考慮彈性地基的正交雙曲蜂窩夾層殼體自由振動(dòng)分析

倪 臻，李旦望，夏 燁，周 凱，華宏星

(1.中國(guó)航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，上海 200241；2.上海交通大學(xué) 振動(dòng)沖擊噪聲研究所，上海 200240；3.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；4.上海交通大學(xué) 高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

蜂窩夾層殼由上下面板和蜂窩芯層組成，具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高的特點(diǎn)，并有良好的隔音、減振特性，近年來(lái)越來(lái)越廣泛地被運(yùn)用于航空航天、車輛、船舶等領(lǐng)域。然而，蜂窩夾層殼體往往會(huì)受到復(fù)雜的環(huán)境激勵(lì)，進(jìn)而產(chǎn)生振動(dòng)，并最終疲勞破壞。因此，有必要建立可靠的動(dòng)力學(xué)模型以研究蜂窩夾層殼體在外激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)。

楊穩(wěn)等[1]指出，由于蜂窩夾層材料具有離散非均勻的特性，直接對(duì)其進(jìn)行建模分析需要消耗巨大的時(shí)間和計(jì)算成本。為此，大量學(xué)者對(duì)蜂窩芯層的等效方法進(jìn)行了研究，將其作為各向異性材料進(jìn)行建模[2-6]?；诜涓C芯層等效方法，Eipakchi等[7]利用經(jīng)典板殼理論建立了具有負(fù)泊松比的圓柱殼模型，并計(jì)算了其在壓力載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Duc等[8]基于一階剪切變形理論，獲得了具有負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的圓柱殼體動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。王盛春等[9]基于Reissner-Mindlin理論，得到了考慮剪切變形的四邊簡(jiǎn)支矩形蜂窩夾層板彎曲振動(dòng)固有頻率的精確解。Zhang等[10]利用一階剪切變形理論，研究了懸臂三明治蜂窩夾層板的自由振動(dòng)及非線性響應(yīng)特性。Li等[11]基于三階剪切變形理論計(jì)算了蜂窩夾層板的彎曲振動(dòng)特性。Yu等[12]采用經(jīng)典板理論、一階剪切變形理論和三階剪切變形理論建立了蜂窩夾層板的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)采用3種不同模型得到的固有頻率進(jìn)行了比較。他們指出，經(jīng)典板理論與一階剪切變形理論在計(jì)算蜂窩夾層板的振動(dòng)特性時(shí)具有較大的計(jì)算誤差。Liu等[13]對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行了分析，認(rèn)為采用低階剪切變形理論會(huì)高估夾層殼體上下面板的剪切應(yīng)力，并提出了針對(duì)一階剪切變形理論的改進(jìn)辦法。Sun等[14]利用有限元法計(jì)算三明治蜂窩夾層板在沖擊載荷下的響應(yīng)，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果。王威遠(yuǎn)等[15]對(duì)錐形復(fù)合材料蜂窩殼的振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

值得一提的是，盡管關(guān)于蜂窩夾層板殼的研究較多，但大多集中在蜂窩夾層平板或圓柱殼、圓錐殼等簡(jiǎn)單形狀殼體的動(dòng)力學(xué)建模和分析上，且并未考慮彈性支承約束。因此，亟需對(duì)具有彈性支撐約束的復(fù)雜形狀蜂窩夾層殼體的動(dòng)力學(xué)特性開(kāi)展研究。為能考慮中厚蜂窩殼體的振動(dòng)響應(yīng)特性，本文將基于一階剪切變形理論和修正的Gibson公式建立考慮彈性地基的雙曲蜂窩夾層殼體控制方程，并對(duì)其自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

1 理論模型

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)關(guān)系

雙曲蜂窩夾層殼體的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。圖1中：hc為峰窩芯層厚度；h為殼體總厚度。蜂窩夾層殼體是由上下面板及蜂窩芯層組成的空間三維結(jié)構(gòu)。殼上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)可由其中面幾何形狀及對(duì)應(yīng)的厚度表示。對(duì)正交雙曲殼體，其中面可用參數(shù)方程r=r(ξ1,ξ2)表示，其中:r為殼體中面的參數(shù)方程；ξ1和ξ2為曲面的正交廣義坐標(biāo)，其取值范圍為ξ10≤ξ1≤ξ1L，ξ20≤ξ2≤ξ2L。在給定了殼體中面幾何后，殼體上任意一點(diǎn)的空間位置即可由正交參數(shù)坐標(biāo)(ξ1,ξ2,ζ3)進(jìn)行表示。其中，ζ3為殼上一點(diǎn)到殼體中面的有向距離，其正向?yàn)閞(ξ1,ξ2)定義的殼體曲面法線方向。

圖1 雙曲蜂窩夾層殼體

為了考慮殼體剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，可以采用一階剪切變形理論給出殼體在曲面坐標(biāo)下的位移場(chǎng)表達(dá)式

(1)

式中:u1,u2,u3分別為殼體上任意一點(diǎn)沿ξ1，ξ2，ζ3方向的位移；t為時(shí)間；u0，v0和w0為殼體中面上一點(diǎn)的位移；φ1和φ2為剪切轉(zhuǎn)角。

殼體的線性應(yīng)變位移關(guān)系可以通過(guò)三維小變形理論得到[16]

(2)

蜂窩芯層及面板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由文獻(xiàn)[17]給出

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

蜂窩芯層一般為由各向同性材料制備而成的六邊形周期結(jié)構(gòu)，其中的單個(gè)胞元如圖2所示。圖2中:蜂窩胞元的壁厚為tc；壁長(zhǎng)分別為l1c和l2c;蜂窩胞元壁的斜邊角度為θc。此類蜂窩結(jié)構(gòu)可等效為正交各向異性材料，其等效參數(shù)由改進(jìn)的Gibson公式給出

圖2 蜂窩胞元

(7)

式中：Ec,Gc和ρc分別為蜂窩芯層所用材料的彈性模量、剪切模量和密度；ρ(2)為蜂窩芯層等效密度；η1=l2c/l1c，η2=tc/l1c。

1.2 蜂窩夾層殼體能量方程

蜂窩夾層殼體的動(dòng)能表達(dá)式為

(8)

a1a2dξ1dξ2

(9)

式中：δ為變分符號(hào)；a1和a2分別為ξ1和ξ2方向的拉梅系數(shù)；Ii為考慮了曲率之后的第i階慣性矩(i=1,2,3)

(10)

殼體的應(yīng)變能表達(dá)式為

(11)

式中，σij和εij分別為殼體應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)。將式(2)和式(3)代入式(11)并取變分，可以得到

(12)

考慮殼體邊界及彈性地基所做虛功，其表達(dá)式為沿邊界方向的線積分

(13)

式中：k1，k2和k3為沿u，v和w方向的平動(dòng)剛度；k4和k5為沿φ1和φ2方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。彈性地基所做虛功[18]為

(14)

式中，ke為彈性地基剛度。

系統(tǒng)的總虛功為邊界條件和彈性地基所做的虛功的疊加，即有

δV=δVBC+δVe

(15)

1.3 基于改進(jìn)傅里葉法的殼體振動(dòng)求解

對(duì)任意邊界條件下的殼體，可以采用改進(jìn)傅里葉法[19]進(jìn)行求解。將殼體位移場(chǎng)利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)

(16)

式中：Umn(t)，Vmn(t)，Wmn(t)，Φ1mn(t)和Φ2mn(t)均為殼體位移的廣義坐標(biāo)；U0(t),V0(t)，W0(t),Φ1(t)和Φ2(t)分別為其對(duì)應(yīng)的向量形式；φm(ξ1)和ψn(ξ2)分別為對(duì)應(yīng)ξ1和ξ2的傅里葉基函數(shù);Ψ(ξ1,ξ2)為傅里葉基函數(shù)對(duì)應(yīng)的向量形式；M和N分別為對(duì)應(yīng)基函數(shù)的階次。φn和ψn的表達(dá)式分別為

(17)

(18)

將式(16)代入哈密頓原理表達(dá)式

(19)

即可得到如下矩陣方程

(20)

(21)

2 數(shù)值分析及討論

2.1 收斂性分析及方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證給出方法的可靠性，首先建立一含蜂窩芯層的殼體模型。殼體的曲面參數(shù)方程為

r=[ξ1,f(ξ1)sinξ2,f(ξ1)cosξ2]

(22)

首先對(duì)模型的收斂性進(jìn)行驗(yàn)證。分別采用本文給出的方法和商用有限元軟件ABAQUS建立蜂窩夾層殼體模型。在采用有限元法進(jìn)行建模時(shí)，采用的單元類型為二階減縮積分四邊形殼體單元S8R，建立的網(wǎng)格總數(shù)為2 120，如圖3所示。當(dāng)選取不同階次基函數(shù)時(shí)，四邊簡(jiǎn)支的蜂窩殼固有頻率及其與有限元結(jié)果的比較，如表1所示。從表1可知，采用本文給出的方法計(jì)算得到的系統(tǒng)固有頻率與有限元法計(jì)算得到的結(jié)果吻合良好。采用兩種方法計(jì)算得到的系統(tǒng)振型，如表2所示。從表2可知，本文給出的方法亦能夠準(zhǔn)確計(jì)算蜂窩殼的振型。表1還給出了采用不同方法所消耗的計(jì)算時(shí)間。從結(jié)果可知，由于推導(dǎo)得到了殼體的半解析解，此方法具有很高的計(jì)算效率。

圖3 殼體有限元模型

表1 不同階次基函數(shù)系統(tǒng)的固有頻率

表2 殼體振型對(duì)比

接下來(lái)考慮彈性地基對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。殼體在不同地基剛度下的前4階固有頻率，如圖4所示。從圖4可知，當(dāng)?shù)鼗鶆偠戎敌∮?×106Pa/m時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率隨地基彈性的變化并不明顯。而當(dāng)?shù)鼗鶆偠戎荡笥?×109Pa/m時(shí)，其固有頻率也趨于定值。當(dāng)?shù)鼗鶆偠戎翟?06～109Pa/m時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率隨地基彈性地增大而迅速增大。這是由于彈性地基的引入約束了殼體沿中面法向的運(yùn)動(dòng)，從而提高了系統(tǒng)的剛性，因此在考慮了彈性地基后，殼體的固有頻率有了顯著地提高。當(dāng)?shù)鼗鶑椥赃_(dá)到1×109Pa/m時(shí)，地基可以認(rèn)為是剛性的，因此此時(shí)繼續(xù)增大地基剛度不會(huì)影響系統(tǒng)的固有頻率。而當(dāng)?shù)鼗鶑椥孕∮?×106Pa/m時(shí)，由于其剛度值較小，地基并不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生顯著影響。因此，此時(shí)系統(tǒng)的固有頻率隨地基彈性的變化并不明顯。

圖4 固有頻率隨彈性地基剛度的變化

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 芯層厚度比

改變蜂窩夾層殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)，討論芯層厚度比對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。保持殼體的總厚度h=20 mm為定值，改變蜂窩夾層殼的厚度比η=hc/h。當(dāng)?shù)鼗鶆偠确謩e為0，2×108Pa/m和2×109Pa/m時(shí)，系統(tǒng)的前4階固有頻率隨厚度比的變化關(guān)系，如圖5所示。從圖5可知:當(dāng)ke=0時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率隨η地增大而減小;且隨著η的增大，系統(tǒng)固有頻率的下降速度也逐漸增大;當(dāng)ke=2×108Pa/m時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率首先隨厚度比的增大而升高;但隨著厚度比繼續(xù)增大，系統(tǒng)固有頻率開(kāi)始迅速下降;類似的，當(dāng)ke=2×109Pa/m時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率隨厚度比地增大而先增大后減小。

(a)ke=0

事實(shí)上，系統(tǒng)的固有頻率取決于模態(tài)坐標(biāo)下系統(tǒng)各階剛度與質(zhì)量的比值。系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量越大，則對(duì)應(yīng)模態(tài)的固有頻率越低；系統(tǒng)的模態(tài)剛度越大，則對(duì)應(yīng)模態(tài)的固有頻率越高。在本算例中，增大蜂窩厚度比會(huì)同時(shí)減小系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量。因此，系統(tǒng)固有頻率的變化情況取決于模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度隨蜂窩厚度比的相對(duì)變化情況。對(duì)于蜂窩夾層殼體，由于其芯層較軟，因此其剛度主要由上下面板提供。當(dāng)芯層厚度比較小時(shí)，系統(tǒng)固有頻率隨厚度比的變化方向取決于地基剛度的大小。然而，隨著芯層厚度比地增大，其上下面板的厚度逐漸減小，面板對(duì)系統(tǒng)總體剛度的貢獻(xiàn)急劇下降，使得殼體總體剛度迅速減小。此時(shí)，無(wú)論地基剛度取為何值，系統(tǒng)固有頻率均會(huì)迅速降低。

2.2.2 蜂窩胞壁參數(shù)

六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)重要的無(wú)量綱參數(shù)η1，η2，分別為六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的邊長(zhǎng)比和蜂窩壁厚比。為了分析其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，系統(tǒng)的前4階固有頻率隨η1和η2的變化關(guān)系，如圖6所示。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，彈性地基剛度取為ke=2×108Pa/m。從圖6可知，改變?chǔ)?對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響并不顯著。當(dāng)η2較小時(shí)，增大η1會(huì)使得系統(tǒng)的固有頻率略有上升；而當(dāng)η2較大時(shí)，增大η1則可能會(huì)降低系統(tǒng)的固有頻率。但是，系統(tǒng)的固有頻率會(huì)隨η2地增大而顯著降低。這表明，增大蜂窩壁厚會(huì)顯著增大殼體的總質(zhì)量，但是對(duì)系統(tǒng)剛度的影響并不明顯。因此，增大蜂窩壁厚會(huì)降低系統(tǒng)的固有頻率。

(a)第1階

2.2.3 胞元角度及鋪層方向

(a)第1階

圖8 固有頻率隨θc的變化關(guān)系

3 結(jié) 論

針對(duì)具有彈性地基的復(fù)雜形狀蜂窩夾層殼體，通過(guò)一階剪切變形理論和改進(jìn)的Gibson公式建立了系統(tǒng)的能量泛函，并利用哈密頓原理給出了其控制方程。利用改進(jìn)傅里葉法對(duì)控制方程進(jìn)行求解，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證此方法的快速性和可靠性。隨后，基于給出的模型，通過(guò)變參數(shù)計(jì)算揭示了蜂窩芯層各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)芯層厚度較小時(shí)，系統(tǒng)固有頻率隨芯層厚度比的變化關(guān)系取決于彈性地基剛度值的大小;當(dāng)芯層厚度較大時(shí)，系統(tǒng)固有頻率隨芯層厚度比地增大而迅速降低。

(2)蜂窩胞元邊長(zhǎng)比對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響并不明顯，但是增大蜂窩壁厚會(huì)使得系統(tǒng)的固有頻率顯著降低。

(3)系統(tǒng)固有頻率隨胞元角度地增大而先升高后降低，且當(dāng)胞元角度較大且鋪層方向處于20°～60°時(shí)，其固有頻率對(duì)胞元角度的變化具有極高的敏感性。

附錄A

(A.1)

式中，T為位移-應(yīng)變變換矩陣，將其展開(kāi)有

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

附錄B

考慮殼體曲率的剛度系數(shù)矩陣RK為

(B.1)

其中

(B.2)

(B.3)

(B.4)

Κs為剪切修正因子，其表達(dá)式由文獻(xiàn)[20]給出。

附錄C

系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣M可以寫(xiě)為

(C.1)

其中

(C.2)

系統(tǒng)的廣義剛度矩陣K可以寫(xiě)為

(C.3)

其中

(C.4)