芻議以邏輯思維能力為目標的章節(jié)復(fù)習(xí)
——以數(shù)列章節(jié)復(fù)習(xí)為例

盧紅衛(wèi)

(江蘇省張家港市外國語學(xué)校,215600)

布盧姆提出的“掌握學(xué)習(xí)”策略是以單元作為教學(xué)基本單位的[1]．單元教學(xué)的實施，首先是將單元教學(xué)目標分解到課時教學(xué)過程中去,但僅僅完成課時的分節(jié)目標還遠遠不能代替單元目標,在單元教學(xué)分課時授課完成以后,設(shè)置一至兩節(jié)單元綜合課,然后進行單元形成性評價,對提高單元達成度,落實單元高層次教學(xué)目標有重要作用．

本文以數(shù)列章節(jié)復(fù)習(xí)為例談?wù)勔赃壿嬎季S能力提升為目標的章節(jié)復(fù)習(xí)．

一、架構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò),延伸思維廣度

1.知識方法多總結(jié)

在傳統(tǒng)教學(xué)中，往往是結(jié)論先行,教師習(xí)慣于將做好的總結(jié)直接呈現(xiàn)給學(xué)生,學(xué)生因為沒有經(jīng)過自我的實踐領(lǐng)悟,概念的內(nèi)涵與拓展也無從談起．因此,應(yīng)改變教學(xué)理念和策略,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主動者,放手發(fā)動學(xué)生做好章節(jié)總結(jié),進行收集歸納,構(gòu)建有序、結(jié)構(gòu)清晰的知識網(wǎng)絡(luò)．例如,從定義、通項公式、前n項和的公式、兩個數(shù)的等差(等比)中項等方面,都可看出等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的,性質(zhì)也有許多相似之處,因此可以讓學(xué)生去設(shè)計圖表,在類比思想的指導(dǎo)下,探尋兩種數(shù)列的共性特征,作出等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的知識體系的圖表．把書本知識變?yōu)樽约旱闹R,是邏輯思維能力提升的必備條件．

在做好基本概念總結(jié)的同時,也要做好基本方法的總結(jié)．只有掌握基本方法,才能靈活地應(yīng)用基本概念．例如,在數(shù)列遞推關(guān)系下,有哪幾種常見的求通項公式的方法?數(shù)列求和有哪些方法?抓住通項公式的類型,如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行求和?這些都是需要總結(jié)的．做好總結(jié)正是學(xué)生發(fā)揮主體作用的過程,這樣可使學(xué)生對基本概念、基本方法理解更深刻,為邏輯思維能力進一步提升打下堅實的基礎(chǔ)．

2.課本素材再利用

很多教師認為教科書內(nèi)容單一,錯誤理解課改中“不是教教材,而是用教材教”的真正意圖．因此在課改背景下,教學(xué)中應(yīng)注重對教材中的例習(xí)題和閱讀材料進行拓展引申,不僅可以形成很好的課堂教學(xué)的素材和資料,更重要的是提高學(xué)生的邏輯思維的能力．其實,高考試題的命制也是很看重在課本中找母題和資源的．

例如，課本閱讀材料中介紹斐波那契數(shù)列,意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,…,其從第三項起,每一項等于它前面兩項的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”．為加深對“斐波那契數(shù)列”的理解,可作如下拓展引申:

(斐波那契數(shù)列某一項是其后一項與其前一項之差,即an+1=an+2-an)

(斐波那契數(shù)列某一項是其前二項的和,即an+2=an+1+an)

問題3a1+a3+…+a2n-1=a2n和Sn=an-1是否成立?若成立,請證明．

以上問題主要是引導(dǎo)學(xué)生從猜想與利用性質(zhì)論證的角度去理解斐波那契數(shù)列,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力．

對于章節(jié)復(fù)習(xí)課,打好基礎(chǔ)是關(guān)鍵,而如何利用好教材是打好基礎(chǔ),促進邏輯思維能力提升的重要渠道和方法．

二、提升運用能力,加深思維深度

1.深入挖掘概念本質(zhì)

數(shù)列是特殊的函數(shù),研究數(shù)列問題需注意到數(shù)列的函數(shù)背景,可以從函數(shù)的觀點出發(fā)，動態(tài)地、直觀地研究數(shù)列的一些問題．?dāng)?shù)列的通項公式和前n項和公式都可以看作是以項數(shù)為自變量的函數(shù),可以引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點去認識和處理數(shù)列問題,把函數(shù)的研究方法用到數(shù)列中去,特別需注意的是，函數(shù)的自變量是連續(xù)變化的,數(shù)列的自變量是離散變化的,即數(shù)列中n∈N*的要求．

在函數(shù)背景下去研究數(shù)列性質(zhì),展開思維邏輯鏈,能抓住數(shù)列性質(zhì)的本質(zhì)．函數(shù)研究的方式常以以下形式展開：定義——表示法——性質(zhì)——應(yīng)用．也可以引導(dǎo)學(xué)生按類似的方式來研究數(shù)列:數(shù)列的定義——數(shù)列的通項公式——數(shù)列的性質(zhì)——數(shù)列的應(yīng)用．學(xué)生通過對研究方式的理解與應(yīng)用,形成主動探究的學(xué)習(xí)方式,去理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),領(lǐng)悟概念教學(xué)中所滲透的數(shù)學(xué)思想方法,才能站得高,看得遠,從而真正提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

2.發(fā)揮典型例題的作用

提高學(xué)生的解題能力需以解題為中心,因此,選擇例題要有針對性,選擇的例題對章節(jié)知識有一定的覆蓋作用．同時,例題具有典型性,可以以點帶面,舉一反三,觸類旁通．從一個問題出發(fā),對本章節(jié)的知識與方法之間進行比較和聯(lián)系,起到理順知識的目的,也要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力．

例2已知數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+1,求數(shù)列{an}的通項公式．

解法3nan+1=(n+1)an+1,(n-1)an=nan-1+1,兩式相減可得nan+1-(n-1)an=(n+1)an-nan-1,化簡得nan+1+nan-1=2nan,an+1+an-1=2an,因此{an}是等差數(shù)列,易得a2=5,所以an=3n-1.

例題中的遞推關(guān)系結(jié)構(gòu)簡潔,卻有豐富的概念外延.解法1主要是運用累加法,解法2主要是如何構(gòu)造相鄰項,解法3用n-1替代n得到一個新的等式,相減可得相鄰三項的關(guān)系,即回到了等差中項的定義．為鞏固解決此類問題的通性解法,還可將例題的條件適當(dāng)拓展引申:

(1)已知數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+2)an+2,求數(shù)列{an}的通項公式.

(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an+n,求數(shù)列{an}的通項公式.

在類比思維中歸納方法．典型例題的設(shè)計是逐步深入的例題,也可設(shè)計變式拓展的典型例題,還可以設(shè)計一題多解、一題多變、多題一解等典型例題．

三、突破常規(guī)數(shù)學(xué)邏輯思維,激發(fā)思維創(chuàng)新

在針對數(shù)列中對n的奇偶性進行討論探求數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的特點時,教學(xué)中常常會選用以下問題:

例3已知數(shù)列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,則此數(shù)列前60項的和為______．

有一節(jié)課教學(xué)片段如下:

教師在黑板上給出上例題．

生:老師,這道題是否是漏條件了,怎么沒有a1的值?

師:題目沒有錯,再想想．

生:那就令a1等于1或者a1等于0,答案應(yīng)該是一樣的．

師:非常好!那么我們能看出奇數(shù)項和偶數(shù)項各有什么特點?

生:當(dāng)a1=1時,各奇數(shù)項均為1,當(dāng)a1=0時,各奇數(shù)項分別為0，2，0，2，0，2，0，2，…我猜想是相鄰兩個奇數(shù)項的和為2．偶數(shù)項還看不出?

師:相鄰兩個奇數(shù)項的和為2是正確的．偶數(shù)項之間的關(guān)系如何尋找?除了特值驗證，還可以怎么操作?

生:對n的奇偶進行討論…

此時，班級學(xué)生正在草稿上演算,突然有學(xué)生提出:若相鄰奇數(shù)項的和為2是正確的,就不要找偶數(shù)項之間的關(guān)系了,因為

容易得出a1+a59=2,S60=1 830.

師:非常好!你的想法完全正確…

在教學(xué)過程中,實際課堂的生成并非要完全按照教學(xué)預(yù)設(shè)進行,而是要促成學(xué)生思維的生成.關(guān)鍵是要讓學(xué)生學(xué)會思考,善于表達自己的想法．教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生提出問題,調(diào)動學(xué)生的積極性,對學(xué)生在解決問題采用的非常規(guī)模式和具有創(chuàng)新的思維應(yīng)及時評定和表揚．即使學(xué)生的非常規(guī)思維方法有誤,但糾正的過程也會有所啟發(fā),對數(shù)學(xué)邏輯思維能力的提升是大有裨益的．

綜上所述,以邏輯思維能力提升為目標的章節(jié)復(fù)習(xí)課不是單純的習(xí)題教學(xué),教師要重視對教學(xué)內(nèi)容的分析,重視教學(xué)迫切需要解決的問題,制定明確而能提升學(xué)生關(guān)鍵能力的教學(xué)目標,更加合理地設(shè)計教學(xué)方案．引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識進行梳理和聯(lián)系,使學(xué)生對有關(guān)知識及其內(nèi)在的聯(lián)系有更清晰的認識,使掌握的知識系統(tǒng)化．通過對運用知識解決問題的實踐,掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法;通過對各種數(shù)學(xué)方法的概括和提煉,感悟數(shù)學(xué)思想的本質(zhì),真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)．