梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)公路橋拱梁活載分承比研究

徐 巖

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,武漢 430063)

引言

梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋是一種新穎的梁-拱協(xié)同受力的組合體系橋梁，拱肋與梁剛性連接形成的自平衡體系一方面極大地減小了剛構(gòu)橋主梁內(nèi)的彎矩，使得梁拱組合體系剛構(gòu)橋可能成為解決大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋長期下?lián)系囊环N有效方案，并且梁拱墩交接處拱的水平推力與梁的軸向拉力相互平衡，使得橋墩不會承受過大的水平力，適合在軟弱地基上建造。同時(shí)，梁拱組合剛構(gòu)橋優(yōu)美的結(jié)構(gòu)外形和優(yōu)異的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)也極大地增強(qiáng)了其在200～300 m跨徑范圍內(nèi)的競爭力[1-2]。

目前關(guān)于梁拱組合橋的研究多集中于簡支梁拱組合橋及連續(xù)梁拱組合橋吊桿張拉力的確定及優(yōu)化方法[3-5]，雖然也有部分學(xué)者對梁拱組合結(jié)構(gòu)在不同拱梁剛度比、邊中跨比和吊桿剛度等體系構(gòu)造參數(shù)下的整體受力性能及梁拱結(jié)合處的局部力學(xué)行為進(jìn)行了研究[6-11]。但這些研究多是針對某一具體工程背景且采用有限元數(shù)值模擬開展的[12-15]，有限元數(shù)值模擬雖然能準(zhǔn)確求解特定結(jié)構(gòu)的荷載響應(yīng)和最優(yōu)構(gòu)造尺寸，但無法給出關(guān)鍵構(gòu)造參數(shù)的解析解，橋梁設(shè)計(jì)工程師也不能對數(shù)值模擬結(jié)果推廣使用，并且不適合概念設(shè)計(jì)階段的估算。

梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋的拱、梁中的恒載內(nèi)力分配比例主要由吊桿初始張拉力決定，而吊桿初始索力的確定涉及合理成橋狀態(tài)的定義和吊桿施工索力張拉策略。活載直接作用于梁拱組合剛構(gòu)橋成橋后的結(jié)構(gòu)體系上，梁、拱內(nèi)力分配比例依賴于構(gòu)件的剛度關(guān)系，分配機(jī)制更為復(fù)雜。故推導(dǎo)均布荷載作用下梁拱組合橋的解析計(jì)算公式，定量闡述其拱-梁協(xié)作機(jī)理，有利于設(shè)計(jì)者進(jìn)行合理的概念設(shè)計(jì)。目前已有學(xué)者利用力法推導(dǎo)了簡支梁拱組合橋及連續(xù)梁拱組合橋的解析計(jì)算公式[16-17]，但針對梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋尚未涉足。本文推導(dǎo)了下承式3跨梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋在均布荷載作用下梁、拱活載分配比例的解析計(jì)算公式，探討了其梁拱協(xié)作機(jī)理，明確了梁拱彎曲剛度比與既定荷載內(nèi)力分配比例的匹配關(guān)系，得到了梁拱截面最優(yōu)彎曲剛度比及最優(yōu)拱肋截面剛度的參數(shù)表達(dá)式，有利于設(shè)計(jì)者把握這類橋型的整體受力特點(diǎn)，在概念設(shè)計(jì)階段擬定出更加合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 解析計(jì)算公式推導(dǎo)

假設(shè)3跨梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋邊跨跨徑為l，中跨跨徑為L，橋墩高度為h，矢高為f，均布荷載q作用于中跨主梁上，計(jì)算簡圖如圖1所示。

圖1 3跨梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋計(jì)算簡圖

為方便梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋活載內(nèi)力效應(yīng)解析公式的推導(dǎo)，特作以下假定對結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)簡化：(1)僅考慮結(jié)構(gòu)的彈性變形；(2)拱軸線形為拋物線，且為坦拱，即f/L≤1/5；(3)忽略除拱肋外其他構(gòu)件的軸向壓縮變形；(4)所有吊桿的間距相同，且與主梁、拱肋同為等截面構(gòu)件；(5)所有吊桿的吊桿力相等，均為T。

作用于梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋主梁上的活載q，其傳遞方式主要有兩種：一種是通過主梁直接傳遞給橋墩，假設(shè)這部分荷載大小為q1；另一種是通過吊桿將荷載傳遞給拱肋，再由拱肋傳遞給橋墩，假設(shè)這部分荷載大小為q2，同時(shí)，荷載在傳遞過程中，會在主梁中產(chǎn)生軸向拉力。因此，主梁荷載分擔(dān)比例可定義為q1/q，拱肋荷載分擔(dān)比例可定義為q2/q。

中跨梁拱組合體系在如圖1所示的豎向均布荷載作用下會發(fā)生如圖2所示的變形，其中f1為變形，u為拱肋撓度，v為主梁撓度。假定吊桿伸長量為w，由變形前后主梁、拱肋、吊桿的位移關(guān)系可知，在梁拱組合體系縱向的任何位置，均滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系式v=u+w。

圖2 梁拱組合體系變形示意

傳統(tǒng)力法在求解梁拱組合體系橋時(shí)至少需要建立n+3個(gè)力法正則方程(n為吊桿數(shù)量)，計(jì)算過程非常復(fù)雜。為解決該問題，假想將吊桿切斷，并將均勻的吊桿力等效成如圖3所示的膜張力t施加在結(jié)構(gòu)中，即t=T/a(a為吊桿間距)。

圖3 等效膜張力計(jì)算簡圖

運(yùn)用結(jié)構(gòu)力學(xué)知識建立力法正則方程，得到多余未知力后，聯(lián)立變形協(xié)調(diào)方程即可求得等效膜張力t，計(jì)算結(jié)果如式(1)～式(3)所示。

(1)

α=(3+2η)φkba+2η(φ+2kca)

(2)

β=(3+2η)φkba+4η(3φ+kca)

(3)

式中，kba=kb/ka，為梁拱截面彎曲剛度比，kb=EbIb，ka=EaIa；kca=kc/ka，為墩拱截面彎曲剛度比，kc=EcIc；kna=(L2kn)/ka，為拱肋壓彎等代剛度比，kn=EaAa；ksa=(L3ks)/(aka)，為吊桿拱肋等代彎曲剛度比，ks=EsAs；ξ=f/L，為矢跨比；Φ=h/L，為橋墩高度與主跨跨徑比；η=l/L，為邊中跨比；Ea、Aa、Ia分別為拱肋的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Eb、Ab、Ib分別為主梁的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Ec、Ac、Ic分別為橋墩的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Es、As、Is分別為吊桿的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩。

在上述公式中，并未出現(xiàn)均布荷載集度q，這是因?yàn)樵谕茖?dǎo)過程中假設(shè)q=1 kN/m，故所求膜張力t亦為拱肋荷載分擔(dān)比例?；谏鲜龅谝豁?xiàng)假定，結(jié)構(gòu)處于彈性工作階段，滿足荷載的疊加原理，在相應(yīng)公式前乘以q即可得到均布荷載q的力學(xué)效應(yīng)。

2 解析計(jì)算公式驗(yàn)證

以某公路(120+250+120) m三跨下承式梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)橐劳校摌蚬拜S線為二次拋物線，矢高為50 m；主梁及拱肋均采用C60混凝土，薄壁墩采用C50混凝土，吊桿采用抗拉強(qiáng)度為1 860 MPa的整束擠壓式鋼絞線拉索體系，間距9 m，共27根。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中主梁和拱肋為變截面形式，無法直接使用前文中的解析公式，故需要將實(shí)橋中的變截面形式按照剛度相等的原則等效為等截面的形式。拱肋、主梁、吊桿、薄壁墩截面參數(shù)如表1所示。

表1 基礎(chǔ)模型截面參數(shù)

根據(jù)上述構(gòu)造、材料參數(shù)建立Midas/Civil有限元模型，并在主梁中跨施加均布荷載q=1 kN/m作為基礎(chǔ)模型，使用公式(1)和Midas/Civil分別求解基礎(chǔ)模型中拱肋分擔(dān)的荷載比例，結(jié)果如表2所示(修正前)。為了更好地驗(yàn)證本文公式的正確性，調(diào)整模型參數(shù)求解不同梁拱剛度比、邊中跨比、吊桿間距、矢跨比條件下拱肋分擔(dān)的荷載比例，據(jù)此檢驗(yàn)本文公式的計(jì)算誤差。

考慮到Midas/Civil計(jì)算的最短4根邊吊桿與其余中吊桿的吊桿力差異明顯，故表2中拱肋荷載分擔(dān)比例t為扣除最短的4根邊吊桿后其余吊桿力的平均值除以吊桿間距得到。

表2 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下解析解與數(shù)值解的誤差

經(jīng)比較，公式(1)的解析計(jì)算結(jié)果與Midas/Civil數(shù)值解有15%左右的誤差。經(jīng)分析，產(chǎn)生這種誤差的原因主要有：(1)認(rèn)為所有吊桿的吊桿力相同，但邊吊桿與中吊桿在均布荷載作用下的吊桿力差異明顯；(2)將吊桿力假定為膜張力(均布荷載)施加在結(jié)構(gòu)中，與集中荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形存在一定差異；(3)基于坦拱假定進(jìn)行解析公式的推導(dǎo)，即近似認(rèn)為cosθ=1(θ為拱軸線上任一點(diǎn)切線與x軸的夾角)，使拱肋的軸力及彎矩與實(shí)際情況差異較大；(4)未考慮主梁及橋墩的軸向變形，使得虛功原理計(jì)算得到的體系虛應(yīng)變能偏小。

為提高解析公式的計(jì)算精度，主要從兩個(gè)方面進(jìn)行修正，一是針對“坦拱假定”，梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋一般屬于“剛梁柔拱”結(jié)構(gòu)，拱肋剛度相對較小，其軸向變形和軸向應(yīng)變能占比較大，“坦拱假定”認(rèn)為cosθ=1，這顯然將導(dǎo)致拱肋中的軸力以及積分長度減小，從而使得力法基本方程中正則系數(shù)的推導(dǎo)過程中所用的體系虛應(yīng)變能偏小。鑒于此，為彌補(bǔ)拱肋這部分被低估的應(yīng)變能，通過在拱肋截面軸向剛度和彎曲剛度中引入如式(4)、式(5)所示的修正系數(shù)m、n，即令kn=EaAa/m，ka=nEaIa，將計(jì)算得到的拱肋虛應(yīng)變能放大，以此來修正誤差；由于“剛拱柔梁”、“剛拱拱梁”、“剛梁柔拱”的拱梁組合體系橋在受力上差異顯著，故需要使用不同的修正系數(shù)，參考文獻(xiàn)[18]將kba=20作為兩者的界限取值，這也是式(4)、式(5)中修正系數(shù)m、n在kba=20出現(xiàn)突變的原因所在。二是在考慮第一項(xiàng)修正系數(shù)的基礎(chǔ)上，將本文解析公式的計(jì)算結(jié)果與大量有限元方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較、分析、擬合，引入一個(gè)綜合修正系數(shù)，通過對其取不同的值，比較修正后計(jì)算公式的誤差，最終確定綜合修正系數(shù)為1.3。

(4)

(5)

同時(shí)考慮坦拱假定修正系數(shù)以及綜合修正系數(shù)后，即kn=EaAa/(1.3m)和ka=1.3nEaIa，本文解析公式的計(jì)算誤差如表2所示(修正后)?？梢?，表2中給出的13個(gè)計(jì)算模型涵蓋了拱梁剛度比常用的取值區(qū)間(0.05～400)，經(jīng)過修正后解析公式與數(shù)值解的誤差均在±5%范圍內(nèi)，因此可以認(rèn)為本文的解析公式及其修正方法對梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋是普遍適用的。

3 基于灰色關(guān)聯(lián)分析法的拱肋荷載分擔(dān)比例影響因素分析

由式(1)可知，拱肋荷載分擔(dān)比例t的影響因素主要有7個(gè)，分別為高跨比Φ、邊中跨比η、矢跨比ξ、拱肋壓彎等代剛度比kna、梁拱截面彎曲剛度比kba、墩拱截面彎曲剛度比kca、吊桿拱肋等代彎曲剛度比ksa。為進(jìn)一步明確拱肋荷載分擔(dān)比例t的主要影響因素以進(jìn)一步對公式(1)進(jìn)行簡化，采用灰色關(guān)聯(lián)分析法進(jìn)行分析。

按照灰色關(guān)聯(lián)度分析法的步驟，將拱肋活載分擔(dān)比例t作為參考數(shù)列，將影響拱肋荷載分擔(dān)比例t的7個(gè)參數(shù)在其工程常用范圍內(nèi)均勻地取10個(gè)值計(jì)算拱肋活載分擔(dān)比例t，并將求得的t作為比較數(shù)列進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)分析。各影響因素取值情況如表3所示，取值依據(jù)如下。

(1)預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋墩高與主跨之比一般要求大于1/10。已查文獻(xiàn)中墩身最高的連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)橘F州畢節(jié)至威寧高速赫章特大橋，墩高達(dá)到了195 m[19]，故表3中高跨比的取值范圍為1/10～1。

(2)3跨下承式連續(xù)梁拱組合橋，合理矢跨比為1/5～1/8，合理邊中跨比為0.4～0.5，對于梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋，實(shí)際工程中經(jīng)常出現(xiàn)矢跨比小于1/5及邊中跨比小于0.4的情況，如中衛(wèi)“V”形連續(xù)剛構(gòu)-拱組合橋矢跨比為1/3.6[20]，重慶菜園壩長江大橋邊中跨比為0.24，故表3中矢跨比的取值范圍為1/3.5～1/8，邊中跨比的取值范圍為0.20～0.65。

(3)“剛梁柔拱”的界定值可取為kba≥20，“剛拱柔梁”的界定值可取為kba≤1/20，對于重慶菜園壩長江大橋，其拱梁剛度比約為1/333[18]，故表3中kba的取值范圍為1/20～350。

表3 各影響因素的取值情況

將參考數(shù)列及各比較數(shù)列無量綱化后，首先計(jì)算各比較數(shù)列與參考數(shù)列的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后將得到的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)求平均，便得到各比較數(shù)列與參考數(shù)列的灰色關(guān)聯(lián)度，結(jié)果如表4所示。

表4 各比較數(shù)列與參考數(shù)列的灰色關(guān)聯(lián)度

從表4可以看出，公式(1)中7個(gè)參數(shù)對拱肋荷載分擔(dān)比例t影響的敏感程度由高到低為ksa>kba>ξ>kna>kca>η>Φ，因此，可以認(rèn)為ksa及kba是影響拱肋荷載分擔(dān)比例t的關(guān)鍵因素。

t隨kba的增大而減小，但kba超過300后拱肋荷載分擔(dān)比例t受kba的影響不再顯著，如圖4所示，此時(shí)拱肋也會承擔(dān)相當(dāng)一部分荷載(至少在30%以上)，這體現(xiàn)了拱肋對于改善主梁受力的顯著作用。當(dāng)主梁截面剛度小于拱肋后kba≈1.0，表明此時(shí)拱肋將承擔(dān)幾乎全部活載。

圖4 t-kba關(guān)系曲線

圖5 t-ksa關(guān)系曲線

從表4可以看出，相對于ksa和kba，Φ、η、kca、kna、ξ的變化對t影響并不明顯，因此可將其看作常量以進(jìn)一步簡化公式(1)。首先分別將表4中Φ、η、kca、kna、ξ不同取值下得到的t求平均，并以此為依據(jù)初步確定Φ、η、kca、kna、ξ5個(gè)參數(shù)的具體取值，然后將簡化公式的數(shù)值解與大量有限元方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)一步調(diào)整各影響因素的取值，最終確定Φ=1/6、η=0.455、kca=43、kna=30 000、ξ=1/5。簡化后拱肋荷載分擔(dān)比例t的計(jì)算公式如式(6)所示，其中γ為修正系數(shù)，其取值如式(7)所示，需要說明的是采用簡化公式計(jì)算時(shí)也需利用式(5)將ka進(jìn)行放大。

t=

(6)

1.3 觀察指標(biāo) ①圍術(shù)期指標(biāo)。觀察兩組手術(shù)時(shí)間、術(shù)中出血量、術(shù)后肛門排氣時(shí)間及住院時(shí)間。②生化指標(biāo)比較。觀察兩組手術(shù)前后血清孕酮、VEGF和INH-A水平。③術(shù)后并發(fā)癥。觀察兩組手術(shù)后感染、陰道流血、腹痛及發(fā)熱等并發(fā)癥發(fā)生率情況。④術(shù)后受孕情況。觀察兩組術(shù)后受孕情況，包括：宮內(nèi)妊娠、不孕及異位妊娠等。

(7)

為了驗(yàn)證公式(6)的正確性，在表2的結(jié)構(gòu)參數(shù)下計(jì)算了簡化公式的誤差，并與公式(1)的計(jì)算誤差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。可見，由簡化公式計(jì)算得到的t的誤差基本在10%以內(nèi)，與公式(1)相比，雖然誤差有所增大，但仍然能夠滿足梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋初步設(shè)計(jì)階段估算的精度要求。

圖6 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下簡化公式的計(jì)算誤差

4 既定拱肋荷載分擔(dān)比例下梁拱截面彎曲剛度比的求解

梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋中拱肋的存在既能提高結(jié)構(gòu)自身剛度，又能分擔(dān)一部分活載，而在選定拱肋分擔(dān)活載比例的情況下如何設(shè)計(jì)拱肋的截面剛度成為設(shè)計(jì)中最為關(guān)注的主要問題之一，根據(jù)式(6)，拱肋荷載分擔(dān)比例t與梁拱彎曲剛度比kba之間的函數(shù)關(guān)系可表示為

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

式(8)明確了拱肋分擔(dān)荷載比例t與kba之間的匹配關(guān)系，可用于控制拱肋承擔(dān)的荷載大小。由圖4可知，當(dāng)kba較大時(shí)，t隨kba的變化逐漸趨于穩(wěn)定，若以Δ=F(kba+16)/F(kba)為目標(biāo)函數(shù)，認(rèn)為當(dāng)Δ≥0.98時(shí)，kba對t的影響不明顯，由此可得到梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋梁拱截面最優(yōu)剛度比。

根據(jù)式(6)，拱肋荷載分擔(dān)比例t與拱肋截面剛度ka之間的函數(shù)關(guān)系可表示為

(12)

其中

A3=230L3kbks

(13)

A4=1.3×104L3ks

(14)

(15)

(16)

A7=1×106akb+1.5×104L3ks

(17)

若以Δ=F(ka)/F(1.1ka)為目標(biāo)函數(shù)，認(rèn)為當(dāng)Δ≥0.98時(shí)，繼續(xù)增大ka，對t的影響不明顯，由此可得到梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋拱肋截面最優(yōu)剛度，如式(18)所示。

(18)

當(dāng)主梁截面剛度kb、吊桿軸向剛度ks、吊桿間距a、主跨跨徑L已知時(shí)，由式(18)可確定拱肋截面最優(yōu)剛度，此時(shí)認(rèn)為當(dāng)ka大于該值時(shí)，拱肋對于主梁荷載的分擔(dān)作用及跨中下?lián)系母纳谱饔貌辉侔l(fā)生顯著變化。根據(jù)表1中結(jié)構(gòu)參數(shù)所定義的基礎(chǔ)模型，由式(18)可得到該橋最優(yōu)的拱肋截面剛度ka=1.56×108kN·m2，此時(shí)拱肋分擔(dān)了約60%的活載。

5 結(jié)論

本文將吊桿力等效為膜張力t作用于梁拱閉合體上，通過求解力法方程推導(dǎo)了3跨梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋中梁、拱分擔(dān)荷載比例，并提出了既定拱肋荷載分擔(dān)比例下梁拱截面彎曲剛度比的解析公式，計(jì)算精度能滿足概念設(shè)計(jì)階段估算的精度要求。研究主要結(jié)論如下。

(1)梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋中梁、拱分擔(dān)荷載比例的解析計(jì)算公式能夠幫助設(shè)計(jì)人員更加深入理解該類橋型的拱-梁協(xié)作機(jī)理，從力學(xué)的角度分析對拱肋分擔(dān)的荷載比例進(jìn)行控制，使得結(jié)構(gòu)更加經(jīng)濟(jì)、合理。

(2)影響拱肋荷載分擔(dān)比例t的關(guān)鍵因素為梁拱截面彎曲剛度比及吊桿拱肋等代彎曲剛度比，在剛梁柔拱的假定下，拱肋至少能承擔(dān)30%以上的活載；當(dāng)主梁截面剛度一定時(shí)，拱肋分擔(dān)的荷載比例隨拱肋截面剛度的增加而增加，但當(dāng)拱肋分擔(dān)的荷載比例超過60%后，繼續(xù)拱肋截面抗彎剛度已不能大幅提高其分擔(dān)的荷載比例。

(3)本文推薦的解析公式(18)可以非常方便地實(shí)現(xiàn)既定拱肋荷載分擔(dān)比例下拱肋截面抗彎剛度的求解，從而為梁拱組合連續(xù)剛構(gòu)橋拱肋截面的初步設(shè)計(jì)提供參考。