等腰三角形存在性問題“兩定一動”模型的解題策略

曾靚

【摘要】等腰三角形存在性問題綜合性強，在近幾年數(shù)學(xué)中考中經(jīng)常出現(xiàn)。本文通過對等腰三角形存在性問題的其中一類“兩定一動”問題，進(jìn)行模型提取、模型分析和模型應(yīng)用，展示解決此類問題的一般過程，概括了解決此類問題的一般方法。對于學(xué)生來說如何分類與計算是難點，本文總結(jié)了兩圓一線的方法幫助學(xué)生分類，歸納了代幾綜合的方法幫助學(xué)生求解;代數(shù)法通俗易懂，幾何法簡潔靈活。本文還提煉出兩圓一線定個數(shù)、兩腰相等列方程、兩角相等尋代換、巧作垂線找相似四個小技巧幫助學(xué)生突破求解的難點。法無定法，但有通法;有規(guī)可循，但要應(yīng)變。能夠跳脫于題海之外，于無形的千變?nèi)f化的試題中，提煉出最核心的思想方法，是本文努力的方向。

【關(guān)鍵詞】等腰三角形;兩定一動;兩圓一線;模型;代數(shù)法;幾何法

等腰三角形是初中階段常見的一種基本幾何圖形。其中，等腰三角形存在性問題綜合性強，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，在近幾年的全國中考試卷中常常以壓軸題形式出現(xiàn)。下面通過對等腰三角形存在性問題中的其中一類，進(jìn)行模型提取、分析和應(yīng)用，嘗試提煉出解決此類問題的一般方法，以供大家參考。

一、模型提取

已知兩定點A、B，在某條已知的直線上求另一動點C與這兩個定點A、B構(gòu)成等腰△ABC，本文稱這類問題為“兩定一動”模型。

以A、B、C為頂點的等腰三角形分為三類：①以A為頂角頂點，此時AB=AC;②以B為頂角頂點，此時BA=BC;③以C為頂角頂點，此時CA=CB。

二、模型分析

“兩定一動”模型，主要的解決方法有兩種：

1.代數(shù)法

這個方法一般需要以平面直角坐標(biāo)系為背景，利用兩腰相等通過分類討論分別建立方程進(jìn)行求解。已知A（x1， y1），B（x2， y2），設(shè)動點C（x， y），若點C在某條已知直線y=kx+b（k≠0）上運動，則由兩點之間的距離公式可知：

2.幾何法

首先借助尺規(guī)作圖直觀地判斷動點C存在的個數(shù)與大致的位置。

三、模型應(yīng)用

1.動點在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的已知直線上

四、模型總結(jié)

綜合以上案例，等腰三角形存在性問題離不開數(shù)學(xué)思想方法，一一分類討論思想的滲透。在分類思想方法指導(dǎo)下，具體到計算方法時，往往是幾何法與代數(shù)法的綜合使用。幾何法簡潔靈活，方法多樣;代數(shù)法通俗易懂，操作起來非常方便，但它需要我們有比較穩(wěn)定的運算和檢驗?zāi)芰?。不過無論從“代數(shù)”的角度還是從“幾何”的角度分析，最終都需轉(zhuǎn)化為列方程求解的問題。具體來說，我們可以從以下幾點進(jìn)行突破：

1.兩圓一線定個數(shù)

借助尺規(guī)作圖，通過兩圓一線來幫助我們進(jìn)行分類討論，讓我們更快速地確定滿足條件的動點的個數(shù)和大致位置。

2.兩腰相等列方程

借助兩腰相等的性質(zhì)，用代數(shù)式表示出它們的長度，從而建立方程。勾股定理是我們表示線段長度的常用方法。

3.兩角相等尋代換

借助兩角相等的性質(zhì)，一方面可以轉(zhuǎn)化為兩腰相等，從而直接建立方程模型，另一方面，我們可以尋找其它的等角來進(jìn)行等量代換，從而尋找出新的關(guān)于邊角的等量關(guān)系，將目標(biāo)三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

4.巧作垂線找相似

我們可以作等腰三角形底邊上的高線、腰上的高線，或者坐標(biāo)軸上的垂線，然后利用三線合一、等面積法、相似、勾股定理、三角函數(shù)等建立方程求解。等腰三角形存在性問題，涉及知識點多，綜合性強，難度較大。不過法無定法，但有通法;有規(guī)可循，但要應(yīng)變。能夠跳脫于題海之外，于無形的千變?nèi)f化的試題中，提煉出最核心的思想方法，是我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所要追求的境界。

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責(zé)任編輯 ?楊 ?杰