角標(biāo)變量與范圍集的關(guān)系表示形式及其應(yīng)用

吳 炎

(海南熱帶海洋學(xué)院 a.學(xué)報(bào)編輯部；b.理學(xué)院，海南 三亞 572022)

0 引言

在科技論著中，不同的量之間的關(guān)系經(jīng)常使用公式(用數(shù)學(xué)符號(hào)表示幾個(gè)量之間的關(guān)系的式子[1])進(jìn)行表示，譬如，自變量與因變量的關(guān)系，可用函數(shù)式進(jìn)行表示；不同量之間的大小關(guān)系可用量之間的不等式進(jìn)行表示；自變量與其范圍的關(guān)系，可用自變量與表示其范圍的集合的關(guān)系式，或自變量的不等式進(jìn)行表示，等等。由于科技論著中表示量之間的公式以及構(gòu)成公式的符號(hào)，廣泛使用了量符號(hào)上附加的角標(biāo)或角標(biāo)變量，因此正確使用量符號(hào)上附加的角標(biāo)或角標(biāo)變量，直接影響到論著中公式的正確性與科學(xué)性，進(jìn)而影響到論著的內(nèi)涵質(zhì)量。這不僅對于作者與編輯糾正論著錯(cuò)誤內(nèi)容并提升論著質(zhì)量具有現(xiàn)實(shí)意義，對于高校相關(guān)學(xué)科教師指導(dǎo)學(xué)生論文寫作、讓學(xué)生從中受益具有重要的教育意義和價(jià)值。

由于在眾多量和符號(hào)中絕大多數(shù)變量均為有具體物理含義的實(shí)體變量，故我們重點(diǎn)針對當(dāng)前文獻(xiàn)未曾論及的變量的角標(biāo)變量與取值范圍關(guān)系的表示形式及其在編輯加工中的應(yīng)用問題進(jìn)行了深入研究，主要給出了量(含實(shí)體變量)的角標(biāo)變量、組合角標(biāo)變量等定義，以及實(shí)體變量的角標(biāo)變量與取值范圍關(guān)系的規(guī)范表示形式，歸納了這類關(guān)系在公式中已經(jīng)自明的常見類型，同時(shí)運(yùn)用其表示形式、相關(guān)定義、專業(yè)知識(shí)和國家標(biāo)準(zhǔn)等，對深層次的角標(biāo)變量與取值范圍關(guān)系的錯(cuò)誤表示公式進(jìn)行識(shí)別和糾正，為作者修改論著以及編輯對科技論著中同類問題的編輯加工提供必要的糾錯(cuò)依據(jù)與方法技巧。

1角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的表示形式及相關(guān)問題

1.1角標(biāo)變量和相關(guān)組合變量的定義

為了方便，本文除了使用量、變量外，仍用實(shí)體變量定義[11]34，使用幾個(gè)常見數(shù)集記號(hào)：+、、、、、分別表示正整數(shù)集、非負(fù)整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集[13]；并且記(n)={0,1,…，n}和={1,2,…，n}。

1.1.1量的角標(biāo)變量和實(shí)標(biāo)組合變量

定義1(角標(biāo)變量和實(shí)標(biāo)組合變量)把位于量符號(hào)的左上、下角或右上、下角位置的，在可數(shù)集或不可數(shù)集的非空子集范圍內(nèi)取值變化的變量稱為量的角標(biāo)變量。角標(biāo)變量的取值范圍也稱為角標(biāo)變量的范圍集。把一個(gè)角標(biāo)變量α作為另一個(gè)實(shí)體變量(或變量)Q的角標(biāo)而構(gòu)成的新的變量(如αQ，或αQ，Qα，Qα)，叫做實(shí)標(biāo)組合變量(或量標(biāo)組合變量)。

注意2這里所謂的可數(shù)集就是與正整數(shù)集對等的集合(即能與正整數(shù)集建立起一一對應(yīng)關(guān)系的集合)[15]20，不能與正整數(shù)集對等的集合都稱為不可數(shù)集[15]20。譬如，數(shù)集+、、、等都是由數(shù)組成的可數(shù)集[15]21；而、和n(n∈+)以及實(shí)數(shù)區(qū)間(a,b)(a≠b)等都是由數(shù)組成的不可數(shù)集[15]21。由非數(shù)的對象為元素構(gòu)成的可數(shù)或不可數(shù)集也數(shù)不勝數(shù)，如地球上某一民族所有成員構(gòu)成的集合是可數(shù)集，地球上所有水分子構(gòu)成的集合是不可數(shù)集，如此等等。

1.1.2角標(biāo)變量符號(hào)常用字母

余夢生在對國家標(biāo)準(zhǔn)的解讀中指出“當(dāng)量的下標(biāo)所表示的是物理量的符號(hào)時(shí)，則同物理量的符號(hào)一樣，仍用斜體……當(dāng)下標(biāo)為表示數(shù)字(含連續(xù)數(shù))的字母時(shí)，則用斜體字母”[6]。因此，除了特殊規(guī)定外，單個(gè)角標(biāo)變量一般使用斜體字母，且使用小寫字母較多，如i、j、k、m、n、α等；但在特殊情況下，也常使用大寫斜體字母或其他符號(hào)，譬如，歐氏空間n(n∈+)中含某一給定點(diǎn)P的開鄰域Up(?n)[15]42，角標(biāo)變量P用大寫斜體字母表示。

1.1.3組合角標(biāo)變量

定義2(組合角標(biāo)變量)角標(biāo)變量與另外的角標(biāo)(含所有作為角標(biāo)的變量，如角標(biāo)變量、實(shí)體變量等，以及非變量的角標(biāo)符號(hào)、字母等)構(gòu)成的新的角標(biāo)變量，稱為組合角標(biāo)變量。在這里，角標(biāo)變量與角標(biāo)變量構(gòu)成的、實(shí)體變量與角標(biāo)變量構(gòu)成的新的角標(biāo)變量，可分別叫做標(biāo)標(biāo)組合的角標(biāo)變量和實(shí)標(biāo)組合的角標(biāo)變量。

例1在矩陣A=(aij)n×n(n∈中，實(shí)體變量aij(A中第i行第j列元素)的角標(biāo)變量ij是由角標(biāo)變量i與角標(biāo)變量j構(gòu)成的組合角標(biāo)變量，i和j的范圍集都是

例3復(fù)數(shù)域(或?qū)崝?shù)域)上所有m×n矩陣(m,n∈+)構(gòu)成的向量空間m×n(或m×n)中，上角標(biāo)m×n就是由變量m與n構(gòu)成的組合角標(biāo)變量(注意m×n不是或的指數(shù))，m與n的取值范圍均為+。

再如，為了進(jìn)行矩陣運(yùn)算和證明，經(jīng)常把給定的矩陣進(jìn)行分塊。

例4假設(shè)把n階方陣A分塊為

1.2角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的表示形式

由定義1可知，角標(biāo)變量的范圍集可以是不可數(shù)集、可數(shù)集或有限集。因此下面根據(jù)國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)、專業(yè)知識(shí)和表示集合的字母與符號(hào)[13]，對角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的表示問題進(jìn)行討論，給出如下規(guī)范的表示形式，為作者和編輯在科技論著的修改工作中識(shí)別相關(guān)錯(cuò)誤提供方便。

1.2.1元素與集合關(guān)系的表示形式

無論角標(biāo)變量α的范圍集M是可數(shù)集、不可數(shù)集還是有限集，角標(biāo)變量α與范圍集M的關(guān)系都可以使用元素與集合的關(guān)系進(jìn)行表示：α∈M。

在許多研究領(lǐng)域中，上述表示形式常用于角標(biāo)變量的范圍集為不可數(shù)集的情形。

例5假設(shè)角標(biāo)變量β的范圍集B為非數(shù)組成的不可數(shù)集(可數(shù)集或有限集類似處理)，且B與對等。于是可通過映射方法把B中的元素進(jìn)行編碼進(jìn)而可用編碼來代替B中元素，如令xB(編碼)表示B中與中實(shí)數(shù)x一一對應(yīng)的元素，則B可寫成B={xB|x∈}，于是角標(biāo)變量β與范圍集B的關(guān)系也可表示為β∈{xB|x∈}。

例6[16]設(shè)G是實(shí)數(shù)域上所有n階可逆矩陣做成的群(不可數(shù)集)，構(gòu)作G到G的一類變換組成的集合：H={τX|x∈G,τX:G→G,A→XA=τX(A)}，則按照映射合成(變換乘法)法則有τXY(A)=(XY)A=X(YA)=τXτY(A)(?X,Y∈G)也是G到G的變換，即τXY∈H，其中由于G是群必有XY∈G。這時(shí)，τXY可以看作是組合角標(biāo)變量XY確定的變換。因此，變換τXY的角標(biāo)變量XY與范圍集的關(guān)系可表示為XY∈G。

1.2.2不等式表示形式

當(dāng)角標(biāo)變量的范圍集是由數(shù)構(gòu)成的、元素可比較大小的可數(shù)集或不可數(shù)集或有限集(如有理數(shù)集、整數(shù)集及其子集，實(shí)數(shù)集及其子集等)時(shí)，則角標(biāo)變量與范圍集的關(guān)系均可使用該變量與其范圍集中元素的不等式進(jìn)行表示，而且這種表示形式比較直觀也經(jīng)常在科技論著中被使用。但由數(shù)構(gòu)成的、元素不可比較大小的數(shù)集(如復(fù)數(shù)集及其子集)，不能使用不等式表示形式。

下面以實(shí)體變量的2個(gè)角標(biāo)變量α、β(不一定是整數(shù))為例，歸納出角標(biāo)變量α(或β)與其范圍集M(或H)關(guān)系的不等式表示形式(單個(gè)以及多個(gè)角標(biāo)變量與此類似)。

(i)假設(shè)M的上界和下界分別為m1、m2，H的最大、最小值分別為h1、h2，當(dāng)m1,m2∈M時(shí)，則角標(biāo)變量α(或β)與范圍集M(或H)的關(guān)系可表示為

m1≤α≤m2(或h1≤β≤h2)。

(1)

當(dāng)M=H(必有m1=h1，m2=h2)時(shí)，式(1)中兩個(gè)關(guān)系可統(tǒng)一表示為m1≤α，β≤m2；當(dāng)α、β的最小取值(m1=h1)自明時(shí)，式(1)中兩個(gè)關(guān)系也可統(tǒng)一表示為α,β≤m2。當(dāng)m1?M,m2∈M或m1∈M,m2?M時(shí)，則α與M的關(guān)系可分別表示為m1<α≤m2或m1≤α

注意3當(dāng)M≠H時(shí)，如M={x∈| 2≤x≤6}，H={y∈| 2≤y≤6},上面兩個(gè)不等式有完全不同的意義，2≤α≤6(α∈)與2≤β≤6(β∈)為不同的不等式；且不能寫成2≤α,β≤6。

(ii)設(shè)M、H的下界分別為m1(∈M)、h1(?H)，且均無上界，則α(或β)與M(或H)的關(guān)系可表示為m1≤α<+∞(或h1<β<+∞)。其他情形類似討論。

當(dāng)M=H且m1=h1?M時(shí)，以上兩個(gè)不等式可統(tǒng)一表示為m1<α,β<+∞。

(iii)假設(shè)M和H均為無上、下界的無限集，則α(或β)與其范圍集M(或H)的關(guān)系可表示為

-∞<α<+∞(或-∞<β<+∞)。

當(dāng)M=H時(shí)，以上兩個(gè)不等式關(guān)系可統(tǒng)一表示為-∞<α,β<+∞。

注意4當(dāng)M≠H(如M=,H=)時(shí)，上面兩個(gè)不等式也賦予完全不同的意義。

例7[15]8設(shè)α∈,Aα={x∈|α-1

1.2.3等式表示形式

角標(biāo)變量與范圍集中元素的等式關(guān)系(關(guān)系存在的條件下)由于其表示形式直觀、明了，因此這種表示形式在科技論著中經(jīng)常使用。

(i)范圍集為非數(shù)的對象組成的可數(shù)集或有限集

當(dāng)角標(biāo)變量α和β的范圍集分別為非數(shù)構(gòu)成的可數(shù)集A和有限集B時(shí)，由于可數(shù)集A與正整數(shù)集+對等，有限集B與+的有限子集對等，故可以通過一一對應(yīng)把A(或B)中的元素進(jìn)行編碼并用編碼來代替其中的元素，若用kA(或lB)表示A(或B)中與+(或中整數(shù)k(或整數(shù)l)一一對應(yīng)的元素，則A又可表示為A={kA|k∈+}，B可表示為故α(或β)與A(或B)中元素的等式表示形式為

α=1A,2A,…，nA,…(或β=1B,2B,…,tB)。

當(dāng)然上述關(guān)系也可用元素與集合的關(guān)系進(jìn)行表示：α∈{kA|k∈+}(或

注意5若是A(或B)中元素不經(jīng)編碼轉(zhuǎn)化，則上述等式表示形式不能使用。

(ii)范圍集是由數(shù)組成的可數(shù)集或有限集

設(shè)角標(biāo)變量α和β的范圍集分別為N1和N2，且N1和N2均為由數(shù)組成的可數(shù)集(或有限集)，則α(或β)與范圍集N1(或N2)中元素的關(guān)系可用等式形式表示(單個(gè)以及多個(gè)角標(biāo)變量與此類似)。

1)范圍集為可數(shù)集時(shí)的等式表示形式

第一，假設(shè)N1={n1,n2,…，nk,…}，N2={m1,m2,…，mk,…}(k∈+；n1和m1分別為α、β的最小取值)，則α(或β)與其范圍集關(guān)系的等式表示形式為

α=n1,n2,…，nk,…(或β=m1,m2,…,mk,…)。

當(dāng)nk=mk(k∈+)時(shí)，上述兩個(gè)等式表示形式可統(tǒng)一表示為α，β=n1,n2,…，nk,…。

第二，若是范圍集N1和N2均無下界(均與正整數(shù)集對等)，則可使用映射編碼方法轉(zhuǎn)化為(i)中情形的等式關(guān)系進(jìn)行表示。

2)范圍集為有限集時(shí)的等式表示形式

假設(shè)N1={n1,n2,…，nk}和N2={m1,m2,…，ml}(其中：k,l∈+；n1和m1分別為α、β的最小取值；nk和ml分別為α、β的最大取值)，則α(或β)與其范圍集N1(或N2)中元素關(guān)系的等式表示形式為

α=n1,n2,…，nk(或β=m1,m2,…,ml)。

當(dāng)k=l,ni=mi(i=1,2,…，k)時(shí)，上述兩個(gè)等式關(guān)系表示形式可統(tǒng)一表示為α,β=n1,n2,…nk。

其他表示形式均為以上形式的特殊情形，或?yàn)樯鲜鰩追N情況的綜合或推廣形式。

2角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系表示形式的應(yīng)用

在許多科技論著使用到的公式中，經(jīng)常出現(xiàn)角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系缺失的問題或范圍集不明的錯(cuò)誤問題，主要原因是，作者未經(jīng)審核而直接引用其他作者文獻(xiàn)中這類關(guān)系缺失或不明的公式，或認(rèn)為論文中角標(biāo)變量的范圍集是大家熟悉的數(shù)集或數(shù)集的有限子集而把角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系忽略不寫，致使論文出現(xiàn)可讀性障礙甚至錯(cuò)誤。這類缺失問題實(shí)際上類似于文獻(xiàn)[11]中序數(shù)變量范圍集的缺失問題[11]34，已由文獻(xiàn)[11]做了討論。以下主要考慮在科技論著的審、編、校工作中，對于角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系并未缺失的深層次問題，如何應(yīng)用角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的表示形式對其錯(cuò)誤進(jìn)行識(shí)別和糾正。

2.1角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系自明問題的識(shí)別

對于量的角標(biāo)變量與范圍集的關(guān)系既無缺失又不自明的深層次問題，作者或編輯如何在論著的修改加工或?qū)徸x工作中及時(shí)發(fā)現(xiàn)這類關(guān)系式存在錯(cuò)誤，是論著修改中確保其科學(xué)性與可讀性的重要環(huán)節(jié)。下面我們以科技論文的審、編、校工作中發(fā)現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤為范例，分析其錯(cuò)誤原因并對錯(cuò)誤類型進(jìn)行歸類，指出修改的方法與技巧以供讀者與編輯參考。

2.2錯(cuò)用元素與集合關(guān)系的表示形式

例9[19]72(文獻(xiàn)[19]給出的為修改后的正確形式)假設(shè)V={V1,V2,…,Vn}(n≥4)是空間3上的一個(gè)點(diǎn)集，并且記ω(p1,p2)為3中點(diǎn)p1與點(diǎn)p2間的垂直平分面，設(shè)P為空間3上的點(diǎn)，從而定義新的一個(gè)點(diǎn)集

(2)

分析與糾錯(cuò)在對式(2)的審讀中，我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)大括號(hào)中的關(guān)系i∈n-2可能有誤。因?yàn)楦鶕?jù)涉及i,n,n-2的前后內(nèi)容和說明，可知文章中i,n,n-2均表示正整數(shù)，故i與n-2的關(guān)系只能為整數(shù)之間的關(guān)系，不能為元素與集合關(guān)系，故式(2)右邊第一個(gè)大括號(hào)中錯(cuò)用了角標(biāo)變量i與范圍集的關(guān)系式i∈n-2，此時(shí)在i的下限自明且為1的情況下，經(jīng)與作者確定后把i∈n-2改為i≤n-2。

2.3元素與集合關(guān)系中錯(cuò)用集合符號(hào)

例10[19]73(文獻(xiàn)[19]給出的為修改后的正確形式)Q(n)依照例9中定義給定，設(shè)ω(M,Vi)為中心離散點(diǎn)M與外圍離散點(diǎn)Vi間的垂直平分面，對于?i,j,k∈n，若li=ω(M,Vi)∩ω(M,Vj)，lj=ω(M,Vj)∩ω(M,Vk)都存在，則可定義點(diǎn)集

R(n)={ω(M,Vi)∩ω(M,Vj)∩ω(M,Vk)|?i,j,k∈n,i≠j≠k}。

(3)

分析與糾錯(cuò)經(jīng)對式(3)前后內(nèi)容的審讀與分析，發(fā)現(xiàn)式(3)及前面的關(guān)系式?i,j,k∈n可能有誤，因?yàn)橛烧恼聝?nèi)容和說明可知i,j,k,n均表示正整數(shù)。但是，關(guān)系式?i,j,k∈n要說明的應(yīng)是角標(biāo)變量i,j,k在各自范圍集中取值，此關(guān)系應(yīng)為i、j、k與各自范圍集的關(guān)系，因此，依據(jù)集合符號(hào)正確使用問題[13]，可斷定式(3)前和式(3)中出現(xiàn)的關(guān)系式?i,j,k∈n及符號(hào)n都是錯(cuò)誤的，經(jīng)與作者確定：將此關(guān)系式?i,j,k∈n中的n都改為即可。

2.4組合角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的深層次錯(cuò)誤

例11[20](文獻(xiàn)[20]給出的為修改后的正確形式)對車輛動(dòng)力學(xué)非線性模型……，進(jìn)行線性化和離散化處理后得到線性離散化模型……，其中：Ak=Im+AT,Bk=BT,T為采樣時(shí)間矩陣，Im為單位矩陣，k∈+。……再將得到的線性離散化模型的離散狀態(tài)量與控制量組合為新的狀態(tài)量后得到車輛動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間方程為……，其中：

X=P(Xij)P-1,

(4)

其中：式(4)中的X11=Δ11,X13=Δ13,X31=Δ31,X33=Δ33是被其他矩陣所確定的矩陣，而式(4)中矩陣Xij(其中(i,j)∈{(i,j)|(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(3,4);i,j=1,2,3,4})為自由變量矩陣。

分析與糾錯(cuò)在對式(4)中各分塊矩陣Xij及其角標(biāo)變量與范圍集關(guān)系的審、校中，根據(jù)已被確定的矩陣Δ11，Δ13,Δ31,Δ33的具體形式，直觀上發(fā)現(xiàn)式(4)中未被其他矩陣確定的塊矩陣都是自由變量矩陣Xij，其中(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)。但已知的自由變量矩陣Xij的角標(biāo)變量對(i,j)的范圍集卻把X34的角標(biāo)對(3,4)排除在外，使得X34既不是自由變量矩陣又不是被確定的矩陣。因此矩陣Xij的角標(biāo)變量對的范圍集可能存在錯(cuò)誤。故在與作者溝通后確定：式(4)中自由變量矩陣Xij的角標(biāo)變量對的范圍集把(3，4)排除是錯(cuò)誤的，于是將以上角標(biāo)變量對與范圍集關(guān)系改為

(i,j)∈{(i,j)|(i,j)≠(1,1),(1,3),(3,1),(3,3);i,j=1,2,3,4}

即可。

以上范例分析告訴我們，在對復(fù)雜的公式及其相關(guān)變量關(guān)系的審、校工作中，編校人員必須根據(jù)題目中涉及對象的定義、前后所滿足的條件以及所含關(guān)系來進(jìn)行分析，才能更好地對復(fù)雜關(guān)系式及其所含變量范圍是否存在錯(cuò)誤做出正確的判斷。

3結(jié)論

本文通過研究角標(biāo)變量與其范圍集關(guān)系并未缺失的問題，得到了如下結(jié)論。

1)給出了識(shí)別角標(biāo)變量與其范圍集關(guān)系是否正確的重要理論依據(jù)：變量與角標(biāo)變量構(gòu)成的組合變量、角標(biāo)變量與自身或其他符號(hào)(含變量)構(gòu)成的組合角標(biāo)變量等定義，不同情況下的變量(或?qū)嶓w變量)的角標(biāo)變量與其范圍集關(guān)系的規(guī)范表示形式。而這些表示形式中，既有容易被受眾接受的等式、不等式、元素與集合關(guān)系的表示形式，也有理論性較強(qiáng)的、必須利用一一映射進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到的表示形式。

2)通過實(shí)例分析了公式中角標(biāo)變量與其范圍集的關(guān)系已經(jīng)自明的情況，并給出了這類關(guān)系已經(jīng)自明的常見類型。

3)依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)、專業(yè)知識(shí)和1)中所給的理論依據(jù)，分析編校實(shí)務(wù)工作中角標(biāo)變量與其范圍集關(guān)系的深層次錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，歸納了錯(cuò)誤的類型并給出了糾錯(cuò)方法。

以上結(jié)果既為科技論著的作者、編校人員修改論著中涉及角標(biāo)變量與其范圍集關(guān)系的錯(cuò)誤問題提供糾錯(cuò)依據(jù)、方法與技巧，也為作者提高論著的出版質(zhì)量起著重要的作用。