對小數(shù)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的認(rèn)知與思考

張欣

對于分?jǐn)?shù)的教學(xué)，“人教版”教材從三年級開始啟蒙。三年級學(xué)習(xí)內(nèi)容中有關(guān)于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。為什么叫“初步認(rèn)識”呢？因?yàn)閷W(xué)生要完整地構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念，需要從量和率兩個(gè)維度完成。而三年級只是從“率”的維度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，從在一個(gè)整體中認(rèn)識幾分之一，到在多個(gè)整體中認(rèn)識幾分之一，再到認(rèn)識幾分之幾。這些都是在表示部分與整體的關(guān)系，是“率”的維度，沒有涉及用分?jǐn)?shù)表示量。所以叫作分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。而五年級的分?jǐn)?shù)教學(xué)站在量和率兩個(gè)層級上，通過對量和率的轉(zhuǎn)化，完整建立分?jǐn)?shù)的概念。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容“假分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知基礎(chǔ)是：三年級分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、本單元第一小節(jié)“分?jǐn)?shù)意義”及第二小節(jié)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和五年級學(xué)生能夠達(dá)到的思維水平，本節(jié)課“假分?jǐn)?shù)”的教學(xué)主線為：從把4塊月餅平均分給三個(gè)人的問題引入教學(xué)，幫助學(xué)生初步感知假分?jǐn)?shù);再助推學(xué)生遷移到分母是3和4的假分?jǐn)?shù)，輔助學(xué)生進(jìn)一步完善對假分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵的理解。

下面，我就以“假分?jǐn)?shù)”的教學(xué)為例，簡要敘述對小學(xué)概念教學(xué)的思考。

一、問題引入，初步感知

本節(jié)課開篇提出生活問題：“四塊月餅平均分給三個(gè)人，每人分到多少？”用這個(gè)問題引入的目的在于：喚醒學(xué)生已有關(guān)于分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)與除法的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生在解決問題中，走近假分?jǐn)?shù)。

課堂上，學(xué)生面對這樣的問題有著怎樣的表現(xiàn)呢？

學(xué)生給出的第一種回答是：“可以每個(gè)人先分一整塊月餅，然后每個(gè)人再分? 塊月餅”。

這樣思考的學(xué)生，對把一個(gè)物體平均分后可得到它的幾分之一印象深刻。他們頭腦中的分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)是不完整的。對單位“1”的認(rèn)識仍然停留——一個(gè)物體可以看作單位“1”。當(dāng)4個(gè)月餅做單位“1”時(shí)，且單位“1”所包含的數(shù)量大于平均分的份數(shù)時(shí)（也就是4個(gè)月餅平均分成3份，所得結(jié)果又不是整數(shù)），從這個(gè)角度分析，也讓我再一次思考：單位“1”的概念建立不是一朝一夕的事。因?yàn)闆]有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)支撐，他們做不到把4塊平均分成3份，也想不起來可以借助分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系利用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。所以說，這樣表達(dá)的學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義、單位1及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系這些與“假分?jǐn)?shù)”密切相關(guān)的知識，掌握得并不理想。

學(xué)生給出的第二種回答，是：“把每個(gè)月餅平均分成3份，把第一塊月餅分成的3份平均分給三個(gè)人，第二塊月餅分成的3份平均分給三個(gè)人，第三塊月餅和第四塊完成同樣的步驟。最終每個(gè)人獲得4個(gè)? 塊月餅”。如圖1所示：

這樣思考的學(xué)生比第一種思考的學(xué)生進(jìn)步點(diǎn)在：他們對分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系掌握是牢固的。分?jǐn)?shù)與除法教學(xué)中，這樣數(shù)形結(jié)合的形式，幫助部分學(xué)生記住了“分?jǐn)?shù)單位累加可以得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)”

學(xué)生給出的第三種回答，是：“運(yùn)用學(xué)過的分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，4塊月餅分成3份，那么用4÷3=? ?！蓖ㄟ^分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的表達(dá)式子，學(xué)生也能給出? 這個(gè)分?jǐn)?shù)答案。這樣思考的學(xué)生對分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系掌握得比較牢固。

二、自主遷移，體悟內(nèi)涵

1.借助幾何直觀，理解? 的意義。

學(xué)生通過不同回答思路，都得到? 這個(gè)答案。借助幾何直觀幫助學(xué)生理解? 的含義。引導(dǎo)學(xué)生思考“能否用一幅圖來表示一下? 這個(gè)分?jǐn)?shù)？”

依據(jù)學(xué)生之前在分月餅時(shí)的第二種回答結(jié)果，每個(gè)人獲得4個(gè)? 塊月餅。依照展示的4個(gè)? 的圖示，學(xué)生會很自然地把其中的3個(gè)? 拼合在一起，拼成一個(gè)完整的月餅圖形，這一過程是幫助學(xué)生借助幾何直觀看到了“分?jǐn)?shù)單位累加成? 也就是單位1的過程”形成一個(gè)完整的單位1，再加上剩余的1個(gè)? 。

學(xué)生看到了4個(gè)? 到1個(gè)? 的變化過程，也就初步理解了? 的意義，如圖2。

2.促進(jìn)遷移，深化理解。

在此基礎(chǔ)上，老師提出“? 如何表示？”學(xué)生會將? 是4個(gè)? 的經(jīng)驗(yàn)遷移，回答? 是5個(gè)? ，也就是在示意圖上再涂色一份。

繼續(xù)追問“? 如何表示？”學(xué)生也就能順應(yīng)思維的進(jìn)程，很容易地就想到? 是6個(gè)? 。這時(shí)候?qū)W生有了這樣的幾何直觀，不但他理解了? 是6個(gè)? ，為將來? =2也奠定了一定的基礎(chǔ)。

提出推進(jìn)學(xué)生思考的問題“你還能想到分母是3的假分?jǐn)?shù)嗎？用圖怎樣表示？”學(xué)生會想到? ，學(xué)生會想到? 。學(xué)生此時(shí)說得越多，說明他對假分?jǐn)?shù)現(xiàn)在的感受越來越深刻、越來越完整。

以上學(xué)習(xí)活動，幫助學(xué)生從兩個(gè)角度認(rèn)知假分?jǐn)?shù)，第一，隨著分?jǐn)?shù)單位的累加，產(chǎn)生了大于1的分?jǐn)?shù)，第二，當(dāng)取的份數(shù)大于單位1被平均分的份數(shù)時(shí)，需要再出現(xiàn)一個(gè)單位1，隨著取的份數(shù)的增加，單位1也在增加。

在此基礎(chǔ)上提出“? 如何表示？”這是學(xué)生認(rèn)知上的又一個(gè)飛躍。引導(dǎo)學(xué)生明確在現(xiàn)有1個(gè)單位“1”中無法表示? ，如果想表示? 需要再畫一個(gè)單位“1”，將其平均分，取其中的1份。

繼續(xù)追問“? 如何表示？”學(xué)生會立即想到：9個(gè)? 累加在一起，會出現(xiàn)——在現(xiàn)有的兩個(gè)單位“1”中無法表示，需要再添加1個(gè)單位“1”，在3個(gè)單位“1”中涂色9份。

以上學(xué)習(xí)活動中：學(xué)生自己說出“再來一個(gè)”“再加一個(gè)”這樣的關(guān)鍵字眼，幫助學(xué)生理解累加單位“1”的內(nèi)涵，也就理解了假分?jǐn)?shù)這一概念的本質(zhì)。

在認(rèn)識假分?jǐn)?shù)之后，我們完成了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)單（如圖3），“寫出一個(gè)分母是4的假分?jǐn)?shù)，并用一幅圖表示它的意思。”從學(xué)生的完成情況可以看到，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，100%的學(xué)生能夠?qū)懗黾俜謹(jǐn)?shù)，有94%的學(xué)生能夠達(dá)到用圖去解釋他所寫的假分?jǐn)?shù)。說明學(xué)生對假分?jǐn)?shù)概念已經(jīng)有了比較深刻的理解和認(rèn)識。

三、教后反思

從分?jǐn)?shù)意義的發(fā)生和發(fā)展過程來看，假分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是對真分?jǐn)?shù)的拓展。在回憶熟知的真分?jǐn)?shù)之后，喚起學(xué)生對所熟悉的部分與整體關(guān)系的回憶。同時(shí)通過教學(xué)情境，類推出分子比分母大的分?jǐn)?shù)。這種分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，為教學(xué)探究創(chuàng)設(shè)了問題情境，引起了認(rèn)知矛盾沖突，有效激活學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)興趣。

縱觀整節(jié)課，通過圖形語言揭示概念的意義和特征，將圖與分?jǐn)?shù)的特征相對照進(jìn)行解釋、分析和說理。幫助學(xué)生在觀察中感悟概念的意義和特征，體會數(shù)形結(jié)合在解決問題中的優(yōu)勢。幫助學(xué)生感知如何用圓中陰影表示分?jǐn)?shù)，根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，有效突破單位的“1”的限制。讓學(xué)生明白分子比分母大的分?jǐn)?shù)，其表示的具體數(shù)量已經(jīng)超過了單位“1”所包含的數(shù)量時(shí)，需要再增加、再累加這樣的一個(gè)單位“1”。通過教師的有效引導(dǎo)，幫助學(xué)生明確單位“1”的大小、平均分成的份數(shù)與分?jǐn)?shù)有密不可分的關(guān)系，再次強(qiáng)化了分?jǐn)?shù)意義的重要性。之后，通過設(shè)問明確把誰看作單位“1”，幫助學(xué)生探求認(rèn)知上的誤區(qū)，讓學(xué)生感悟到同樣的圖形，單位“1”的不同，得到的分?jǐn)?shù)會有很大的差異，從而強(qiáng)調(diào)單位“1”的重要性。

其次，在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于假分?jǐn)?shù)的理解存在不牢固的現(xiàn)象。學(xué)生對于分子比分母大的假分?jǐn)?shù)是認(rèn)可的，但是相當(dāng)一部分學(xué)生對分子與分母相等的假分?jǐn)?shù)保持懷疑態(tài)度。在教學(xué)中，我一邊鼓勵(lì)學(xué)生這種敢于質(zhì)疑的精神，一邊通過各種形式如幾何直觀、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等去解釋假分?jǐn)?shù)的含義，當(dāng)看到學(xué)生點(diǎn)頭示意后，我心里由衷地高興。教學(xué)永無止境，只有師生共同探索，才能得到樂此不疲的學(xué)習(xí)效果，我們一起努力向未來。

（徐德明）