高考三角解答題“與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題”變式教學(xué)研究

陜西 安文華

高考三角解答題常見(jiàn)與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，可以作為目標(biāo)求值或求取值范圍，也可以作為條件解三角形.解三角形是處理三角形的邊角關(guān)系的有效手段，將面積與周長(zhǎng)置于問(wèn)題中，可使題目更加綜合和靈活，更方便一題多變、一題多解的變式教學(xué).

1.研究背景——三角解答題在高考中的考查特點(diǎn)

新課標(biāo)、新高考實(shí)施以來(lái)，高考對(duì)三角函數(shù)的考查呈現(xiàn)出新的特點(diǎn).一是三角試題的總體題量有所控制，如：2021年全國(guó)甲卷、乙卷均無(wú)三角解答題，理科試題僅一個(gè)選擇一個(gè)填空，文科試題一個(gè)選擇一個(gè)填空.2021年新高考Ⅱ卷只有一個(gè)三角解答題，沒(méi)有選擇填空題.二是部分試卷有結(jié)構(gòu)不良三角解答題，如：2021年北京卷第16題、2020年新高考Ⅰ卷第17題、2020年北京卷第17題.三是解答題的考查以正、余弦定理的應(yīng)用為主，無(wú)論題目初始條件或目標(biāo)狀態(tài)是否涉及面積與周長(zhǎng)，其本質(zhì)仍然是解三角形.

2020-2021年高考試題三角解答題知識(shí)考點(diǎn)

續(xù)表

2.研究目標(biāo)——三角解答題“與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題”

我們知道高考三角解答題主要考點(diǎn)為正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，即解三角形，解三角形的本質(zhì)是測(cè)量，是在三角形的邊與角及面積、周長(zhǎng)等基本量中給出若干求其他量或者其他量的取值范圍.知識(shí)方面，正、余弦定理反映了三角形邊與角的基本關(guān)系.能力方面，通過(guò)邊角互化、三角恒等變形、代數(shù)運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合，能夠反映考生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

三角形是最基本的幾何圖形，三角是連接幾何與代數(shù)的橋梁，通過(guò)邊角關(guān)系、面積與周長(zhǎng)，能夠構(gòu)建三角形的幾何特征及相關(guān)數(shù)量關(guān)系，與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題相當(dāng)于邊角關(guān)系“高階”問(wèn)題，能夠更加綜合地聯(lián)系各知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生閱讀理解能力、信息整理能力、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力有更高的要求，在復(fù)習(xí)備考中以這些問(wèn)題為主線能更有力的組織變式教學(xué)，更深入地理解相關(guān)知識(shí)，更熟練地掌握運(yùn)算方法和技巧.

3.解題探究——母題及變式題解法探究

我們知道，在高考復(fù)習(xí)中，一輪復(fù)習(xí)：以知識(shí)為主，解題鞏固.二輪復(fù)習(xí)：以解題為主，知識(shí)再現(xiàn).在教學(xué)中進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，是為了加深學(xué)生對(duì)知識(shí)及相互聯(lián)系的理解，提高學(xué)生的思維遷移能力和解題能力.在教學(xué)中進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，常規(guī)思路有：追根溯源，在充分挖掘考點(diǎn)和題源的基礎(chǔ)上，開(kāi)展變式訓(xùn)練；通過(guò)設(shè)計(jì)與母題的條件、情境類(lèi)似的問(wèn)題，開(kāi)展變式訓(xùn)練；通過(guò)變換問(wèn)題的提問(wèn)方式，開(kāi)展變式訓(xùn)練.

3.1 已知對(duì)邊對(duì)角

【例1】(2020·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

方法二：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

【變式】上題中求△ABC面積的最大值.

方法二：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

所以9=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤3(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào))，

我們可以看到求面積或求周長(zhǎng)這兩個(gè)方向總是類(lèi)似的，在這樣的問(wèn)題和變式求解過(guò)程中，方法一可以由正弦定理將目標(biāo)表示為角的一元函數(shù)求值域.方法二也可以由余弦定理構(gòu)造b+c與bc的關(guān)系，核心是將它們作為整體來(lái)看，通過(guò)基本不等式將“和”與“積”的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.方法三是結(jié)合幾何意義來(lái)判斷和估算，作為代數(shù)求解的輔助和檢驗(yàn)手段，起到相互印證的作用.這樣的考法在歷年高考題中是較經(jīng)典的，如下題：

【例2】(2013·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B；

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值.

【變式】上題中求ac的最大值.

所以由一題多解的變式訓(xùn)練可以幫助學(xué)生解一道題，會(huì)一類(lèi)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的最優(yōu)解.

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周長(zhǎng).

【例4】(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C；

上述例3，例4就是在已知對(duì)邊對(duì)角的條件下補(bǔ)上面積的條件來(lái)求周長(zhǎng)，作為代數(shù)運(yùn)算的方法，將兩邊之和與兩邊之積看作整體是常用技巧.

3.2 已知一邊一角

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

變式練習(xí)可以求△ABC周長(zhǎng)的范圍.通過(guò)一題多解、一題多變，可以在復(fù)習(xí)過(guò)程中用一個(gè)題目將散落的知識(shí)點(diǎn)像珍珠一樣串起，讓這些刻板的知識(shí)變成鮮活的經(jīng)驗(yàn)，讓這些工具在使用過(guò)程中磨礪出無(wú)往不利的鋒芒.

3.3 已知一邊及另兩邊之比

我們知道，已知一邊為定值，又知另兩邊之比，則這兩邊公共頂點(diǎn)的軌跡為“阿氏圓”，在此條件下，可以求解三角形面積或周長(zhǎng)的范圍，當(dāng)然如果還有其他條件，則變成求值問(wèn)題.

【例6】(2021·上海卷·18)已知△ABC中，A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c，且a=3,b=2c.

(2)若2sinB-sinC=1，求△ABC的周長(zhǎng).

【變式】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且bccosC+c2cosB=2ab.

方法一：由①出發(fā)，記△ABC的面積為S，

這樣發(fā)散思維的好處是勾連起各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如二次函數(shù)、正弦型函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容，開(kāi)闊視野和思路，為學(xué)生建立起路路通、路路達(dá)的信心，起到綜合復(fù)習(xí)的效果.

3.4 已知一邊及另兩邊之和

如果已知一邊及另兩邊之和，則這兩邊公共頂點(diǎn)的軌跡為橢圓.

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

這里代數(shù)解法的特點(diǎn)仍然是關(guān)注a+b與ab的關(guān)系，難點(diǎn)是控制角C的范圍，而條件較隱蔽，正是有了橢圓的幾何意義使得我們可以在預(yù)知答案的前提下克服思維的盲區(qū)和漏洞.

【變式2】在①△ABC的周長(zhǎng)為6，②asinB=2，③ab=4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三角形存在，判斷△ABC的形狀；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

本題為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，若選①，則有

其中，c=2,a+b=4的幾何意義為點(diǎn)C在以A,B為焦點(diǎn)的橢圓上，由幾何意義可判斷△ABC的存在性(略)，下面進(jìn)行證明.

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(cosC+1)，即ab(cosC+1)=6,

此時(shí)△ABC為等邊三角形.

若選③，則得到此時(shí)△ABC為等邊三角形(解略).

本題以已知一邊及另兩邊之和為例，結(jié)合幾何意義得橢圓的軌跡，由數(shù)形結(jié)合的方法能夠更直觀地判斷解的存在，這是我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的依據(jù)，先有信念上的判斷，后有邏輯的證明，是因?yàn)槲覀冃牛偶右赃壿嬜C明，在發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題這“四能”的培養(yǎng)過(guò)程中，邏輯推理固然重要，直觀想象更應(yīng)得到重視.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有多種評(píng)價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)，在確定恰當(dāng)?shù)男袆?dòng)方面，沒(méi)有明確的方法，需要學(xué)習(xí)者表達(dá)個(gè)人對(duì)問(wèn)題的觀點(diǎn)或信念，對(duì)促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)意義.

4.解三角形內(nèi)容的備考建議

三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，三角與向量、復(fù)數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何、參數(shù)方程與極坐標(biāo)等數(shù)學(xué)知識(shí)有著較為緊密的聯(lián)系，高考中呈現(xiàn)了這一內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的特點(diǎn).