農(nóng)業(yè)機(jī)械中勢能法求解漸開線直齒圓柱齒輪嚙合剛度研究

潘彥江

（定西中醫(yī)藥科技中等專業(yè)學(xué)校，甘肅 定西 748100）

0 引言

農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)中應(yīng)用勢能法求解漸開線直齒輪嚙合剛度，能提高農(nóng)機(jī)產(chǎn)品中的科技含量，降低生產(chǎn)成本，提高生產(chǎn)效率，是推進(jìn)農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)更加規(guī)范、科學(xué)智能的有效措施。因此，如何在農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)中合理應(yīng)用勢能法求解漸開線直齒輪嚙合剛度，是大部分研究人員關(guān)注的問題，以有效提高農(nóng)業(yè)機(jī)械生產(chǎn)力[1]。

齒輪傳動作為機(jī)械傳動的關(guān)鍵構(gòu)成部分，在傳送運(yùn)動和力的過程中起著重要作用。因齒輪傳動具有傳動效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)行安全可靠、使用周期長、傳動比穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)機(jī)械的生產(chǎn)加工中。齒輪傳動系統(tǒng)是農(nóng)業(yè)機(jī)器的主要構(gòu)成部分，齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)劣決定著機(jī)器是否可正常運(yùn)行以及運(yùn)轉(zhuǎn)成本的高低，隨著科技的不斷發(fā)展，設(shè)計(jì)者對齒輪進(jìn)行靜態(tài)分析的同時(shí)不斷延伸到動態(tài)力學(xué)研究，使齒輪傳動系統(tǒng)具有更高的承載能力、傳動性能穩(wěn)定、抗沖擊能力強(qiáng)，因此，在原有對齒輪失效形式分析、剛度及疲勞強(qiáng)度計(jì)算與校驗(yàn)的基礎(chǔ)上，有必要進(jìn)行齒輪嚙合剛度計(jì)算[2-3]。

由于齒輪在嚙合傳動時(shí)處于單雙齒交替進(jìn)行，使得嚙合剛度也會隨之產(chǎn)生變化，而這種變化是有規(guī)律的，可以視為周期性變化。這種剛度的周期性變化也是齒輪產(chǎn)生振動與噪聲的主要原因，為了減少對其的影響，有必要對其嚙合過程中的剛度進(jìn)行計(jì)算，以減少齒輪嚙合剛度的平均值，從而盡可能避免此現(xiàn)象的產(chǎn)生。

直齒圓柱齒輪作為齒輪的重要形式，由于具有傳動平穩(wěn)、較低的沖擊和噪聲、重合度大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于高速和大功率的齒輪傳動中，并起到傳遞運(yùn)動和動力的作用。其缺點(diǎn)是在其傳動的過程中齒面間會產(chǎn)生軸向推力，使得齒輪傳動不穩(wěn)定，產(chǎn)生振動，因此有必要對其進(jìn)行剛度嚙合計(jì)算。

在齒輪嚙合傳動時(shí)，其時(shí)變嚙合剛度作為齒輪動力學(xué)模型關(guān)鍵參數(shù)的一部分，也是一種重要的動態(tài)激勵(lì)來源，因此，如何準(zhǔn)確計(jì)算齒輪嚙合剛度非常重要。而直齒圓柱齒輪一般采用勢能法對其嚙合剛度進(jìn)行研究，其優(yōu)點(diǎn)在于能夠?qū)X輪簡化視作懸臂梁模型來進(jìn)行準(zhǔn)確分析，可以計(jì)算出在嚙合過程中剛度的變化，又可以考慮其受力及其環(huán)境等因素的變化影響，相比于其他的分析方法有很大優(yōu)勢。

1 研究現(xiàn)狀

現(xiàn)階段，農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)中漸開線直齒圓柱齒輪嚙合剛度研究，基本還在沿用傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念，在設(shè)計(jì)手段和方法上無法與農(nóng)業(yè)機(jī)械現(xiàn)有作業(yè)環(huán)境相匹配，并且形成的完整理論體系較少，大多都是定性理論，設(shè)計(jì)計(jì)算通常需要使用類比法。農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品呈現(xiàn)出特殊性主要是由于設(shè)計(jì)方式老套、設(shè)計(jì)時(shí)間長、生產(chǎn)成本高。在農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，需要注意機(jī)械齒輪嚙合的應(yīng)力與變形，使其對產(chǎn)品的強(qiáng)度與剛度進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)提供相關(guān)可靠數(shù)據(jù)。

雖然國內(nèi)外學(xué)者以齒輪嚙合為主題的研究文獻(xiàn)較多，但是大多數(shù)關(guān)注點(diǎn)集中在齒輪嚙合結(jié)構(gòu)、原理、過程等分析方面，對其嚙合剛度的計(jì)算比較少。近年來，大多數(shù)研究者以分析研究為主，對于齒輪嚙合剛度計(jì)算的研究的落腳點(diǎn)主要集中在直齒圓柱齒輪上，具有以下不足：1）研究方法不夠深入。對于直齒圓柱齒輪的研究方法主要運(yùn)用傳統(tǒng)的方法，未能將現(xiàn)有的直齒圓柱齒輪嚙合公式進(jìn)一步推導(dǎo)創(chuàng)新。2）研究方法復(fù)雜?，F(xiàn)有的方法進(jìn)行直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算需要進(jìn)行復(fù)雜的受力分析，計(jì)算量比較大，誤差大，需要花費(fèi)大量的時(shí)間。3）研究未能形成系統(tǒng)化。通過查閱資料可知，對于直齒圓柱齒輪的研究不夠系統(tǒng)化，可供查閱參考資料很少，而直齒圓柱齒輪的研究不夠系統(tǒng)集中，雖有少量的關(guān)于嚙合時(shí)剛度計(jì)算的研究，但對于不同參數(shù)變化對嚙合剛度影響的研究比較少。

國外專家對于齒輪嚙合剛度計(jì)算的研究可以劃分為簡單表達(dá)式推導(dǎo)、有限元分析法理論和簡化波方法推理。但通過勢能法來研究齒輪嚙合剛度計(jì)算的較少，而勢能法是以Fakher Cheari列出的解析法為基礎(chǔ)，YANG 等從能量變化角度而推導(dǎo)出的，經(jīng)常用于對齒輪發(fā)生故障時(shí)的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算。勢能法經(jīng)過Tian 的創(chuàng)新，可以快速計(jì)算出齒輪嚙合時(shí)的剛度，其結(jié)果與ITSO所提供的相一致[4]。

2 研究方法

2.1 文獻(xiàn)研究法

通過查找、收集和整理相關(guān)文獻(xiàn)，了解和掌握了齒輪動力學(xué)的理論基礎(chǔ)、研究進(jìn)展和研究現(xiàn)狀以及未來研究的方向，并結(jié)合國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，分析各種類型的齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，多角度、寬領(lǐng)域、系統(tǒng)性地探討齒輪嚙合的剛度計(jì)算。本研究共收集多篇參考文獻(xiàn)，文獻(xiàn)以論文為主，同時(shí)也涉及書籍、期刊，所收集的文獻(xiàn)主要涉及農(nóng)業(yè)機(jī)械中齒輪動力學(xué)基礎(chǔ)、嚙合原理、齒輪嚙合的剛度計(jì)算等內(nèi)容。

2.2 材料力學(xué)法

材料力學(xué)法作為固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，主要運(yùn)用于機(jī)械零部件的承載能力分析，其主要任務(wù)是將機(jī)械零部件轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)簡單的維桿件，從而有利于簡化研究分析，為機(jī)械零部件的設(shè)計(jì)制造提供理論數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。本研究中將直齒圓柱齒輪簡化為懸臂梁模型，進(jìn)行載荷受力分析，并利用現(xiàn)有的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算公式進(jìn)行創(chuàng)新改進(jìn)，運(yùn)用相應(yīng)的方法推導(dǎo)出適合于農(nóng)業(yè)機(jī)械生產(chǎn)過程的齒輪嚙合剛度計(jì)算公式，進(jìn)行分析處理。

3 直齒圓柱齒輪嚙合原理分析

3.1 直齒圓柱齒輪正確嚙合條件

為進(jìn)一步研究直齒圓柱齒輪嚙合過程以及剛度，筆者以果樹育苗機(jī)為例應(yīng)用勢能法計(jì)算出圓柱齒輪嚙合剛度。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)可知，齒輪齒廓嚙合的過程中，要使兩齒輪達(dá)到正確的嚙合，則其瞬時(shí)傳動比需為一常數(shù)，其節(jié)點(diǎn)P需定為一定點(diǎn)。

要使齒輪進(jìn)行傳動，則需使齒輪的每一個(gè)齒處于嚙合的狀態(tài)。一對或多對齒輪進(jìn)行嚙合傳動時(shí)，則需使處于嚙合線上的各個(gè)輪副都處于嚙合狀態(tài)，如圖1 所示。輪1 為主動輪，輪2 為從動輪，當(dāng)主動輪1的輪齒根漸開線與從動輪2 的輪齒頂漸開線在嚙合線上C1點(diǎn)進(jìn)行接觸時(shí)，表明此齒輪進(jìn)入嚙合狀態(tài)，而C1稱為初始嚙合點(diǎn)。同理，在齒輪進(jìn)行傳動過程中，當(dāng)主動輪1 的輪齒頂漸開線與從動輪2 的輪齒根漸開線在嚙合線上C2點(diǎn)進(jìn)行接觸時(shí)，表明此齒輪退出嚙合，C2點(diǎn)表示嚙合終止點(diǎn)。由此可知，是齒輪處于嚙合中實(shí)際經(jīng)過的軌跡，稱為實(shí)際嚙合線，則表示理論嚙合線。

圖1 直齒圓柱齒輪嚙合傳動

在齒輪傳動的過程中，要使一對齒輪進(jìn)行正確的嚙合，則需要使其傳動比固定，即兩齒輪的法向齒距相等。其正確嚙合的條件為：

式中，m1、m2為齒輪1、2 的模數(shù)，α1、α2為齒輪1、2 的壓力角。由式（2）可得齒輪嚙合的條件應(yīng)為：

3.2 直齒圓柱齒輪嚙合傳動特點(diǎn)

一對或者多對齒輪進(jìn)行嚙合傳動時(shí)，具有以下特點(diǎn)：1）瞬時(shí)傳動比保持恒定不變。如圖1 所示，當(dāng)齒輪處于嚙合傳動過程中，經(jīng)過任意嚙合點(diǎn)做兩齒廓的公法線，它一定與兩齒輪基圓相內(nèi)切，由于其內(nèi)切線只有一條且過齒輪嚙合傳動時(shí)節(jié)點(diǎn)P，因此，其瞬時(shí)傳動比保持不變[5]。2）齒輪嚙合線為一條直線。由圖1 可知，為嚙合線，它是由齒輪嚙合的軌跡所組成的，其作用力的方向始終沿著公法線的方向，齒面間作用力的大小也保持不變，這就可以使齒輪進(jìn)行平穩(wěn)的傳動。3）齒輪嚙合傳動重合度。當(dāng)齒輪處于嚙合傳動時(shí)，之前的齒輪在C1點(diǎn)退出嚙合的同時(shí)，之后的齒輪在C2點(diǎn)開始嚙合，這就使得實(shí)際嚙合線的長度大于等于法向齒距，因此，重合度也相應(yīng)≥1。

4 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算

4.1 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算模型建立

在齒輪副傳動系統(tǒng)中，因?yàn)辇X輪的嚙合是相互交替進(jìn)行，而造成齒輪傳動過程中產(chǎn)生的形變是處于周期性變化的，在此期間發(fā)生的扭轉(zhuǎn)和振動也是由于單雙齒嚙合交替所造成的。因此，有必要對齒輪嚙合的剛度變化進(jìn)行計(jì)算。

通過查找文獻(xiàn)可知，運(yùn)用勢能法計(jì)算齒輪嚙合剛度的過程中總勢能是由剪切勢能Us、彎曲勢能Ub、軸向壓縮勢能Ua、赫茲勢能Uh這四部分構(gòu)成，將齒輪簡化為懸臂梁模型，并運(yùn)用材料力學(xué)和彈性力學(xué)的知識可以演變出剪切剛度ks、彎曲剛度kb、壓縮剛度ka、赫茲剛度kh的表達(dá)式：

式中，F(xiàn)為齒輪傳動時(shí)位于嚙合點(diǎn)處的作用力[6]，其方向沿著的方向，且可將F沿軸向和徑向分解為軸向力Fa和切向力Fb，其表達(dá)式為：

式（5）～（8）中，E表示楊氏彈性模量，G是剪切模量，Ix表示嚙合點(diǎn)處距離基圓x處的輪齒之間的慣性矩，Ax表示該處的橫截面積，h表示嚙合點(diǎn)處到輪齒對稱中心線的長度，d表示的是嚙合點(diǎn)到齒輪齒根圓的長度，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)可知：

式中，v為泊松比，L是齒輪的面齒寬度，rb表示基圓半徑，α2是齒頂圓處所對應(yīng)的壓力角，其表達(dá)式為：

其中，z為齒輪的齒數(shù)。

由圖2中的幾何關(guān)系可知：

圖2 直齒圓柱齒輪受力圖

則dx可以表示為：

4.2 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算模型求解

聯(lián)立以上公式，經(jīng)過推導(dǎo)變形可以得出直齒圓柱齒輪相應(yīng)的剛度表達(dá)式：

根據(jù)以上公式則可求出一對齒輪在嚙合傳動中所儲存的總勢能為：

又有嚙合過程中各個(gè)勢能與剛度之間的相互關(guān)系式，其總勢能可表示為：

式中，1 與2 分別表示一對齒輪嚙合過程中的主動輪和從動輪[7]，由上式可知齒輪嚙合過程的總剛度k可變換為：

由上式可求得一對齒輪的嚙合剛度，但是結(jié)果與實(shí)際值偏大，由于齒輪在嚙合的過程中存在著由角撓度所引起的變形，則齒基剛度可表示為：

L*、P*、M*、Q*所代表的含義及具體計(jì)算公式見文獻(xiàn)[8]，uf、sf之間的關(guān)系如圖3 所示。

圖3 齒基剛度幾何參數(shù)圖

對于重合度的齒輪嚙合來說，在齒輪傳動的過程中，在一個(gè)傳動周期內(nèi)可能同時(shí)存在多對齒輪的嚙合，其嚙合的總剛度為：

上式，1 和2 分別表示齒輪嚙合時(shí)的主從動輪，而n反映的是在齒輪傳動時(shí)同時(shí)處于嚙合狀態(tài)的輪齒對數(shù)[9]。

5 結(jié)束語

綜上所述，筆者通過結(jié)合材料力學(xué)、彈性力學(xué)以及齒輪動力學(xué)的相關(guān)知識，運(yùn)用勢能法求解出了直齒輪的嚙合剛度，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究分析，進(jìn)行了一系列推導(dǎo)研究，以此確保農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量和效率，為其后續(xù)工作夯實(shí)基礎(chǔ)[10]。另外，在農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)中有效融合先進(jìn)設(shè)計(jì)理念，能夠從虛擬機(jī)分析、評估、檢測、改造等環(huán)節(jié)入手，對農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的使用性能進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，將農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品的研發(fā)時(shí)長縮短，并降低研發(fā)成本。