“美學(xué)”視角下解題教學(xué)的設(shè)計(jì)研究*
——以兩道數(shù)列高考題為例

權(quán)亭亭 李孝誠

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,235000)

本文以兩道數(shù)列高考題為例，對“美學(xué)”視角下解題的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探究．

一、“數(shù)學(xué)美”的幾種典型表現(xiàn)形式及教學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué),而美學(xué)是一門人文社會科學(xué),看似毫無聯(lián)系的兩門學(xué)科,卻彼此聯(lián)系、相互貫通,構(gòu)成一種“數(shù)學(xué)美”.數(shù)學(xué)與美是分不開的,“美學(xué)”早已作為數(shù)學(xué)研究的原則融入到數(shù)學(xué)中.

“數(shù)學(xué)美”的具體形式包括簡潔性、和諧性、奇異性、對稱性以及邏輯嚴(yán)密性等,也就是說,“數(shù)學(xué)美”是一種理性、具體、形象、生動的美.如果教師可以在課堂中合理運(yùn)用“美學(xué)”講授數(shù)學(xué)高考題,讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)美”,那么學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣將是穩(wěn)定而持久的.

1.激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

心理學(xué)研究表明,學(xué)生對于美的各種形式的感受,會使得大腦迅速進(jìn)入到興奮狀態(tài),產(chǎn)生愉快的心情.如果在教學(xué)中靈活應(yīng)用“數(shù)學(xué)美”,這將會使數(shù)學(xué)課堂氣氛活躍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.那么,如何將“數(shù)學(xué)美”的思想滲透于課堂中呢?這就要求教師做足課前準(zhǔn)備,將數(shù)學(xué)與美學(xué)有機(jī)結(jié)合,深入探究“數(shù)學(xué)美”，將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程設(shè)計(jì)為發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”,鑒賞“數(shù)學(xué)美”,創(chuàng)造“數(shù)學(xué)美”的過程,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

“數(shù)學(xué)美”的一個(gè)重要教學(xué)價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造美的能力.要通過引導(dǎo)學(xué)生并提示解決問題的思路,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)美,進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生選擇合適的“數(shù)學(xué)美”的形式,關(guān)聯(lián)問題中的數(shù)學(xué)要素,逐步引導(dǎo)出學(xué)生認(rèn)知中的美,完成創(chuàng)造美的過程.這不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

3.提高解決問題能力

“數(shù)學(xué)美”是一種形象的美,比如處處對稱的圓、穩(wěn)定的三角形、永不相交的平行線等等.要盡可能地契合學(xué)生心理活動轉(zhuǎn)承啟合的環(huán)節(jié)發(fā)生數(shù)學(xué)知識,通過教學(xué)設(shè)計(jì),達(dá)到透過學(xué)生的認(rèn)知方式發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識的目的[1].可以從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及“數(shù)學(xué)美”多個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生,從審美的角度分析解題方法的優(yōu)劣,以創(chuàng)造新的解題方法,使問題完美解決,從而提高學(xué)生解決問題的能力.

4.陶冶學(xué)生思想情操

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,往往會強(qiáng)調(diào)解題的方法,其實(shí)就是數(shù)學(xué)的思想,數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識中.數(shù)學(xué)題目眾多,學(xué)生不可能每個(gè)都掌握,因此,應(yīng)傳遞數(shù)學(xué)思想,學(xué)生應(yīng)做到舉一反三.“數(shù)學(xué)美”作為一種數(shù)學(xué)思想發(fā)揮著潛移默化的作用,要對“數(shù)學(xué)美”有深刻的理解,將“數(shù)學(xué)美”與教學(xué)有機(jī)結(jié)合,聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行探索,幫助學(xué)生深化對知識的理解,陶冶學(xué)生的思想情操.

二、幾種典型的“數(shù)學(xué)美”

1.對稱美

數(shù)學(xué)中存在許許多多的對稱美,包括圖形和數(shù)式的結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)的概念、函數(shù)的圖象等等.例如“<,=,>”所連接的兩邊構(gòu)成對稱美的要素,在數(shù)式的結(jié)構(gòu)中抽象出對稱美,利用不等號的對稱性,引導(dǎo)學(xué)生對稱美的審美意向,發(fā)現(xiàn)左右兩邊結(jié)構(gòu)不一致,從而想到解決問題的本質(zhì),就是要使左右結(jié)構(gòu)保持一致,想方設(shè)法地將其中一邊進(jìn)行化簡或計(jì)算,使問題得以解決.在這一教學(xué)過程中,要牢牢把握學(xué)生的心理內(nèi)驅(qū)力,將數(shù)學(xué)的對稱美滲入到學(xué)生的認(rèn)知中.再如數(shù)學(xué)中成對出現(xiàn)的概念,增函數(shù)與減函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、收斂與發(fā)散等等,體現(xiàn)了由一般到特殊的演繹法和由特殊到一般的歸納法,可以將對稱美的思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)概念的講解,使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念,感受數(shù)學(xué)知識的樂趣.數(shù)學(xué)的這種對稱美,不僅給人以視覺上的享受,更為解題提供有利的信息,有助于從創(chuàng)造對稱關(guān)系上把握問題的整體性[2].

2.和諧美

格式塔心理學(xué)派的奠基人韋特海默在其著作《創(chuàng)造性思維》中論述了創(chuàng)造性思維的核心,他認(rèn)為:“創(chuàng)造性思維的核心是思維者關(guān)注問題的整體,理解問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu),將部分看作整體,把握整體與部分之間的聯(lián)系”.社會與自然總是想方設(shè)法地使自己成為一個(gè)和諧的整體,數(shù)學(xué)更是這樣,因而反映到數(shù)學(xué)上則表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的和諧美,即多樣性的統(tǒng)一[3].在數(shù)學(xué)高考題中,命題者所給出的條件也不是雜亂無章的,是具有一定聯(lián)系的,引導(dǎo)學(xué)生探究試題整體與部分的和諧聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵.

三、高考數(shù)學(xué)解題的教學(xué)設(shè)計(jì)示例

1.學(xué)情分析

以2021年高考全國乙卷文科第19題和2015年高考安徽卷理科第18題為例.在設(shè)計(jì)高考數(shù)學(xué)習(xí)題課時(shí),需要厘清以下幾個(gè)問題:首先,這兩道高考題是否有講解的必要?因?yàn)樵诟呖紱_刺階段,時(shí)間是非常緊張的,如果教師在課前沒有將高考題研究透徹,就拿到課堂上去講授,這必定會事倍功半,影響課堂的效率;如果這兩道高考題班上有85%的學(xué)生已經(jīng)掌握,那么這道題也就沒有講解的必要.其次,“數(shù)學(xué)美”的思想是否適用于這兩道題?因?yàn)椤皵?shù)學(xué)美”只是化繁為簡的一種思想,不是所有的問題都可以通過“數(shù)學(xué)美”來求解的.第三,這兩道題的難點(diǎn)在哪里?再者,學(xué)生的困惑是什么?根據(jù)對安徽省淮北市某中學(xué)的高三班調(diào)查發(fā)現(xiàn),班級中只有5%的學(xué)生得到滿分,因此,這兩道題有講解的必要.

2.解法分析

對參考答案進(jìn)行分析,參考答案是借助猜想獲取一個(gè)結(jié)論,再利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證猜想,這種方法是可行的.但是這種解題方法很麻煩，在高考中,運(yùn)用這種思路解題,學(xué)生一方面要對猜想的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,另一方面又可能對自己的猜想產(chǎn)生懷疑,而且運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證猜想需要進(jìn)行冗長的計(jì)算.在這樣的壓力下,許多學(xué)生都出現(xiàn)困惑,影響情緒[4].對參考答案進(jìn)行否定,這就需要找到一種不同于參考答案的解法,這種解法可以易于學(xué)生理解.

(1)對稱美

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

①

②

生1:①式是n項(xiàng)和,②式只有一項(xiàng),故可以將① 式化簡為一項(xiàng),這樣兩邊進(jìn)行比較更容易一些.

師:比較兩邊的大小,需要將一邊化簡成一個(gè)具體的表達(dá)式進(jìn)行比較.但是① 式并不是一個(gè)等差或等比數(shù)列,那么如何將① 化簡為一項(xiàng)呢?

從“數(shù)學(xué)美”的形式看,不等號的對等性正是一種“對稱美”的體現(xiàn).在化簡的定勢思維下,學(xué)生可以想到將左右兩邊化簡為形式結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式,從而達(dá)到解題的目的.由此可以看出,數(shù)學(xué)中的“對稱美”很好地使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決此類題型的思路.

(2)和諧美

師:給大家5分鐘的時(shí)間思考一下這個(gè)題目,要證明不等式,能否通過將數(shù)量值放大或者縮小,將其變成一種相等的關(guān)系呢?(不等與相等兩者之間是相對的),首先將不等式分成兩部分

①

②

生1:我們想用放縮法對①式和②式進(jìn)行放縮,可是①式過于復(fù)雜,是n項(xiàng)積,而②式只有一項(xiàng),太簡單.

③

④

式是一個(gè)整體,我不知道接下來該如何比較.

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的過程意在促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生“分項(xiàng)放縮”的數(shù)學(xué)觀念,從“數(shù)學(xué)美”的形式看,將不等號通過分項(xiàng)放縮,直至放縮到相等,這正是一種“和諧美”的體現(xiàn).在“和諧美”的審美意向指導(dǎo)下,將④式作為目標(biāo),通過分項(xiàng)放縮改變條件③的形式,把握整體與部分之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生完成“完形”的心理內(nèi)驅(qū)力.因此,在解題教學(xué)過程中,滲透“對稱美”與“和諧美”的審美意向是非常重要的.在數(shù)學(xué)“對稱美”與“和諧美”的審美意向的支持下,將難點(diǎn)一層層鋪墊與展開,步步引導(dǎo)與啟發(fā),體現(xiàn)了教師在數(shù)學(xué)問題解決過程中處理問題的創(chuàng)造性[5].