高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的若干類型與評(píng)析

譚業(yè)靜

【摘要】近幾年來(lái)，我國(guó)各地高考始終堅(jiān)持綜合能力題的立意，全面深入考查學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)多維思想，積極探索試題的綜合創(chuàng)新思維設(shè)計(jì).創(chuàng)新型高考試題主要是以被動(dòng)問(wèn)題探索為探究核心，以問(wèn)題探究為發(fā)現(xiàn)途徑，以主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題為探究目的，綜合考查考生自主創(chuàng)新活動(dòng)意識(shí)和綜合創(chuàng)新能力，充分體現(xiàn)了高考的綜合考查主體作用和選拔性的功能.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);創(chuàng)新型;題型評(píng)析

引 言

相較于一些傳統(tǒng)綜合試題來(lái)說(shuō)，有著鮮明特點(diǎn)的創(chuàng)新型綜合試題要求應(yīng)試考生具備細(xì)致觀察、認(rèn)真分析、合理結(jié)構(gòu)類比、準(zhǔn)確推理歸納的綜合能力.創(chuàng)新型高考試題的類型主要有：類比、歸納研究型，開放探索型，實(shí)用型，合情推理型，趣味邏輯型等.

一、高考數(shù)學(xué)通過(guò)運(yùn)用創(chuàng)新型試題考查考生的自主創(chuàng)新能力

高考理科數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題主要是綜合測(cè)量檢查考生的自身發(fā)展性綜合學(xué)習(xí)能力.高考理科數(shù)學(xué)考試十分重視對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識(shí)的綜合考查.考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維意識(shí)主要表現(xiàn)在以下方面：對(duì)新穎的數(shù)學(xué)信息﹑復(fù)雜情境，能主動(dòng)選擇有效的理論方法和科學(xué)手段進(jìn)行分析、設(shè)問(wèn)并處理，綜合且靈活地應(yīng)用自己所學(xué)的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和教學(xué)方法進(jìn)行獨(dú)立的問(wèn)題思考﹑理論探索和問(wèn)題研究，提出各種解決實(shí)際問(wèn)題的具體思路方案﹐并能有創(chuàng)造性地通過(guò)分析和設(shè)計(jì)解決實(shí)際問(wèn)題.從近幾年的全國(guó)考題情況來(lái)看，創(chuàng)新型高考試題已逐漸成為當(dāng)前全國(guó)各個(gè)重點(diǎn)高考院校命題組努力追求的一個(gè)理想考試目標(biāo)之一.

二、高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的類型及其特點(diǎn)

（一）類比、歸納研究型

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生掌握解題思想的啟發(fā)性研究方法，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都會(huì)有很大的促進(jìn)作用.類比數(shù)學(xué)研究中的題型相較于傳統(tǒng)信息化的遷移研究題型來(lái)得更直接，它在題目中會(huì)直接給出明確的命題方向，學(xué)生將學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行類比、歸納和應(yīng)用就會(huì)得到更一般的數(shù)學(xué)結(jié)論.近些年，全國(guó)高考明顯地加強(qiáng)了對(duì)廣大高考生掌握歸納與發(fā)現(xiàn)類比知識(shí)能力的綜合考查，即由考生通過(guò)猜想掌握類比知識(shí)到歸納發(fā)現(xiàn)科學(xué)新知，滲透了從局部到整體、從特殊到一般的多種思維表達(dá)方法.

（二）開放探索型

開放探索型數(shù)學(xué)題符合越來(lái)越開放的高中教育發(fā)展理念，從考查學(xué)生思維方面而言，它其實(shí)是為了提升高中學(xué)生敢于大膽嘗試與自由猜想的思維能力.學(xué)生大膽演繹，自由聯(lián)想，嘗試探索并驗(yàn)證，將多種不同思維表達(dá)方式進(jìn)行整合，尋求無(wú)固定解法的解題途徑.開放探索題的解法別致、多樣，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)與思維，這是新的教育理念的具體體現(xiàn).

（三）實(shí)用型

把數(shù)學(xué)帶入學(xué)生切身體會(huì)的生活中去，是目前教學(xué)課程很關(guān)注的一個(gè)新理念.實(shí)用型數(shù)學(xué)試題是以社會(huì)生態(tài)環(huán)保、健康心理教育、經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展等各種社會(huì)經(jīng)濟(jì)背景知識(shí)為主要載體而設(shè)立的社會(huì)相關(guān)綜合數(shù)學(xué)試題，考查的是學(xué)生能否把握對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)問(wèn)題的有效處理轉(zhuǎn)化與有效運(yùn)用的綜合能力，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力及理解能力.綜合知識(shí)型高考試題類型主要包括高考學(xué)科內(nèi)各章節(jié)知識(shí)、學(xué)科知識(shí)綜合交匯及其他學(xué)科知識(shí)，考生要更快速地解答這一類考試題目，就得從題中構(gòu)造數(shù)學(xué)模型著手，利用數(shù)學(xué)知識(shí)框架將與其相關(guān)的比如函數(shù)、數(shù)列、數(shù)軸、概率等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合.高考綜合考試教學(xué)模式正在日益深入改革創(chuàng)新中，教師在針對(duì)高三年級(jí)學(xué)生重點(diǎn)復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，要指導(dǎo)學(xué)生去重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)藏的思想進(jìn)行探索，提升解題技巧.

例1 （2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第8題）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（? ）.

A.112?? B.114?? C.115?? D.118

評(píng)析 該題充分弘揚(yáng)我國(guó)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，可以不斷增強(qiáng)學(xué)生的文化自覺(jué)和文化自信，引導(dǎo)學(xué)生形成獨(dú)立的世界觀.在講解試題之前，教師可以讓學(xué)生先發(fā)表對(duì)于該題的意見(jiàn)和解題思路并進(jìn)行總結(jié)，寫到黑板上，如果有錯(cuò)誤，教師及時(shí)指出，這樣能夠讓學(xué)生更加明確地了解習(xí)題中所運(yùn)用到的知識(shí)，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn).

（四）合情推理型

合情推理是根據(jù)已有的某種數(shù)學(xué)理論事實(shí)推理結(jié)論，或根據(jù)個(gè)人已有數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)（包括數(shù)學(xué)理論實(shí)驗(yàn)或物理實(shí)踐）和某種數(shù)學(xué)直觀現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)推測(cè)而直接得到某些數(shù)學(xué)結(jié)果的一種數(shù)學(xué)推理.我們通過(guò)觀察現(xiàn)象，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等多種方法直接可以獲得某種新的數(shù)學(xué)推理結(jié)論.從發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)新知的角度來(lái)說(shuō)﹐合情推理命題顯得特別重要.因此，高考數(shù)學(xué)命題非常重視通過(guò)考查各個(gè)學(xué)生的合情理論推理思維能力水平來(lái)達(dá)到提高學(xué)生創(chuàng)新思維意識(shí)的基本目的.

例2 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5-125-12≈0.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是（? ）.

A.165 cm? B.175 cm? C.185 cm? D.190 cm

評(píng)析 該題一出，引起社會(huì)各界的關(guān)注，更是有許多網(wǎng)友運(yùn)用五花八門的方式進(jìn)行解答.由此可以看出，重視演繹推理在古代是非常了不起的，因?yàn)楣湃送幱谝环N需要努力維系生存的狀態(tài)，因此需要考慮實(shí)際問(wèn)題.比如羅馬需要通過(guò)進(jìn)攻維持帝國(guó)的強(qiáng)盛并且對(duì)征服的地區(qū)開展統(tǒng)治，因此高度重視軍事武器的改良、法律的完善，而輕視那些似乎不著邊際、沒(méi)有實(shí)用性的純數(shù)學(xué)理論.

（五）趣味邏輯型

邏輯學(xué)試題的研究對(duì)象主要是現(xiàn)代人們的邏輯思維活動(dòng)形式及邏輯規(guī)律，在現(xiàn)代邏輯思維科學(xué)中，主要類型有形式邏輯﹑辯證主義邏輯和數(shù)理邏輯.其中趣味形式邏輯命題是一種形式邏輯，它從基本概念理解﹑邏輯命題、推理、邏輯數(shù)學(xué)基本規(guī)律等幾個(gè)方面，通過(guò)通俗而有趣的經(jīng)典故事形式介紹趣味邏輯學(xué)的基本知識(shí)及其實(shí)際應(yīng)用.趣味邏輯命題展現(xiàn)了新的邏輯數(shù)學(xué)魅力，

可以培養(yǎng)廣大學(xué)生的邏輯創(chuàng)新思維意識(shí)，提高廣大學(xué)生快速學(xué)習(xí)趣味邏輯數(shù)學(xué)的興趣，幫助廣大學(xué)生快速打開掌握邏輯數(shù)學(xué)知識(shí)的智慧寶庫(kù)，培養(yǎng)學(xué)生掌握駕馭各種邏輯數(shù)學(xué)工具的技巧.趣味邏輯型數(shù)學(xué)試題主要是教育部考試中心近年來(lái)新開發(fā)的一種創(chuàng)新型數(shù)學(xué)試題，其主要特點(diǎn)之一是新穎有趣，突出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯思辨性﹑科學(xué)邏輯性和科學(xué)創(chuàng)新性.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)讓學(xué)生成為課堂的“主演”，在講解習(xí)題前，可以先讓學(xué)生陳述自己的解題思路，然后總結(jié)幾種解題思路寫到黑板上.如果只講解正確的解題思路，那么教師就先來(lái)用學(xué)生的解題思路，再把自己的解題思路講解給學(xué)生;如果學(xué)生的解題思路是錯(cuò)誤的，那么教師應(yīng)該告訴學(xué)生解題思路錯(cuò)誤的點(diǎn)與原因.這樣學(xué)生就能夠了解習(xí)題的題干、題眼，思考這道題用到哪些知識(shí)，從而鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn).

三、針對(duì)創(chuàng)新題型的學(xué)習(xí)啟示

（一）復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

學(xué)生在考前基礎(chǔ)學(xué)習(xí)和考后復(fù)習(xí)中要不斷探索鞏固所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，注重基礎(chǔ)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)需要有一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)認(rèn)知體系結(jié)構(gòu)，同時(shí)，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中可能出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤點(diǎn)也要加以重視，找出學(xué)習(xí)過(guò)程中所犯的錯(cuò)誤并及時(shí)對(duì)其進(jìn)行糾正.總之，學(xué)生應(yīng)全面復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以不斷提高分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和掌握解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力，并為不斷提高綜合數(shù)學(xué)能力水平打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

基礎(chǔ)知識(shí)是非常重要的，一些同學(xué)在做題的過(guò)程中由于對(duì)公式運(yùn)用不熟練導(dǎo)致解題思路不清晰，最終出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以應(yīng)當(dāng)在日常的練習(xí)中熟悉解題技巧，這樣才能確保得到基本分.邏輯思維能力固然重要，但是公式是基礎(chǔ)，要學(xué)會(huì)變通并熟練掌握，可通過(guò)反復(fù)練習(xí)不斷鞏固.當(dāng)前學(xué)生存在的主要問(wèn)題：第一，不會(huì)解題.一些學(xué)生因?yàn)橄氩坏竭@個(gè)考點(diǎn)運(yùn)用的是哪些知識(shí)點(diǎn)，分不清楚需要運(yùn)用的公式，加上受到思維定式的影響，最終導(dǎo)致不會(huì)解題.第二，解題速度慢.解題速度慢的主要原因是對(duì)于公式和基礎(chǔ)的解題思路不夠熟練，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶較為模糊.第三，部分學(xué)生在做題的過(guò)程中不夠細(xì)心，容易落入試題當(dāng)中的陷阱，又或者是由于馬虎出現(xiàn)錯(cuò)誤，比如忘了加符號(hào)，忘了結(jié)果取整等.因此學(xué)生要在日常的練習(xí)過(guò)程中對(duì)重點(diǎn)公式反復(fù)記憶，掌握最基本的推理能力.

（二）注重探索，提高理論綜合應(yīng)用能力

在平常的教學(xué)過(guò)程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生樹立靈活的綜合應(yīng)用思維意識(shí)和自主創(chuàng)新實(shí)踐意識(shí)，使他們?cè)谡n間學(xué)習(xí)和集中復(fù)習(xí)時(shí)善于理性化地發(fā)散數(shù)學(xué)思維，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思想和方法合理有效地運(yùn)用到日常數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)中去，提高自己分析并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合應(yīng)用能力.

例如，教師在講解立體幾何知識(shí)時(shí)，如果只讓學(xué)生通過(guò)想象就練習(xí)，難度會(huì)很大.因此，教師可以利用多媒體教學(xué)設(shè)備幫助學(xué)生建立直觀印象.例如，利用視頻課件和PPT動(dòng)畫效果向?qū)W生展示幾何變換，這樣就會(huì)讓學(xué)生對(duì)立體圖形有更加系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，能讓學(xué)生更加有效地了解抽象的知識(shí).雖然多媒體設(shè)備的使用課堂已經(jīng)有較長(zhǎng)的歷史，但是如果在高中課堂當(dāng)中不經(jīng)常使用，就失去了多媒體設(shè)備教學(xué)的意義.教師不僅需要充分、正確地運(yùn)用自己的知識(shí)多樣性向?qū)W生解釋抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要不斷增強(qiáng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的自信，這是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑.

（三）結(jié)合生活創(chuàng)新數(shù)學(xué)試題

教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力，使得學(xué)生能夠更加深入地理解知識(shí)，并且能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.比如，2021年數(shù)學(xué)試卷以“五育并舉”教育方針為指引，通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)考生關(guān)注生活，關(guān)注社會(huì)，關(guān)注勞動(dòng).第6題以北京冬奧會(huì)為背景宣傳志愿者服務(wù)，第17題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，設(shè)計(jì)了概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了考生對(duì)平均數(shù)、方差等知識(shí)的理解和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，同時(shí)還讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的學(xué)科價(jià)值.結(jié)合學(xué)生的生活設(shè)置數(shù)學(xué)問(wèn)題已經(jīng)較為常見(jiàn)，這類數(shù)學(xué)問(wèn)題旨在對(duì)學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力的考查，其源于學(xué)生的日常生活，卻又高于學(xué)生的日常生活，能夠有效地吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入試題所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境之中，引導(dǎo)學(xué)生的想象，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的親切感，從而使得學(xué)生主動(dòng)地將問(wèn)題的思考與實(shí)際生活結(jié)合起來(lái).

例如，某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)十分鐘的概率是（? ）.

A.13?? B.12?? C.23?? D.34

在解答此題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題背后所蘊(yùn)含的生活，代入幾何概型概率計(jì)算公式，最終得到答案12.這樣不僅對(duì)學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力進(jìn)行了考查，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活的理念.

（四）模型法解題

萬(wàn)變不離其宗，學(xué)生在解題過(guò)程中要注重將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合，了解題目中滲透的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.因此，教師要教會(huì)學(xué)生注意認(rèn)真審題，了解命題人的意圖.針對(duì)創(chuàng)新型的高考試題，我們只要在科學(xué)方法的引導(dǎo)下，就一定會(huì)有很大程度的提高，所以提出了利用模型法解決此類問(wèn)題.

創(chuàng)新型的題目雖然看起來(lái)較為新穎，但是最終的思想也是考查最基本的高中知識(shí)，所以我們解題的過(guò)程中需要熟悉題型，找到清晰的思路，然后將這個(gè)題目進(jìn)行歸類，最終把它歸結(jié)為某一類考試題型.例如，將某一創(chuàng)新題型歸結(jié)為考查圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)，掌握這一模型就知道圓錐曲線的考點(diǎn)，如求焦點(diǎn)問(wèn)題等，有了一定的解題思路，解答題目時(shí)就不會(huì)出錯(cuò).準(zhǔn)確答題的關(guān)鍵就是仔細(xì)審題并進(jìn)行深入思考和分析，謹(jǐn)防疏漏，要注意題型的變化，最終，利用模型法順利解開謎題.

結(jié)束語(yǔ)

創(chuàng)新型試題已經(jīng)成為高考一種重要的題型，在對(duì)于人才的選拔、立德樹人理念的發(fā)展以及教學(xué)引領(lǐng)等各個(gè)方面都將起到積極的推動(dòng)作用.因此，我們始終堅(jiān)持在未來(lái)高考命題中研究和開發(fā)多種不同類型的創(chuàng)新型試題，對(duì)考生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行考查，這樣可以有效地幫助廣大考生積極備戰(zhàn)自己的高考，以便順利地考上理想的大學(xué).

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