振蕩激波作用下受熱壁板主共振特性分析

葉柳青, 葉正寅, 洪 正, 葉 坤

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

吸氣式超聲速/高超聲速飛行器因具有較高的潛在軍事與民用價(jià)值，已經(jīng)成為了各國(guó)在航空航天領(lǐng)域投入巨大人力物力來(lái)研發(fā)的熱點(diǎn)和關(guān)鍵性技術(shù)之一[1-3]。而沖壓/超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)[4-7]作為此類飛行器推進(jìn)系統(tǒng)的核心，在一定程度上決定了飛行器最終能達(dá)到的技術(shù)高度。沖壓/超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)是一類結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)，它們直接利用空氣作為燃料氧化劑，使得飛行器具有連續(xù)可控的推力，具備更高的飛行靈活性和經(jīng)濟(jì)性。在沖壓/超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部存在激波、膨脹波等復(fù)雜的波系[8-10]，而滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量和主動(dòng)冷卻的設(shè)計(jì)要求需要采用薄壁結(jié)構(gòu), 因此激波主導(dǎo)流動(dòng)中彈性壁板的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是吸氣式高速飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化的重要基礎(chǔ)科學(xué)問(wèn)題。

近二十年來(lái)，許多學(xué)者針對(duì)激波主導(dǎo)流動(dòng)中壁板的氣動(dòng)彈性問(wèn)題展開(kāi)研究，取得了一系列研究成果。通過(guò)Von-Karman大變形板彎理論考慮壁板幾何非線性，并且根據(jù)CFD(computational fluid dynamics)代理模型和熱傳導(dǎo)理論，Miller等[11]建立了基于流固熱的氣動(dòng)彈性分析模型，該模型可以對(duì)激波作用下的壁板氣動(dòng)彈性響應(yīng)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算。假定激波位置固定在二維壁板的中點(diǎn)不變，Visbal[12-13]通過(guò)Euler和Navier-Stokes方程來(lái)分別求解變形壁板上的無(wú)黏和黏性流場(chǎng)，利用雙向流固耦合的數(shù)值方法研究了二維彈性壁板在激波作用下的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明當(dāng)激波強(qiáng)度較小時(shí)，氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性顯著提高；而當(dāng)激波強(qiáng)度較大時(shí)，臨界顫振動(dòng)壓遠(yuǎn)小于沒(méi)有激波作用時(shí)壁板的臨界顫振動(dòng)壓，穩(wěn)定性明顯降低。Boyer等[14]將Visbal的二維氣彈模型拓展到三維，研究了三維無(wú)黏流場(chǎng)中在激波的作用下彈性壁板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明強(qiáng)激波的作用會(huì)增大壁板振動(dòng)響應(yīng)的幅值和頻率，而弱激波的作用將顯著增大臨界顫振動(dòng)壓，即提高壁板的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性。

Brouwer[15]提出了可用當(dāng)?shù)鼗钊骼碚搧?lái)預(yù)測(cè)激波作用下彈性壁板表面的非定常氣動(dòng)力?；赩on-Karman大變形板彎理論和當(dāng)?shù)鼗钊骼碚摚琘e等[16-17]建立了激波作用在二維壁板的任意位置時(shí)受熱壁板的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定的理論分析模型，推導(dǎo)出了壁板發(fā)生氣動(dòng)彈性失穩(wěn)的邊界條件，并分析了激波強(qiáng)度、激波沖擊位置對(duì)臨界顫振動(dòng)壓、振動(dòng)響應(yīng)幅值和頻率的影響。結(jié)果表明，隨著激波沖擊位置從壁板一端向另一端移動(dòng)變化時(shí)，臨界顫振動(dòng)壓、振動(dòng)幅值和頻率都不是單調(diào)變化的。采用雙向流固耦合算法，李映坤等研究了無(wú)黏流場(chǎng)中斜激波沖擊作用下二維曲壁板的氣動(dòng)彈性響應(yīng)特性，著重分析了彎曲高度和動(dòng)壓對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。結(jié)果顯示較小的彎曲高度可降低壁板顫振臨界動(dòng)壓，而當(dāng)彎曲高度進(jìn)一步增大后，臨界顫振動(dòng)壓迅速提高，并且準(zhǔn)周期無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)狀態(tài)被激發(fā)出來(lái)。但是，這些研究都假定激波位置固定不變，目前僅有少量的文獻(xiàn)考慮激波位置隨時(shí)間發(fā)生改變。Dennis[18]采用風(fēng)洞試驗(yàn)對(duì)在快速移動(dòng)的激波作用下彈性壁板的氣動(dòng)彈性特性進(jìn)行了初步的研究，結(jié)果表明，與激波位置固定不變的情況相比，彈性壁板在快速移動(dòng)的激波作用下振動(dòng)幅值顯著提高。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)板的非線性共振問(wèn)題已開(kāi)展了較多的研究工作。在20世紀(jì)90年代，Okajima等[19]對(duì)懸臂矩形板的共振頻率與曲率和厚度變化的關(guān)系進(jìn)行了研究。在均勻分布的載荷作用下，Du等[20]對(duì)阻尼夾層圓板的非線性超諧共振問(wèn)題進(jìn)行了研究。基于Von-Karman 大變形理論，Xue等[21]建立了磁電彈性薄板的非線性無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并采用改進(jìn)的L-P(lindstedt-poincare)法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，詳細(xì)地分析了板的厚度、外激勵(lì)力、壓電材料、壓磁材料以及磁電彈材料等對(duì)系統(tǒng)主共振區(qū)間、彈簧剛度特性和振幅跳躍現(xiàn)象的影響?；诙喑叨确ǎ瑥埿V等[22-24]對(duì)矩形板和圓板的主共振問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。在矩形板方面，張小廣等對(duì)四邊固支約束的陶瓷-金屬材料功能梯度矩形板的主共振問(wèn)題進(jìn)行了理論研究。在圓板方面，Hu等研究了靜磁場(chǎng)作用下導(dǎo)電旋轉(zhuǎn)圓板的主共振問(wèn)題，并詳細(xì)分析了磁感性強(qiáng)度、轉(zhuǎn)速以及靜載等參數(shù)對(duì)頻率和振幅的影響。近年來(lái)，馬冰冰等[24]對(duì)在常磁場(chǎng)引起的靜載荷作用下鐵磁圓板的主共振問(wèn)題進(jìn)行了研究，并分析了不同電磁參量對(duì)共振振幅的影響。采用一種簡(jiǎn)化的氣動(dòng)模型[25]對(duì)作用于板上的氣動(dòng)載荷進(jìn)行描述，李文強(qiáng)等[26]對(duì)氣動(dòng)載荷作用下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電圓板的主共振問(wèn)題進(jìn)行了研究。以上關(guān)于壁板主共振問(wèn)題的研究工作中并沒(méi)有考慮激波的作用。

實(shí)際上，沖壓/超燃發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的激波串往往存在振蕩特征[27-29],這種激波串振蕩會(huì)給發(fā)動(dòng)機(jī)壁面帶來(lái)嚴(yán)酷的壓力脈動(dòng)載荷。就作者目前所知，比較缺乏對(duì)振蕩激波作用下壁板的主共振特性的研究。本文基于Von-Karman 大變形理論和當(dāng)?shù)鼗钊骼碚?，采?Galerkin 方法建立了振蕩激波作用下壁板振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)龍格-庫(kù)塔法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算獲得系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)，詳細(xì)分析了振蕩激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值、溫度、激波振蕩的中心位置、來(lái)流馬赫數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)特性的影響，尤其是振動(dòng)突跳與雙穩(wěn)態(tài)特性。

1 振蕩激波作用下受熱壁板的非線性動(dòng)力學(xué)方程

1.1 控制方程

當(dāng)三維平壁板在流向上的尺寸遠(yuǎn)小于另一個(gè)方向的尺寸時(shí)，它可以簡(jiǎn)化為二維平壁板模型，這里僅考慮二維各向同性材料的壁板。振蕩激波流場(chǎng)中的二維平壁板，邊界條件為兩端簡(jiǎn)支，如圖1所示。壁板的長(zhǎng)度為l，厚度為h，其中壁板厚度遠(yuǎn)小于壁板長(zhǎng)度。壁板的上表面受振蕩激波流場(chǎng)中非定常氣動(dòng)載荷的作用，入射斜激波前的氣流密度、速度和馬赫數(shù)分別為ρu,l，Uu,l，Mau,l，反射斜激波后的氣流密度、速度和馬赫數(shù)分別是ρu,r，Uu,r，Mau,r。壁板下表面受空腔壓力的作用，空腔壓力為pd?；贖amilton原理和Von-Karman大變形板彎理論，壁板在振蕩激波作用下的氣動(dòng)彈性方程[30]為

(1)

1.2 熱應(yīng)力

在飛行器高馬赫數(shù)(一般大于2.2)飛行時(shí)，氣動(dòng)加熱的影響一般不容忽視，還應(yīng)該考慮由于氣動(dòng)加熱產(chǎn)生的熱應(yīng)力[31-33]。假設(shè)壁板受熱達(dá)到穩(wěn)態(tài)并且溫度均勻分布，設(shè)T0為初始溫度，由溫升ΔT=T-T0引起的面內(nèi)熱應(yīng)力為

(2)

式中，α為材料的熱膨脹系數(shù)。

1.3 氣動(dòng)力

在分析振蕩激波作用下受熱壁板的主共振特性中，能夠有效地預(yù)測(cè)激波振蕩流場(chǎng)中的非定常氣動(dòng)載荷是至關(guān)重要的?；钊碚撛?0世紀(jì)50年代被Lighthill[34]和Ashely[35]等提出后，由于具有簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，且具有較好的實(shí)用性，被廣泛應(yīng)用于超聲速、高超聲速非定常氣動(dòng)力的計(jì)算。該理論假設(shè)當(dāng)馬赫數(shù)(Ma)?1時(shí)，機(jī)翼所產(chǎn)生的擾動(dòng)沿翼面法向傳播，而機(jī)翼表面各點(diǎn)間的相互影響很小，就像氣缸中活塞所產(chǎn)生的的擾動(dòng)傳播一樣。在等熵假設(shè)條件下，通過(guò)動(dòng)量定理和等熵關(guān)系式可以得到經(jīng)典活塞理論計(jì)算公式為

(3)

式中：P為翼面表面任意一點(diǎn)的壓力；P∞為來(lái)流壓強(qiáng)；a∞為來(lái)流音速；γ為空氣比熱比；νn為翼面法向速度，具體表達(dá)式如下

(4)

式中，U∞為來(lái)流速度。

當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)較小時(shí)，一般采用修正的線性活塞理論[36]

(5)

Brouwer等已經(jīng)證實(shí)了當(dāng)?shù)鼗钊骼碚擃A(yù)測(cè)激波主導(dǎo)流場(chǎng)中氣動(dòng)力的可行性。在當(dāng)?shù)鼗钊骼碚撝?，相?yīng)的自由來(lái)流流動(dòng)參數(shù)用當(dāng)?shù)貐?shù)來(lái)代替。本文研究振蕩激波作用下彈性壁板的主共振特性，主要考慮結(jié)構(gòu)非線性，因此這里采用當(dāng)?shù)?階活塞流理論，得到壁板上表面的氣動(dòng)力如下。

入射斜激波前的氣動(dòng)載荷為

(6)

反射斜激波后的氣動(dòng)載荷為

(7)

(8)

反射斜激波后壁板的上下壓差為

(9)

1.4 無(wú)量綱化

引入無(wú)量綱參數(shù)

將上述無(wú)量綱參數(shù)代入式(1)，則無(wú)量綱化后的控制方程為

(10)

由于壁板兩端簡(jiǎn)支，相應(yīng)的無(wú)量綱邊界條件為

(11)

實(shí)際上，本文將壁板兩端的約束簡(jiǎn)化為固定鉸支座，如圖1所示。因此除了式(11)中所表現(xiàn)的邊界條件(即壁板的兩端可以轉(zhuǎn)動(dòng)，并且沿著垂直方向不可以移動(dòng))以外，壁板兩端沿著水平方向也是不可以移動(dòng)的。

圖1 受振蕩激波作用的二維壁板

1.5 Galerkin離散

采用Galerkin方法對(duì)式(10)進(jìn)行離散，將位移函數(shù)展開(kāi)成各階諧波模態(tài)的疊加。對(duì)于簡(jiǎn)支邊界條件，位移函數(shù)為

(12)

將式(12)代入到式(10)，對(duì)方程各項(xiàng)同時(shí)乘以sin(jπx)(j=1,2,…,∞)，并沿著板長(zhǎng)積分。

這里假設(shè)壁板上表面的激波將以壁板上某一點(diǎn)為中心作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，入射斜激波沖擊在壁板上的位置記為ξk(ξk為無(wú)量綱量，ξk=xk/l)，則ξk=ξ0+Acos(ωτ)，ξ0為中心位置，A為激波振蕩的幅值，ω為激波振蕩的頻率。由于振蕩激波的存在，壁板左右兩端壓差不同，采用Galerkin方法對(duì)氣動(dòng)力項(xiàng)處理如下

(13)

(14)

其中

Q=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5，

2 模型驗(yàn)證

關(guān)于受熱壁板在振蕩激波作用下的主共振問(wèn)題，在第1章中已經(jīng)建立了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)分析模型。本文采用4階Runge-Kutta法對(duì)此動(dòng)力學(xué)模型(即式(14))進(jìn)行數(shù)值積分，取無(wú)量綱時(shí)間步長(zhǎng)為Δτ=0.001，初值為W0(ξ)=1，觀察壁板上順氣流75%長(zhǎng)度(ξ=0.75)處的時(shí)間歷程響應(yīng)，分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性，從而探討振蕩激波作用下受熱壁板的主共振特性。

表1 不同激波角下的靜壓比和動(dòng)壓比

2.1 數(shù)值方法驗(yàn)證

圖2 本文結(jié)果與Dowell的研究結(jié)果比較

圖3 本文結(jié)果與Ye等的研究結(jié)果比較

2.2 模態(tài)收斂性分析

為了選擇合適的模態(tài)數(shù)目求解振蕩激波作用下受熱壁板的非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)，有必要研究不同模態(tài)數(shù)目對(duì)響應(yīng)結(jié)果的影響，即：收斂性分析。選取激波角為σ=18°，假定激波圍繞壁板中點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即ξ0=0.500，激波振蕩幅值為A=0.100，振蕩頻率為ω=10，圖4顯示模態(tài)數(shù)目分別取N=2、4、6時(shí)，振動(dòng)幅值隨動(dòng)壓的變化。其中：WA為彈性壁板的振動(dòng)幅值。從圖4可知，用2階諧波模型(N=2)算得的幅值與用4、6階諧波模型(N=4、6)算得的幅值基本一致。由此可見(jiàn)，當(dāng)來(lái)流動(dòng)壓較小時(shí)，受熱壁板在振蕩激波作用下作強(qiáng)迫振動(dòng)，描述這種情況下的壁板變形至少取2階諧波模態(tài)。為保證計(jì)算的精度，在下面所有的分析中，均采用6階諧波模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

圖4 模態(tài)數(shù)目對(duì)振動(dòng)幅值的影響

3 振蕩激波作用下受熱壁板主共振特性分析

采用4階Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線，探討振蕩激波作用下受熱壁板的主共振特性，尤其是振動(dòng)突跳與雙穩(wěn)態(tài)特性。其中，幅頻響應(yīng)特性曲線分別采用升頻掃描和降頻掃描計(jì)算[37]獲得，即采用前一個(gè)外激勵(lì)頻率激勵(lì)下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解作為下一個(gè)外激勵(lì)頻率計(jì)算的初始條件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。本文重點(diǎn)關(guān)注主共振區(qū)，因此主要截取壁板1階固有頻率附近的幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行分析。壁板的第j階無(wú)量綱固有頻率[38]為ωj=(jπ)2。影響振蕩激波作用下受熱壁板主共振特性的因素有很多，這里分別詳細(xì)地分析了振蕩激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值、溫度、激波振蕩的中心位置、來(lái)流馬赫數(shù)以及下壁面背壓對(duì)壁板主共振特性的影響規(guī)律。

3.1 振蕩激波強(qiáng)度對(duì)受熱壁板主共振特性的影響

首先分析振蕩激波強(qiáng)度的影響，固定來(lái)流馬赫數(shù)為Ma=3.5，來(lái)流動(dòng)壓為λu,l=30，選取不同的激波角σ為17°、18°、20°、22°、24°，由斜激波關(guān)系式計(jì)算得到的入射斜激波前與反射斜激波后的無(wú)量綱動(dòng)壓比和無(wú)量綱靜壓比見(jiàn)表1。假定激波圍繞著壁板中點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振蕩，即ξ0=0.500，激波振蕩的幅值為A=0.010。溫升為ΔT/ΔTcr=0.1。采用4階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得到不同振蕩激波強(qiáng)度下受熱壁板的幅頻響應(yīng)特性曲線，如圖5所示。

其中，圖5實(shí)線為激波振蕩頻率不斷增大的正向掃頻曲線，虛線為激波振蕩頻率不斷減小的反向掃頻曲線，后文幅頻響應(yīng)曲線中實(shí)線和虛線的定義與此處一致，之后不再贅述。對(duì)于同一種算例來(lái)說(shuō)，其升頻掃描得到的幅頻響應(yīng)特性曲線與降頻掃描得到的幅頻響應(yīng)特性曲線在兩邊的部分(即遠(yuǎn)離共振區(qū)部分)應(yīng)該是重合的。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)可從圖中區(qū)分各條曲線。

由圖5可知，當(dāng)激波振蕩頻率接近主共振頻率時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)幅值急劇增大，同時(shí)，在共振峰處，正向掃頻和反向掃頻過(guò)程均存在明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，在升頻過(guò)程突跳點(diǎn)A與降頻過(guò)程突跳點(diǎn)B之間，形成雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間。從圖5(a)，隨著振蕩激波的強(qiáng)度不斷增大，系統(tǒng)共振峰幅值不斷增大，主共振幅頻響應(yīng)曲線不斷整體右移，主共振頻率不斷增大。對(duì)于弱激波而言，σ=17°，系統(tǒng)不存在振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；當(dāng)激波強(qiáng)度增大即σ=18°時(shí)，系統(tǒng)存在明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[10.3,13.0]；當(dāng)σ=20°時(shí)，升頻跳躍點(diǎn)較之前右移，而降頻跳躍點(diǎn)大幅右移，使得雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間變窄，此時(shí)共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[14.2,15.1]；繼續(xù)增大激波強(qiáng)度，當(dāng)σ=22°，主共振幅頻響應(yīng)曲線較之前整體右移，但振動(dòng)跳躍和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象再次消失；當(dāng)進(jìn)一步增大激波強(qiáng)度，考慮強(qiáng)激波σ=24°時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)顯著的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，不僅共振峰值和主共振頻率顯著提高，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間寬度大幅變寬，此時(shí)共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[19.9,25.1]。

(a)

3.2 激波振蕩幅值對(duì)受熱壁板主共振特性的影響

分別取激波振蕩幅值為A=0.005、0.010、0.030、0.050、0.100、0.200，來(lái)流馬赫數(shù)為Ma=3.5，激波角為σ=18°，溫升為ΔT/ΔTcr=0.10，中心位置為ξ0=0.50，繪制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線如圖6所示。

由圖6可知，隨著激波振蕩幅值的增大，系統(tǒng)共振峰值不斷增大，并且發(fā)生上升跳躍和下降跳躍的頻率均隨著激波振蕩幅值的增大而增大。當(dāng)激波振蕩幅值較小時(shí)，即A=0.005, 系統(tǒng)不存在振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；當(dāng)激波振蕩幅值增大時(shí)，即A=0.01時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[11.1,13.0]；當(dāng)A=0.03時(shí)，升頻跳躍點(diǎn)和降頻跳躍點(diǎn)都像右移，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間變寬，此時(shí)共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[13.4,16.1]；當(dāng)激波振蕩幅值進(jìn)一步增大時(shí)，即A=0.050、0.10，從圖6還可知，隨著激波振蕩幅值的增大，升跳躍點(diǎn)和降頻跳躍點(diǎn)不斷右移，但雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間不斷減小直至消失。當(dāng)A=0.050時(shí)，共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[16.0,16.9]；當(dāng)A=0.100時(shí)，振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象消失。而當(dāng)繼續(xù)增大激波振動(dòng)幅值，即A=0.200時(shí)，從圖中可以看出，系統(tǒng)出現(xiàn)顯著的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并且雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間寬度將急劇變寬，此時(shí)共振峰處的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率為ω∈[20.1,29.4]。

圖6 不同激波振蕩幅值下受熱壁板的幅頻響應(yīng)曲線

3.3 溫度對(duì)振蕩激波作用下受熱壁板主共振特性的影響

分別取無(wú)量綱溫升為ΔT/ΔTcr=0、0.1、0.5、1.0，來(lái)流馬赫數(shù)為Ma=3.5，激波角為σ=18°，中心位置為ξ0=0.500，激波振蕩幅值為A=0.010，繪制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線如圖7所示。

從圖7可知，隨著溫升的不斷增大，系統(tǒng)共振峰值不斷增大。當(dāng)不考慮溫升時(shí)，即ΔT/ΔTcr=0，系統(tǒng)不存在振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；當(dāng)考慮溫升時(shí)，即ΔT/ΔTcr=0.1、0.5、1.0時(shí)，系統(tǒng)存在明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；從圖7還可知，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間的寬度隨著溫升的增大幾乎不改變，發(fā)生上升跳躍和下降跳躍的頻率隨著溫度的不斷增大而減小，系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間位置不斷向左移，即系統(tǒng)主共振區(qū)對(duì)應(yīng)的頻率逐漸減小，這說(shuō)明了提高溫度對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生“剛度弱化效應(yīng)”。

(a)

3.4 激波振蕩的中心位置對(duì)受熱壁板主共振特性的影響

分別取激波振蕩的無(wú)量綱中心位置為ξ0=0.100、0.300、0.45、0.500、0.700、0.900，來(lái)流馬赫數(shù)為Ma=3.5，激波角為σ=18°，溫升為ΔT/ΔTcr=0.1，激波振蕩幅值為A=0.010，繪制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線如圖8所示。

圖8 不同中心位置下受熱壁板的幅頻響應(yīng)曲線

從圖8可知，激波振蕩的中心位置對(duì)系統(tǒng)共振峰值有很大的影響，當(dāng)激波圍繞壁板中點(diǎn)振蕩時(shí)，即ξ0=0.50時(shí)，系統(tǒng)共振峰值最大。隨著中心位置向兩端移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)共振峰值不斷減小。相反地，隨著中心位置向兩端移動(dòng)時(shí)，主共振頻率不斷增大。當(dāng)激波圍繞壁板中點(diǎn)振蕩時(shí)，即ξ0=0.50時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；而當(dāng)中心位置移動(dòng)到ξ0=0.45時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間的寬度急劇變窄；當(dāng)中心位置移動(dòng)到ξ0=0.1、0.9、0.3、0.7時(shí)，振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象消失。由此可見(jiàn)，將激波振蕩中心位置往兩端移動(dòng)時(shí)可有效地抑制振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

3.5 來(lái)流馬赫數(shù)對(duì)受熱壁板主共振特性的影響

分別取來(lái)流馬赫數(shù)為Ma=3.0、3.5、3.8、4.0、4.5，來(lái)流動(dòng)壓為λu,l=30，激波角為σ=20°，溫升為ΔT/ΔTcr=0.1，中心位置為ξ0=0.500，激波振蕩幅值為A=0.01，繪制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線如圖9所示。

由圖9可知，隨著來(lái)流馬赫數(shù)不斷增大，系統(tǒng)共振峰幅值不斷增大，主共振幅頻響應(yīng)曲線不斷整體右移，主共振頻率不斷增大。從圖9可知，來(lái)流馬赫數(shù)對(duì)受熱壁板主共振特性的影響與振蕩激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值對(duì)受熱壁板主共振特性的影響類似。當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)較小時(shí)，Ma=3.0，系統(tǒng)不存在振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；當(dāng)馬赫數(shù)增大，即Ma=3.5，系統(tǒng)存在明顯的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)增大，升頻跳躍點(diǎn)較之前右移，而降頻跳躍點(diǎn)大幅右移，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間寬度不斷變窄直至消失；而來(lái)流馬赫數(shù)較大時(shí)，即Ma=4.5，系統(tǒng)出現(xiàn)顯著的振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，不僅共振峰值和主共振頻率顯著提高，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間寬度大幅變寬。

圖9 不同來(lái)流馬赫數(shù)下受熱壁板的幅頻響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文基于Von-Karman 大變形理論和當(dāng)?shù)匾浑A活塞流理論, 建立了振蕩激波作用下受熱壁板振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)4階龍格-庫(kù)塔法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解，得到了振蕩激波作用下受熱壁板的幅頻特性響應(yīng)曲線，并詳細(xì)討論了振蕩激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值、溫度、激波振蕩的中心位置、來(lái)流馬赫數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)特性的影響。主要結(jié)論如下：

(1)受熱壁板在振蕩激波作用下存在振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象等典型的非線性動(dòng)力學(xué)行為，并且系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性曲線在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)表現(xiàn)出明顯的“硬特性”。

(2)隨著振蕩激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值和來(lái)流馬赫數(shù)增大，系統(tǒng)共振峰值不斷單調(diào)增大，而雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間由不存在到逐漸變大，再變小直至消失，然后再急劇變大。

(3)溫度增大會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生“剛度弱化效應(yīng)”，使主共振幅頻響應(yīng)曲線整體左移，但對(duì)系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)間影響較小。隨著溫度的增大，系統(tǒng)共振峰值不斷增大。

(4)當(dāng)激波圍繞壁板中點(diǎn)振蕩時(shí)，系統(tǒng)共振峰值最大。隨著中心位置向兩端移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)共振峰值不斷減小，而主共振頻率不斷增大。將激波振蕩中心位置往兩端移動(dòng)時(shí)可有效地抑制振動(dòng)突跳和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。本文主要是從數(shù)值的角度研究了振蕩激波作用下受熱壁板的主共振特性，在我們下一步的研究工作中，將從試驗(yàn)的角度研究受熱壁板在振蕩激波流場(chǎng)中的主共振特性。