分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用

黃學(xué)財

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的促進(jìn)和指導(dǎo)作用，它不僅是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，還是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識，形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。很多學(xué)生不太重視數(shù)學(xué)思想方法，只是一味做題，不會總結(jié)，很難達(dá)到“懂一題、曉一類、通一片”，因此要有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識，并在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不斷挖掘和滲透。

關(guān)鍵詞：等腰三角形；分類討論；坐標(biāo)系；周長

考查等腰三角形的題目時，學(xué)生很容易漏解，主要是學(xué)生沒有認(rèn)真分析題意，或者是沒有考慮周全，解題經(jīng)驗還不夠豐富。我們在平時的教學(xué)中要多提醒學(xué)生，即考查等腰三角形的題目，一般都會指明哪兩條邊相等，如果不指明就要分類討論，分類討論在等腰三角形中的運(yùn)用非常廣泛，如等腰三角形沒有指明腰，或者指明了腰，但沒有給圖，就要分頂角為銳角或鈍角，下面我們通過例題來展現(xiàn)分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用。

一、等腰三角形涉及邊的問題時，可以按照“腰”和“底邊”來分類討論，但要利用三角形三邊關(guān)系來判斷三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有兩邊長為4cm和7cm，則周長為

厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周長為24cm，一邊長為6cm，則其余兩邊長為 厘米。（9cm和9cm）

練習(xí)1：等腰三角形有兩邊長為3cm和7cm，則周長為

厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的內(nèi)角求解問題，可以按照三角形類型分類討論

此時學(xué)生最容易犯的錯誤是畫一個頂角是銳角的等腰三角形，導(dǎo)致漏解，這一點也提醒我們老師在教學(xué)中應(yīng)多畫頂角是鈍角的三角形，才不會形成思維定式。

例2.△ABC中，AB=AC，CD為AB上的高，且△ADC為等腰三角形，則∠BCD等于 .（22.5°或67.5°）

練習(xí)2：等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角的度數(shù)是 .（30°或150°）

三、在等腰三角形內(nèi)角求解的問題中，可以按“頂角”“底角”來分類討論

例3.已知一個等腰三角形的兩內(nèi)角度數(shù)之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 （20°或120°）

練習(xí)3：等腰三角形的一個外角等于100°，則這個等腰三角形的頂角為 .（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中線的問題，也需要分類討論

例4.已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個等腰三角形底邊的長。（1）

練習(xí)4： 已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成9和12兩部分，求這個等腰三角形底邊和腰的長。（當(dāng)腰長是6cm時，底邊長是9cm；當(dāng)腰長是8cm時，底邊長是5cm）

五、在方格紙或平面直角坐標(biāo)系中，給出等腰三角形其中一線段或兩個頂點的坐標(biāo)，未指明是腰還是底邊，求等腰三角形第三個頂點的個數(shù)或坐標(biāo)

例5.用3×3的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，并且A、B在最中間小正方形的相對格點上，如果點C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)為 .（答案：8）

練習(xí)5：在平面直角坐標(biāo)系中，點A在第一象限，A（2， 1），點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有 個。（答案：4）

本題還可發(fā)散為點P在坐標(biāo)軸上，則符合條件的點P有幾個？

例6.已知A（2，0），B（0，2），試在x軸上確定點M，使△MAB為等腰三角形，寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)。（0，0），（-2，0），（2+2，0），（2-2，0）

六、等腰三角形與四邊形的結(jié)合問題，求相關(guān)線段的長度

例7.在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運(yùn)動，連結(jié)DP交AC于點Q.若點P從點A運(yùn)動到點B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點C，在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形.

（分析：若△ADQ是等腰三角形，則有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①當(dāng)點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；

②當(dāng)點P運(yùn)動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA，此時△ADQ是等腰三角形；

③設(shè)點P在BC邊上運(yùn)動時，有AD=AQ，可算出當(dāng)CP=4-4時，△ADQ是等腰三角形.）

總之，學(xué)習(xí)等腰三角形，必須熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，看到等腰三角形題目要能聯(lián)想到它的性質(zhì)，如，等邊對等角、三線合一，還有等腰三角形容易出現(xiàn)分類討論，要讓學(xué)生養(yǎng)成分類討論等數(shù)學(xué)思想在等腰三角形中的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]常汝吉.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]林群.教師教學(xué)用書[M].華東師范大學(xué)出版社，2013.