基于模糊聚類分析法的學(xué)生成績分類

于海洋，李秀文

（1.大連民族大學(xué)機電工程學(xué)院，遼寧大連 116600；2.大連民族大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116600）

隨著科技的進(jìn)步，智能化閱卷也隨之快速發(fā)展起來，為具體掌握考生的學(xué)習(xí)情況，需要通過一種科學(xué)規(guī)范的方法對試卷各個部分的得分進(jìn)行系統(tǒng)分析。通過對考生試卷數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊聚類分析[1]，最終可得出一個相對合理的分類[2]。

模糊聚類分析是一種研究分類問題的數(shù)據(jù)分析方法[3]，是解決實際問題經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)工具之一。目前，模糊聚類分析方法已滲透到社會生活的方方面面，廣泛地應(yīng)用于商業(yè)、地質(zhì)、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等多個領(lǐng)域，所以研究模糊聚類分析是非常重要的。本文主要選取了自動化專業(yè)五位學(xué)生的專業(yè)課期末考試成績，以試卷中填空、選擇、簡答、綜合運用的成績等四項數(shù)據(jù)作為統(tǒng)計指標(biāo)，利用模糊聚類分析對試卷得分點進(jìn)行研究，找出通過考試反映出的普遍問題，讓考試成績數(shù)據(jù)“告訴”我們更多有價值的事實，對于調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)活動有著積極的參考意義。

1 模糊聚類分析法

對現(xiàn)實世界中的事物進(jìn)行研究時，通常需要將事物按照其固有的屬性或事物間的相似程度來進(jìn)行分類，從中可以發(fā)現(xiàn)事物間的規(guī)律，這是我們認(rèn)識世界、改造世界的一種重要方法。在數(shù)學(xué)中將各類事物按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對其進(jìn)行分類的方法稱為聚類分析[4]，聚類分析是多元分析中的一種方法，它與回歸分析、判別分析統(tǒng)稱為多元分析的三大方法，聚類分析也是非監(jiān)督模式識別的一個重要分支，它把沒有類別標(biāo)記的事物根據(jù)其相似性的準(zhǔn)則對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭澐?，從而把具有同種屬性的事物區(qū)分開并加以分類。在對事物進(jìn)行聚類的過程中，應(yīng)使相似程度較大的事物盡可能歸為一類，并且盡可能讓類內(nèi)事物的同質(zhì)性最大化，而不相似的事物盡可能劃分到不同的類中，并且盡可能讓類與類間的異質(zhì)性最大化，從而保證得到的同類事物類內(nèi)事物間的相似程度最高。

聚類分析起源于分類學(xué)，它隨著人類社會的產(chǎn)生和發(fā)展而不斷深化，在古老的分類學(xué)中，人們主要靠經(jīng)驗和專業(yè)知識對事物進(jìn)行劃分，以便研究事物之間的特性以及它們的相似關(guān)系，很少利用統(tǒng)計學(xué)的方法，但隨著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展，分類越來越細(xì)致，人們發(fā)現(xiàn)這種分類方法帶有較強的人的主觀性和任意性，并不能很好地揭示客觀事物間內(nèi)在的本質(zhì)差別和聯(lián)系，特別是當(dāng)處理帶有模糊性的分類問題時，一般而言模糊事物之間的界限并不是很清晰，常伴有模糊性。比如天氣：陰天、晴天、下雨天之間就沒有明確的界限，有時還會遇到“東邊日出西邊雨，道是無情卻有情”這樣的問題，且傳統(tǒng)的聚類分析是一種硬劃分，對類別劃分的界限非常嚴(yán)格，面對此類帶有模糊性的問題，傳統(tǒng)的聚類分析方法根本沒法實現(xiàn)，需運用模糊聚類分析方法[5]。

模糊聚類分析方法是用數(shù)學(xué)方法定量地確定樣本的親疏關(guān)系，從而客觀地對現(xiàn)實生活中的事物進(jìn)行分類，而且能夠處理邊界模糊的事物之間的分類問題[6]，在分類過程中，模糊聚類分析方法可以清楚地知道各個事物所屬類別的模糊程度，從而能夠建立起樣本對于類別的不確定性描述，能更合理地反映現(xiàn)實世界。本文根據(jù)學(xué)生試卷的每個題型得分情況，運用模糊聚類分析對學(xué)生的成績進(jìn)行研究，對學(xué)生成績的優(yōu)劣做一個模糊歸類。

2 數(shù)據(jù)處理

本文選取五位學(xué)生考試成績?yōu)榛緮?shù)據(jù)，試卷總分共100分，其中各題型所占分值分別為：填空20分，選擇20分，簡答20分，綜合運用40分。將5名學(xué)生考試成績組成一個集合X=｛x1,x2,x3,x4,x5｝（也稱為論域X），分別標(biāo)記為1號，2號，3號，4號，5號，則論域X=｛x1,x2,x3,x4,x5｝為被分類的對象。每個學(xué)生都以試卷填空、選擇、簡答、綜合運用的成績作為四項統(tǒng)計指標(biāo)，即有：xij={xi1,xi2,xi3,xi4}，這里xij表示第i名學(xué)生第j項指標(biāo)，則各學(xué)生成績的原始數(shù)據(jù)矩陣為：

在實際問題中，如果數(shù)據(jù)不同，那么它們的量綱也會有所差別，為了比較不同量綱的數(shù)據(jù)，要將數(shù)據(jù)壓縮在［0,1］區(qū)間上，這就需要對原始數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

通常有以下幾種變換[7]：平移·標(biāo)準(zhǔn)差變換，平移·極差變換，對數(shù)變換。本文采用平移·極差變換進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。

平移·極差變換

3 用最大最小法建立模糊相似矩陣

論域X={x1,x2,…,xn}，xi={xi1，xi2，…，xim}，依照傳統(tǒng)聚類方法確定相似系數(shù)，建立模糊相似矩陣，xi與xj的相似程度rij=R（xi, xj）。確定Rij=R（xi,xj）的方法主要借用傳統(tǒng)聚類的相似系數(shù)法、距離法以及其他方法[8]。具體用什么方法，可根據(jù)問題的性質(zhì)選取。本文選取最大最小法建立模糊相似矩陣。

最大最小法的計算公式為：

4 利用模糊等價關(guān)系進(jìn)行聚類

聚類主要方法有基于模糊相似矩陣的直接聚類法（最大樹法和編網(wǎng)法）和基于模糊等價關(guān)系矩陣的傳遞閉包法等。

模糊相似矩陣R滿足自反性和對稱性，但是并不滿足傳遞性，那么要求等價矩陣，就要對矩陣R進(jìn)行改造，就是求模糊相似矩陣R的傳遞閉包，我們只需要對R求平方即可，直到R22(n-1)=R22n。其中每作一次平方，我們就要對所得到的矩陣R22k作一次模糊相似矩陣，其目的是把rij壓縮到[0,1]上，其方法和用最大最小法建立模糊相似矩陣一樣。因為R2≠R，所以要再求R4，計算得到R4=R2，從而確定=R2為模糊等價矩陣。

利用模糊等價關(guān)系矩陣對5名學(xué)生進(jìn)行聚類分析，截距水平λ從1降至0，按λ截矩陣進(jìn)行動態(tài)聚類。

取λ=1時，則有：

由上面的矩陣可得，X被分為5類：{x1},{x2},{x3},{x4},{x5},即：{1號}，{2號}，{3號}，{4號}，{5號}。

降截距水平λ，對不同的λ做同樣的分析，得到

當(dāng)λ=0.6066時，則有：

由上面的矩陣可得，X被分為4類：{x1},{x2,x3},{x4},{x5},即{1號}，{2號，3號}，{4號}，{5號}。

當(dāng)λ=0.5395時，則有：

由上面的矩陣可得，X被分為3類：{x1}{x2,x3,x5}{x4}，即{1號}，{2號，3號，5號}，{4號}。

當(dāng)λ=0.5313時，則有：

由上面的矩陣可得，X被分為2類：{x1},{x2,x3,x4,x5}，即{1號}，{2號，3號，4號，5號}。

當(dāng)λ=0.1190時，則有：

由上面的矩陣可得，X被分為1類：{x1,x2,x3,x4,x5}，即：{1號，2號，3號，4號，5號}。

對于不同的截距水平λ對5名學(xué)生進(jìn)行模糊聚類分析，得到不同的分類結(jié)果，聚類圖見圖1。

圖1 聚類圖

在分類過程中，可以看出若截距水平λ取值過高時，各學(xué)生試卷會各自分為一類；若截距水平λ取值過低時，又會使學(xué)生試卷聚為一類，為了更好地進(jìn)行聚類分析，同時又能客觀合理地反映學(xué)生之間的差別，按不同的截距水平λ對學(xué)生試卷進(jìn)行研究。當(dāng)0.6066≤λ≤1時，對5名學(xué)生進(jìn)行分類，因為過于看重5名學(xué)生的各項基礎(chǔ)指標(biāo)，而忽略了各個指標(biāo)之間關(guān)系相互影響的深淺程度，從而沒有真正起到分類的作用，所以0.6066≤λ≤1的分類結(jié)果不理想。當(dāng)0.5313≤λ≤0.6066時，分類結(jié)果能較好地體現(xiàn)出學(xué)生之間的差異，所以0.5313≤λ≤6066時的分類是科學(xué)可取的，說明分為一類的學(xué)生的學(xué)習(xí)成績相似程度較為接近。

5 結(jié)語

通過對上述模型進(jìn)行分析，序號為2，3的學(xué)生學(xué)習(xí)成績優(yōu)異，填空、選擇、簡答、綜合運用四個方面都掌握得比較好，較突出；序號為5的學(xué)生填空、選擇、簡答、綜合運用四方面的成績較為良好，沒有明顯的弱項，全面發(fā)展，每個知識點都學(xué)習(xí)得很扎實，有很強的綜合性。序號為1，4的學(xué)生學(xué)習(xí)成績一般，填空、簡答和綜合運用的成績較低，尤其是選擇題失分太多，知識點掌握不好，需要全面提高。

本文利用模糊聚類分析法對學(xué)生試卷成績進(jìn)行分析，并不是直接按照整體考試成績的高低分類，而是將試卷細(xì)化為各項指標(biāo)進(jìn)行對比，比傳統(tǒng)的分類方法更加科學(xué)、合理。通過模糊聚類分析，找出試卷中反映出的普遍問題，使教師在今后的教學(xué)中更具有針對性，實現(xiàn)系統(tǒng)教學(xué)，有助于教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題，高效提高學(xué)生成績。