數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中有效滲透的思考與實(shí)踐

皇甫海峰

摘要：相對(duì)其他高中學(xué)科來說，數(shù)學(xué)這一學(xué)科的知識(shí)內(nèi)容更加抽象，使得許多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易感到困難，甚至一部分學(xué)生常常會(huì)因?yàn)榧?xì)節(jié)上的失誤而走入困境。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師有必要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方式，一方面降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解難度，另一方面鍛煉和提高學(xué)生的理解能力、解題能力等，致力于從各個(gè)方面克服數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難，促進(jìn)廣大高中生在數(shù)學(xué)方面全面提高、全面進(jìn)步。本文以數(shù)形結(jié)合思想的概念闡述開篇，講述了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的困境，也結(jié)合了實(shí)踐教學(xué)探討了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);本質(zhì)教學(xué);知識(shí)銜接

受傳統(tǒng)教育觀念的影響，許多高中教師常常會(huì)陷入同一種教學(xué)思路中，難免千篇一律。雖然這些教學(xué)思路不是錯(cuò)誤的，但在現(xiàn)代教育中一定存在局限性，這對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的長(zhǎng)效發(fā)展是不利的，同樣不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合水平提升。也就是說，高中數(shù)學(xué)教師不能局限在同一種思路里教學(xué)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合特定的數(shù)學(xué)知識(shí)巧用教學(xué)方法、結(jié)合學(xué)生的不同素質(zhì)巧用教學(xué)技巧。如在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師就可以融入數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握這樣的解題技巧，強(qiáng)化每一位學(xué)生舉一反三、學(xué)以致用的能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念闡述

數(shù)學(xué)概念由數(shù)字思維和圖形思維共同組成，而且“數(shù)”與“形”之間也可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想也就是利用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化關(guān)系解決實(shí)際問題，將未知量轉(zhuǎn)化為已知條件，為解決問題提供先決條件。對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來說，我們的任務(wù)就是熟練掌握這一解題技巧的運(yùn)用，同時(shí)圍繞其核心、要點(diǎn)講給學(xué)生聽，讓學(xué)生也能夠?qū)⑵淙跁?huì)貫通和應(yīng)用到解決問題中。解題教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師首先要做的是舉例論證，也就是找出一道題目的重點(diǎn)，將其中抽象、難懂的部分轉(zhuǎn)化為圖形展示給學(xué)生看，而后結(jié)合圖形列出方程、算式，便于學(xué)生理解這一抽象的過程，幫助學(xué)生找到解決問題的方法。

二、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的困境

（一）高中生的解題思維較為淺顯

現(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用還不夠成熟，以致學(xué)生面對(duì)難題時(shí)也只能就題論題，無法達(dá)到舉一反三、學(xué)以致用的教育效果。也就是說，教師的思維局限對(duì)學(xué)生的影響很大，許多高中生學(xué)習(xí)方式死板、學(xué)生思維固化也正是這一原因?qū)е碌摹．?dāng)然，其中也不排除學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)、學(xué)習(xí)態(tài)度不端正等等因素。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入不是一蹴而就的，這取決于師生雙方的動(dòng)力和努力共同作用。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)多運(yùn)用這一方法示例，而學(xué)生也要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，早日熟練掌握此類學(xué)習(xí)方法。

（二）高中生之間的思維具有差異

高中生之間存在巨大思維差異，每一位學(xué)生都有著獨(dú)特的思考方式，而他們運(yùn)用的解題方法也各不相同。這也正是一部分學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)的主要原因，也就是他們所應(yīng)用的解題方式完全走進(jìn)了誤區(qū)。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師有必要結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想開解學(xué)生，降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、題型的難度，讓學(xué)生找到解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的切入點(diǎn)去解題、去發(fā)現(xiàn)和探索。此外，數(shù)學(xué)教師還有必要結(jié)合不同學(xué)生的特點(diǎn)對(duì)癥下藥，采取分層教學(xué)、分層作業(yè)的方式輔導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)抱有更多耐心與細(xì)心。久而久之，高中生也能夠養(yǎng)成良好的做題態(tài)度、做題習(xí)慣，進(jìn)而能夠通過反復(fù)練習(xí)真正掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法。

（三）高中生缺乏對(duì)知識(shí)點(diǎn)的歸納總結(jié)

現(xiàn)代教育改革對(duì)高中數(shù)學(xué)提出了更高的要求，在運(yùn)用基本方法和基本技能的同時(shí)，如何快速地把做題時(shí)遇到的問題同其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系起來提出了更高的要求。這對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維提出了更高的要求，打通知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系樞紐至關(guān)重要。例如在求解三角函數(shù)周期問題時(shí)，如果我們?cè)诨貧w基本函數(shù)的同時(shí)，結(jié)合基本函數(shù)周期性的特點(diǎn)，畫出該函數(shù)的草圖對(duì)解決問題起到至關(guān)重要的作用，也能降低問題的復(fù)雜程度，從而提高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透策略

（一）抓住數(shù)形結(jié)合的核心思想進(jìn)行示范教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透可以通過示范教學(xué)實(shí)現(xiàn)，也就是教師需要從復(fù)雜的概念、定理、公式等中提煉出數(shù)學(xué)思想，通過示范讓學(xué)生理解其核心意義，讓學(xué)生利用核心意義解決數(shù)學(xué)題目。這是一個(gè)由教師引導(dǎo)產(chǎn)生的過程，還需要以教師為媒介構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)者之間的關(guān)系，幫助學(xué)習(xí)者掌握題型和解題方法的奧秘。

例如，在講解“橢圓”這一部分知識(shí)內(nèi)容時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師可以先按照一般步驟教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷橢圓的形成過程，讓學(xué)生理解橢圓的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念，并類比圓的方程推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。這一過程中，數(shù)學(xué)教師還可以融入情境教學(xué)、師生互動(dòng)等具體環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出過程。接著，數(shù)學(xué)教師就可以引入示例教學(xué)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線的相關(guān)問題。

【題目】

【分析】

當(dāng)然，老師也可以結(jié)合圖形進(jìn)行直觀分析，線段|AB|的長(zhǎng)即為橢圓的路徑，運(yùn)用公式直接求出短軸長(zhǎng)，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。無論是方法一還是方法二，目標(biāo)是讓學(xué)生對(duì)橢圓的圖像和性質(zhì)有進(jìn)一步的了解，讓圖形在學(xué)生腦海中生根，公式性質(zhì)等數(shù)據(jù)信息發(fā)芽。

2.做好知識(shí)銜接進(jìn)行串聯(lián)式教學(xué)

數(shù)學(xué)教師除了要教會(huì)學(xué)生應(yīng)用解題方法外，還應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的關(guān)系，讓學(xué)生串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)、聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)來說，不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)有助于學(xué)生理性思考，同一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)能夠幫助學(xué)生解決實(shí)際問題。也就是說，數(shù)學(xué)教師有必要做好知識(shí)銜接，通過這一方式鍛煉和提高學(xué)生的解決問題能力。

例如，在講解“拋物線”這一部分內(nèi)容時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師就可以總結(jié)出單元教學(xué)模塊，將本單元知識(shí)內(nèi)容分為拋物線的幾何情境、拋物線的幾何特征與概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。雖然本單元知識(shí)可以進(jìn)行模塊劃分再教學(xué)，但后三者間有著密切聯(lián)系，其聯(lián)動(dòng)與融合能夠解決拋物線相關(guān)的實(shí)際問題，同樣能夠達(dá)到有效、高效的教學(xué)效果。

【題目】

2.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（t，-2）在C上，且|PF|=2|OF|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

（1）求C的方程;

（2）若A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8，求當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，求出直線AB的方程。

【分析】

（1）利用已知條件，列出方程組，求解p，即可求出C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2=8.設(shè)AB中點(diǎn)為D（m，n），當(dāng)x1=x2時(shí)，lAB：x=4，|AB|=8;當(dāng)x1≠x2時(shí)，求出直線的斜率，直線方程，然后直線方程與C聯(lián)立方程消去x，整理得y2-2ny+2n2-16=0，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式求解即可。

求解第一小題時(shí)應(yīng)先做出拋物線的圖像，再運(yùn)用拋物線的定義列出方程，從而求出拋物線的方程。在教學(xué)中不僅培養(yǎng)提升了學(xué)生的直觀想象能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的辯證思維能力。將傾斜長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為水平距離，使問題的難度系數(shù)得以下降。

教學(xué)過程中，教師應(yīng)借助幾何畫板或GGB等網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，畫出拋物線的圖像，結(jié)合已知條件確定，未知量通過假設(shè)，由題目給出的條件與拋物線的性質(zhì)求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。通過示例，學(xué)生能夠掌握。

求解第二小題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合代入點(diǎn)求解直線斜率、直線方程。這一過程需要諸多拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)動(dòng)求未知量，也就需要學(xué)生掌握本單元知識(shí)間的聯(lián)系。基于此，教師有必要串講單元知識(shí)內(nèi)容，并附上示例講解，讓學(xué)生在掌握所有基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)對(duì)比圖形與已知條件，得出線段|AB|長(zhǎng)度表達(dá)式，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式求解。后續(xù)通過變式訓(xùn)練、反復(fù)應(yīng)用，提高學(xué)生的解決問題能力。

三、結(jié)語

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的融入不是一蹴而就的，也不是剛剛結(jié)合使用就能夠收到良好效果的。高中數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)抱著量變積累質(zhì)變的想法不斷嘗試、不斷創(chuàng)新，爭(zhēng)取通過數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生找到恰當(dāng)解題思路，發(fā)散學(xué)生的解題思維，鍛煉和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。久而久之，高中生的數(shù)學(xué)解題能力、解題水平也將會(huì)自然提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]任明耀，劉芬.改進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的嘗試——錯(cuò)題資源的建立與利用[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2018（08）：86-87.

[2]李曉明.高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用分析[J].中國新通信，2018，20（07）：209.

[3]張藝璇.關(guān)于高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略[J].亞太教育，2015（34）：73.