由課本“題源”到章末“微專題”的教學(xué)感悟
——由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式引發(fā)的思考

四川 陳澤剛 杜海洋

實(shí)行新課改以來(lái),一線教師為改變以往的低效教學(xué)，不斷嘗試新的教學(xué)方法.近幾年,微專題教學(xué)盛行,普遍做法是將學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行同類堆積，所選例題大都來(lái)源于一些輔導(dǎo)資料書或網(wǎng)站上選題，進(jìn)而集中講解,以期提升這類試題的得分率.殊不知，這樣只會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生嚴(yán)重的挫敗感，尤其是新授課章末微專題，這類試題往往脫離學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生對(duì)這類試題的參與積極性也不高,從而造成很多試題一帶而過，學(xué)生理解問題似是而非,效果大打折扣.微專題的“題”的質(zhì)量直接影響教學(xué)效果，因此,對(duì)于微專題選擇的“題”應(yīng)慎重，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，逐步提升.

1.問題診斷，確定主題

微專題教學(xué)依然離不開解題，談到解題歷來(lái)是課堂教學(xué)的重點(diǎn)、核心.教師常常把注意力集中在“題型”及其技巧上，而且往往把技巧直接告訴學(xué)生,然后讓學(xué)生再通過模仿訓(xùn)練記住技巧，而對(duì)技巧的來(lái)龍去脈則語(yǔ)焉不詳,實(shí)際上，技巧往往是“可以意會(huì)不可言傳”的，就像專業(yè)運(yùn)動(dòng)技巧、魔術(shù)表演技巧等一樣,需要經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的、枯燥的千百次重復(fù).例如筆者發(fā)現(xiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的題型總結(jié)，因?yàn)槎兰o(jì)八九十年代，由于高考常常出以遞推數(shù)列為背景的壓軸題，所以對(duì)遞推數(shù)列的題型總結(jié)也成了重點(diǎn)關(guān)注考向，但因?yàn)榭刂齐y度、糾偏等,遞推數(shù)列在高考中又漸漸銷聲匿跡了，所以教學(xué)中也鮮少講解.但近幾年這個(gè)問題又熱鬧起來(lái),于是遞推數(shù)列的題型及其解題技巧又再次成為關(guān)注熱點(diǎn).在遞推數(shù)列的代數(shù)變換中,由于涉及“巧法”較多,而這些確實(shí)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),因此教師在技巧上大做文章,并總結(jié)以下典型題型：

(1)構(gòu)造法/待定系數(shù)法

具體分為四大類：常數(shù)型、一次多項(xiàng)式型、二次多項(xiàng)式型、指數(shù)型.

例如常數(shù)型：形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù)且pq≠0,p≠1)，構(gòu)造等比數(shù)列{an+k}.

(2)取倒數(shù)法

(3)特征方程

形如an+2=pan+1+qan(p,q為常數(shù),q≠0)的數(shù)列型.

教學(xué)上發(fā)現(xiàn)大部分是題型套題型，題型何其多，數(shù)列問題也逐漸成為題型的雜亂無(wú)章的堆砌.講授時(shí)教師只是把這些題型及方法技巧強(qiáng)加給學(xué)生，沒有對(duì)解法的來(lái)源有任何交代，使學(xué)生不能理解，只能依葫蘆畫瓢，結(jié)果是在以后遇到稍有變化的情境中，因?yàn)闆]有數(shù)學(xué)思想方法的支撐，“特技”失靈，“動(dòng)作”變形，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力成為“泡影”.在高考中出現(xiàn)“講過練過的不一定會(huì)，沒講沒練的一定不會(huì)”的局面.

2.課本“題根”，建構(gòu)模式

美國(guó)著名教育心理學(xué)家加涅曾經(jīng)指出，“教學(xué)的目的是幫助人們學(xué)習(xí).”微專題的主題確定后,接下來(lái)就是進(jìn)入起始問題的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié).起始問題的作用是在喚醒學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上建立起與目標(biāo)問題聯(lián)系的橋梁,從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好必要的思維鋪墊.因此，起始問題的設(shè)計(jì)應(yīng)該回歸教材，回歸到思維的起點(diǎn)，其中支撐專題的“題”是核心.本專題可以這樣設(shè)計(jì)：利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，筆者發(fā)現(xiàn)以上題型大多都在課本找到其“母題”，筆者將課本2007年人教A版新課標(biāo)教材必修《數(shù)學(xué)5》出現(xiàn)的相關(guān)類型“母題”進(jìn)行歸納組合，為了便于說明，下面標(biāo)注為引例，列舉如下：

【引例1】(課本30頁(yè)遞推數(shù)列定義)如果一個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加1,即an=2an-1+1(n>1)，…,其中an=2an-1+1(n>1)稱為遞推公式.

【引例3】(課本33頁(yè)習(xí)題2.1A組第4題)寫出下面數(shù)列{an}前5項(xiàng);

答案：略

【引例4】(課本34頁(yè)習(xí)題2.1B組第3題)已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出.

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；

答案：略

如果教師以課本題型作為素材，這樣能夠利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，并且教材在例習(xí)題的設(shè)置上精挑細(xì)選，特別是例習(xí)題的選擇順序上，有很好的示范性和導(dǎo)向性，尤其對(duì)思維的螺旋式上升培養(yǎng)極佳，下面筆者僅以課本遞推數(shù)列定義，即引例1所舉例進(jìn)行變式逐步探究，以饗讀者.

3.變式探究，內(nèi)化提升

變式1:已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n>1且n∈N*)，求an.

教學(xué)過程設(shè)計(jì):

這是一個(gè)遞推數(shù)列問題.一般地，抽象問題具體化，一般問題特殊化是數(shù)學(xué)中采用的基本策略.因此，先考查幾個(gè)特殊的具體問題，以便從中找到思路.

設(shè)計(jì)意圖:本例題源于課本引例1的改編，體現(xiàn)了用課本素材及方法研究通項(xiàng)公式的基本方法.本題是解決后面變式題的關(guān)鍵,分析一下這個(gè)遞推公式，如果沒有“1”那么這個(gè)通項(xiàng)公式就簡(jiǎn)單了.但式子結(jié)構(gòu)an-1的系數(shù)為2，我們?nèi)菀子^察出其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并可以采用“湊”的辦法即兩邊同加1，將數(shù)列化歸為等比數(shù)列，即an+1=2(an-1+1)，則數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1.

變式2：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

答案：an=2n+1-3

設(shè)計(jì)意圖：主要是為了鞏固變式1中獲得的方法，由變式1可知，等式兩邊同加3，轉(zhuǎn)化化歸為等比數(shù)列.

變式3：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+t(t為常數(shù)),求an.

設(shè)計(jì)意圖：在變式1,2的交流探討中，學(xué)生感悟這個(gè)問題的構(gòu)造技巧方法，這里t是將問題一般化，通過變形,等式兩邊同加t，即an+1+t=2(an+t)，對(duì)引出“待定系數(shù)法”很有啟發(fā).

變式4:已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+1，求an.

設(shè)計(jì)意圖:在前面幾個(gè)問題的鋪墊下，這一問題的解決已經(jīng)水到渠成.通過從特殊到一般地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考而得到這類題型的一般解法，即問題的本質(zhì)為結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化.

設(shè)計(jì)意圖:對(duì)前面待定系數(shù)法進(jìn)行鞏固，為后面取“倒數(shù)”型作鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖:本質(zhì)與變式5一樣，繼續(xù)為取“倒數(shù)”型作鋪墊，層層遞進(jìn)，給學(xué)生“搭臺(tái)”，即所謂“跳一跳，摘得到”.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比變式6，將變式7兩邊取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為變式5的類型，通過以上幾組簡(jiǎn)單變式，使學(xué)生感覺方法的“合情推理”結(jié)果，即在建立學(xué)生已有的知識(shí)和方法的基礎(chǔ)之上，自然生成.

4.遷移運(yùn)用，拓展思維

為了實(shí)現(xiàn)在微專題教學(xué)中“做一題，通一類；得一法，通一遍”的學(xué)習(xí)效果，還需要老師提供類型更豐富的題型，以便學(xué)生能夠把所學(xué)到的方法遷移到其他問題中，在體會(huì)方法的普遍性，使學(xué)生的思維得到進(jìn)一步的拓展.

由以上推導(dǎo)可知，數(shù)列結(jié)構(gòu)特征是變式的核心，有了以上思維策略，下面我們來(lái)探究引例5.

【引列5】已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對(duì)于這個(gè)數(shù)列的遞推公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

5.教學(xué)建議

數(shù)學(xué)微專題是通過題來(lái)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，通過題搭建思維的“橋梁”，通過題來(lái)獲得新的思想方法，一連串的相互關(guān)聯(lián)的題就形成了一張“良方”，專門治療思維的“疑難雜癥”，建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).因此,選題要具備主題性與針對(duì)性，凸顯認(rèn)知策略，以“易于學(xué)生理解”的方式呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一種“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的過程，這是數(shù)學(xué)微專題設(shè)計(jì)的核心所在.

在教學(xué)中，利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，從課本例習(xí)題出發(fā)，進(jìn)行變式教學(xué)，無(wú)論從方法還是內(nèi)容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時(shí)可培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力，并使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展.