的慣容質(zhì)量分配。整體而言，TTMDI所需總的剛度隨著總慣容質(zhì)量比β的增大而增大，且高于TMDI。

當(dāng)質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時(shí)，TTMDI和TMDI處于最優(yōu)狀態(tài)下所需總阻尼隨β-p變化情況，如圖7所示。

(a)

TTMDI系統(tǒng)中各最優(yōu)阻尼系數(shù)隨β和p的變化趨勢(shì),如表3和表4所示。由圖和表可知：在前述拐點(diǎn)出現(xiàn)前，最優(yōu)狀態(tài)下，TTMDI控制系統(tǒng)中ct2值最大且隨著β的增加而迅猛增大，此時(shí)相較于ct2，ct1和cT幾乎可忽略不計(jì)，這也意味著，此時(shí)TTMDI系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)TMDI與一個(gè)TMD串并聯(lián)，其中TMDI發(fā)揮著主要的調(diào)諧耗能的作用。為此，此時(shí)TTMDI系統(tǒng)的總阻尼需求同單個(gè)TMDI接近，并隨著β的增加而增大。當(dāng)拐點(diǎn)出現(xiàn)后，最優(yōu)狀態(tài)TTMDI系統(tǒng)的耗能機(jī)理發(fā)生了變化，此時(shí)TTMDI的ct1和ct2全為零，cT值較大且隨著β的增加而增大，這意味著此時(shí)TTMDI系統(tǒng)不同于TMDI，主要通過兩質(zhì)量塊之間的連接阻尼耗能；而且相較于TMDI，TTMDI系統(tǒng)對(duì)總阻尼的需求不到TMDI系統(tǒng)的一半。這些特性不僅簡(jiǎn)化了TTMDI系統(tǒng)，而且極大的提高了控制系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性，便利性及可實(shí)現(xiàn)性。

表3 μ=0.005時(shí)TTMDI最優(yōu)阻尼系數(shù)

表4 μ=0.01時(shí)TTMDI最優(yōu)阻尼系數(shù)

建筑實(shí)際設(shè)計(jì)需要考慮頂部空間的限制，TTMDI質(zhì)量塊的沖程是必須要考慮的。當(dāng)質(zhì)量比μ分別為0.005和0.01時(shí)，TTMDI處于最優(yōu)狀態(tài)下質(zhì)量塊沖程隨β-p變化情況，如圖8所示。

(a)

與圖4拐點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)，TMD1 沖程驟減處即是拐點(diǎn)位置。由圖8可知：在拐點(diǎn)出現(xiàn)前：TTMDI系統(tǒng)中，TMD2則因?yàn)檫B接的剛度和阻尼較大，所以沖程較??；而TMD1由于ct1較小，幾乎可視作無阻尼，所以沖程很大。在拐點(diǎn)出現(xiàn)之后，慣容器慣容質(zhì)量得到重新分配，TMD1和TMD2質(zhì)量塊沖程顯著減小，且分布比較均勻，對(duì)結(jié)構(gòu)所需空間需求小。總體而言，拐點(diǎn)出現(xiàn)之后，TTMDI的沖程與TMDI的較為接近，都遠(yuǎn)小于TTMD和TMD的沖程，且隨著β和慣容器連接跨越樓層的增加而減小。

(a)

由圖9可知：如前所述，拐點(diǎn)之前由于慣容器的慣容質(zhì)量集中于與TMD2連接的慣容器上，所以Ft1=0；此時(shí)Ft2>Ft，并且隨著β增大，差距越發(fā)明顯。而當(dāng)拐點(diǎn)之后，慣容器的慣容質(zhì)量得到重分配，此時(shí)與TMD1連接的慣容器開始起作用，所以Ft1突然增大，與此同時(shí)Ft2相應(yīng)減小至低于TMDI的Ft的水平，此時(shí)，由圖可見TTMDI的各慣容器產(chǎn)生的力都要小于TMDI系統(tǒng)中單個(gè)慣容器產(chǎn)生的力。除此以外，μ越小或慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI慣容器總的作用在結(jié)構(gòu)上的力就越大，這與TMDI情況相似，不同的是，拐點(diǎn)以后，隨著慣容器連接跨越樓層越多，TTMDI的Ft1隨之增大而Ft2隨之減小，這意味著兩慣容器產(chǎn)生的慣性力越發(fā)均勻。

μ=0.005,β=0.2,p=8時(shí)，在較寬的頻率范圍內(nèi)，即無控結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率范圍內(nèi)，受TMD、TTMD、TMDI、TTMDI控制下結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)變化曲線,如圖10所示。曲線下的面積即為加速度響應(yīng)方差。

圖10表明案例建筑在上述橫風(fēng)向風(fēng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)以第一振型為主，高振型對(duì)結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的貢獻(xiàn)非常小，在風(fēng)振計(jì)算中可以忽略不計(jì)；TTMDI控制下功率譜密度函數(shù)曲線最低，結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)最小。

圖10 μ=0.005,β=0.2,p=8時(shí)，TMD, TTMD, TMDI, 和TTMDI控制下結(jié)構(gòu)頂層加速度功率譜密度函數(shù)曲線

為此，圖11(a)分別給出了無控和受TMD、TTMD、TMDI、TTMDI控制下結(jié)構(gòu)在第一固有頻率附近H(ω)的變化曲線。除了顯示給定β=0.5,p=8時(shí)不同總質(zhì)量比μ情況下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)外，圖11(b)和圖11(c)還分別給出受TTMDI控制結(jié)構(gòu)H(ω)隨p和β的變化曲線。為了更好的量化頻響控制特性，圖11(a)局部放大窗口中注釋了抑制頻帶寬[17](suppression bandwidth, SB)：控制系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)優(yōu)于無控結(jié)構(gòu)的頻率范圍。根據(jù)這一定義，表5給出了β=0.5,p=8情況下，不同μ時(shí)TMD、TTMD、TMDI、TTMDI的抑制帶寬，并分別以TMD，TTMD，TMDI為基準(zhǔn)，對(duì)TTMDI的SB的提高率進(jìn)行了計(jì)算。由圖11和表5可以看出：

表5 β=0.5,p=8時(shí)不同μ值TMD、TTMD、TMDI和TTMDI抑制頻帶寬

(a)

(1)對(duì)于不同μ值，相較于TMD，TTMD的SB分別增加了34.8%和35.0%；TMDI則分別增加了68.7%和106%；TTMDI則分別增加了103.3%和168.7%。相較于TTMD，TMDI的SB分別增加了25.1%和52.6%；TTMDI則分別增加了50.7%和99.1%。相較于TMDI，TTMDI的SB則分別增加了20.5%和30.4%。顯然TTMDI和TMDI控制下結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線明顯比TTMD和TMD更低更平坦，其中TTMDI的優(yōu)勢(shì)更強(qiáng)一點(diǎn)。說明TTMDI可以在更大的共振頻率范圍內(nèi)有效降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)，這表明TTMDI對(duì)外部輸入激勵(lì)頻率變化具有更好的魯棒性。

(2)小質(zhì)量TTMDI(例如μ=0.005)擁有比大質(zhì)量TMDI(例如μ=0.01)更寬的抑制帶寬。

(3)隨著p或β的增大，TTMDI的SB增大，加速度傳遞函數(shù)曲線變低且更平緩。

綜上所述，考慮到TTMDI控制系統(tǒng)的有效性、沖程和慣性力的大小以及剛度和阻尼參數(shù)取值的合理性和經(jīng)濟(jì)型，設(shè)計(jì)參數(shù)μ，β及p的建議值,如表6所示。

表6 TTMDI設(shè)計(jì)參數(shù)建議值

3 結(jié) 論

根據(jù)慣容器連接布置的不同，設(shè)計(jì)了4種TTMDI拓?fù)湫问?，使用模式搜索法?duì)TTMDI參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。分別從控制有效性、剛度、阻尼、沖程、慣性力和魯棒性方面，對(duì)MDOF結(jié)構(gòu)-TTMDI系統(tǒng)橫風(fēng)向風(fēng)振控制性能進(jìn)行了分析與評(píng)價(jià)。主要結(jié)論如下:

(1)TTMDI最優(yōu)參數(shù)變化存在拐點(diǎn)，總質(zhì)量比μ越小或慣容器連接跨越樓層越多，拐點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的β值越小，拐點(diǎn)后TTMDI的優(yōu)勢(shì)才能得以充分發(fā)揮。

(2)當(dāng)慣容器的慣容質(zhì)量顯著大于質(zhì)量塊質(zhì)量時(shí)，TTMDI 和 TMDI 對(duì) MDOF結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度的控制有效性優(yōu)于 TTMD 和 TMD，其中同等質(zhì)量且同等慣容質(zhì)量時(shí)，TTMDI 控制有效性優(yōu)于 TMDI。

(3)在質(zhì)量相同情況下，TTMDI和TMDI耗能能力顯著高于TTMD和TMD；而總慣容質(zhì)量相同時(shí)，TTMDI只需要一個(gè)連接阻尼器，而且TTMDI系統(tǒng)對(duì)總阻尼的需求不到TMDI系統(tǒng)的一半，更易于實(shí)現(xiàn)。

(4)拐點(diǎn)出現(xiàn)之后，TTMDI沖程與TMDI沖程較為接近，都遠(yuǎn)小于TTMD和TMD沖程，且分布更為均勻，易于實(shí)際工程應(yīng)用。

(5)相對(duì)于TMD，TTMD 和TMDI，TTMDI在一階固有頻率附近具有更強(qiáng)的魯棒性和減振性能。

(6)給出了TTMDI系統(tǒng)中μ，β和p3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的建議值。

因此，TTMDI是一種優(yōu)越的超高層建筑風(fēng)致振動(dòng)控制裝置，本文的研究結(jié)論為超高層建筑的抗風(fēng)設(shè)計(jì)提供參考。