妙用對(duì)數(shù)恒等式解題

廣東 龍 宇

對(duì)數(shù)恒等式是指：a=elna或a=lnea，通過(guò)該表達(dá)式可以溝通指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，在求解不等式的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，為構(gòu)造函數(shù)提供了更多的可能性.例如，在證明aea≤blnb型問(wèn)題時(shí)，可考慮如下證明方式：(1)以不等式的左邊為準(zhǔn)，可得aea≤lnb·elnb，其本質(zhì)即是對(duì)“b”利用對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行變形，此時(shí)即可構(gòu)造函數(shù)y=xex進(jìn)行求解；(2)以不等式的右邊為準(zhǔn)，可得ea·lnea≤b·lnb，其本質(zhì)即是對(duì)“a”利用對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行變形，此時(shí)即可構(gòu)造函數(shù)y=xlnx進(jìn)行求解.

一、判斷函數(shù)的奇偶性

【例1】判斷函數(shù)f(x)=log2(4x+16x)-3x的奇偶性.

分析：若直接利用定義進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程較為復(fù)雜，現(xiàn)考慮利用對(duì)數(shù)恒等式將表達(dá)式變形后再進(jìn)行判斷.

解析：對(duì)“3x”部分利用對(duì)數(shù)恒等式可得3x=log223x，

【變式1】判斷函數(shù)f(x)=loga(a2x+a4x)-3x(a>0且a≠1)的奇偶性.

【變式2】判斷函數(shù)f(x)=loga(a-2x+a-4x)+3x(a>0且a≠1)的奇偶性.

解析：類比上式可得3x=logaa3x，則有f(x)=loga[(a-2x+a-4x)·a3x]=loga(ax+a-x)，從而可得函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

二、構(gòu)造函數(shù)求最值

(一)試題及求解過(guò)程

【例2】已知函數(shù)f(x)=alnx+x+1.若不等式xef(x)≤ex對(duì)任意的x∈(1,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

解析：利用對(duì)數(shù)恒等式可得x-eex=ex-elnx.

將上述函數(shù)應(yīng)用經(jīng)典不等式：ex≥x+1可得y=ex-elnx≥x-elnx+1.

綜上，a的取值范圍是(-∞,-e].

(二)試題拓展

解析：利用對(duì)數(shù)恒等式可得x-mex=ex-mlnx.

將上述函數(shù)應(yīng)用經(jīng)典不等式：ex≥x+1可得ex-mlnx≥x-mlnx+1.

特別地，當(dāng)m∈(e,+∞)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)使得函數(shù)g(x)取到最小值.

拓展方向2：已知函數(shù)f(x)=ax-elnx+1.若不等式xef(x)≤ex對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

根據(jù)上述解題經(jīng)驗(yàn)可得x-eex=ex-elnx≥x-elnx+1.

綜上,a的取值范圍是(-∞,1].

三、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(僅供山東使用)·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略;(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：原函數(shù)具有兩個(gè)變量，分離的難度非常大，筆者嘗試?yán)脤?duì)數(shù)恒等式將其轉(zhuǎn)化為相同的結(jié)構(gòu)，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.

解析：利用對(duì)數(shù)恒等式可得aex-1=elna+x-1，則有函數(shù)f(x)=elna+x-1-lnx+lna.

條件f(x)≥1等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x.

對(duì)上述不等式右邊再次使用對(duì)數(shù)恒等式可得lnx+x=elnx+lnx.

觀察上述不等式構(gòu)造函數(shù)F(x)=x+ex，顯然可得函數(shù)F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

上述不等式等價(jià)于F(lna+x-1)≥F(lnx)，結(jié)合單調(diào)性可得原不等式等價(jià)于lna+x-1≥lnx.

此時(shí)即可實(shí)現(xiàn)參數(shù)分離：即有l(wèi)na≥lnx-x+1.

所以a的取值范圍為[1,+∞).

【變式】已知函數(shù)f(x)=eax-lnx+(a-1)x，若f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：條件f(x)≥0等價(jià)于eax+ax≥lnx+x.對(duì)不等式左邊利用對(duì)數(shù)恒等式變形可得eax+lneax≥lnx+x.

觀察上述不等式構(gòu)造函數(shù)F(x)=x+lnx，顯然可得函數(shù)F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.