如何正確運(yùn)用方差分析
——隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029

隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)簡(jiǎn)稱為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)或配伍組設(shè)計(jì)［1-2］，它是考察一個(gè)試驗(yàn)因素和一個(gè)區(qū)組因素對(duì)定量觀測(cè)結(jié)果影響的一個(gè)節(jié)省樣本含量的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。本文將介紹該設(shè)計(jì)類型的要點(diǎn)、定量資料一元方差分析的模型和計(jì)算公式，以及基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)定量資料一元方差分析的具體方法。

1 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)的要點(diǎn)

在單因素多水平的試驗(yàn)研究場(chǎng)合中，若全部受試對(duì)象可以按某種重要的屬性（例如動(dòng)物的窩別、樣品的批次、患者的血型、受試對(duì)象的工作車(chē)間等）被分成幾個(gè)小組，則此時(shí)就可采用隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)取代單因素多水平設(shè)計(jì)，以便排除區(qū)組因素對(duì)結(jié)果變量的影響。

隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)的具體實(shí)施方法：基于定量觀測(cè)指標(biāo)，依據(jù)研究目的和專業(yè)知識(shí)，確定試驗(yàn)因素及其水平，并找出對(duì)定量觀測(cè)指標(biāo)影響最明顯且來(lái)自受試對(duì)象的一個(gè)屬性變量（也叫區(qū)組因素），將屬性變量取值（即水平）相同的受試對(duì)象劃分為一個(gè)大組；設(shè)試驗(yàn)因素有r個(gè)水平，區(qū)組因素有s個(gè)水平。先從依據(jù)研究目的確定的具有同質(zhì)性的總體中隨機(jī)抽取s組受試對(duì)象，應(yīng)確保每組受試對(duì)象的個(gè)數(shù)≥r；再?gòu)拿拷M中隨機(jī)抽取r個(gè)受試對(duì)象并隨機(jī)分配進(jìn)入r個(gè)試驗(yàn)組中；最后，從每個(gè)受試對(duì)象身上測(cè)定定量觀測(cè)指標(biāo)的數(shù)值。隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)的呈現(xiàn)模式見(jiàn)表1。

表1 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料的呈現(xiàn)模式

2 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析

2.1 方差分析的模型

假定試驗(yàn)因素A與區(qū)組因素B之間的交互作用不存在或可以忽略不計(jì)，于是，它們之間各水平組合條件下可以不做重復(fù)試驗(yàn)；又假定試驗(yàn)因素A和區(qū)組因素B分別有r和s個(gè)水平。隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定 量 資 料 一 元 方 差 分 析 模 型［3-4］見(jiàn)式（1）：

在式（1）中，Yij為兩因素A、B的（i，j）水平組合下定量觀測(cè)結(jié)果，μ為全部條件下定量觀測(cè)結(jié)果的總體平均值，ai為試驗(yàn)因素A的第i個(gè)水平的效應(yīng)，bj為區(qū)組因素B的第j個(gè)水平的效應(yīng)，它們滿足以下關(guān)系式：

在以上各式中，μij為兩因素A、B的（i，j）水平組合下定量觀測(cè)結(jié)果的總體平均值。

基于最大似然法，可得到式（2）、式（3）、式（4）的最大似然估計(jì)值，分別見(jiàn)式（7）、式（8）、式（9）：

為檢驗(yàn)一切μij是否相等，可改為檢驗(yàn)以下兩個(gè)假設(shè)。

檢驗(yàn)試驗(yàn)因素A的無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)分別見(jiàn)式（10）、式（11）。

檢驗(yàn)區(qū)組因素B的無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)分別見(jiàn)式（12）、式（13）。

2.2 方差分析的公式

從前面式（1）的第1個(gè)式子可以看出，隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析模型共有r×s個(gè)，即便將式（7）、式（8）、式（9）代入其中，獲得基于觀測(cè)數(shù)據(jù)的全部模型的最終計(jì)算結(jié)果，仍然沒(méi)有解決所需要回答的問(wèn)題：即試驗(yàn)因素A各水平對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義［對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)假設(shè)為前文的式（10）和式（11）］？區(qū)組因素B各水平對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義［對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)假設(shè)為前文的式（12）和式（13）］？為了回答這兩個(gè)問(wèn)題，需要構(gòu)造出兩個(gè)F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，分別見(jiàn)式（14）、式（15）：

在式（14）和式（15）中，MSA、MSB、MSE分別代表試驗(yàn)因素A、區(qū)組因素B和試驗(yàn)誤差E的均方；SST、SSA、SSB、SSE分別代表全部數(shù)據(jù)（簡(jiǎn)稱“T”）、試驗(yàn)因素A、區(qū)組因素B和試驗(yàn)誤差E的離均差平方和；而dfT、dfA、dfB、dfE分別代表總變異T、試驗(yàn)因素A、區(qū)組因素B和試驗(yàn)誤差E的自由度。各項(xiàng)離均差平方和的計(jì)算公式如下：

各項(xiàng)自由度的計(jì)算公式如下：

將以上主要公式匯集在一張表中，見(jiàn)表2。

表2 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)兩因素各水平組合下進(jìn)行一次試驗(yàn)的方差分析表

3 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料的實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】為探索丹參對(duì)肢體缺血再灌注損傷的影響，研究者將30只純種新西蘭實(shí)驗(yàn)用大白兔按窩別分為10個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組的3只大白兔（來(lái)自同一窩）隨機(jī)接受三種不同處理，即在松止血帶前分別給予丹參 2 mL/kg（A1）、丹參1 mL/kg（A2）、生理鹽水2 mL/kg（A3），并分別測(cè)定松止血帶前、后1小時(shí)內(nèi)大白兔血中白蛋白含量（g/L），計(jì)算白蛋白的減少量［5］，見(jiàn)表3。問(wèn)三種處理的平均值之間差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表3 隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)下三種處理后大白兔血中白蛋白減少量（g/L）

【例2】某研究者希望研究三種減肥方案（試驗(yàn)因素）的效果，分別從兩個(gè)工作地點(diǎn)（即區(qū)組因素，其兩個(gè)水平分別為“辦公室”與“車(chē)間”）中隨機(jī)選取女工15名，再將每個(gè)工作地點(diǎn)中的15名女工隨機(jī)均分入三種減肥方案組中。試驗(yàn)開(kāi)始之前，測(cè)定她們的空腹體重；在接受試驗(yàn)一定時(shí)間之后，再測(cè)定空腹體重，用第1次測(cè)定結(jié)果減去第2次測(cè)定結(jié)果，得到體重改變量（正值為體重減少量，負(fù)值為體重增加量）［6］，見(jiàn)表4。問(wèn)哪種減肥方案效果最佳？

表4 三種減肥方案中辦公室和車(chē)間女工的體重改變量（磅）

3.2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差分析

3.2.1 對(duì)例1的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例1資料所需要的SAS程序如下：

以上第一部分為隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析總模型的輸出結(jié)果，F(xiàn)=6.61，P=0.000 2，表明方差分析模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（誤差項(xiàng)的自由度=18）。

以上第二部分輸出的是隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的主要結(jié)果，結(jié)果表明：處理因素A對(duì)白蛋白減少量的影響是不同的（F=32.64，P＜0.000 1）；而窩別因素對(duì)白蛋白減少量的影響無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即窩別對(duì)結(jié)果的影響可以忽略不計(jì)。

為節(jié)省篇幅，下面僅給出采用TUKEY法對(duì)三種處理下的三個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果，見(jiàn)圖1。由圖1可看出：處理組1、2、3的均值分別為2.580、2.976和4.170；兩兩比較結(jié)果顯示，處理組1與組2的均值之間差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而它們與處理組3的均值差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。說(shuō)明相對(duì)于生理鹽水而言，大白兔接受1 mL/kg或2 mL/kg的丹參處理后，白蛋白的含量明顯下降。

圖1 采用TUKEY法對(duì)三種處理下的三個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果

由于窩別因素對(duì)結(jié)果的影響可以忽略不計(jì)，故本例資料采用單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析更合適，這樣可以增大誤差項(xiàng)的自由度，使分析結(jié)果更加穩(wěn)定?？刹捎萌缦耂AS過(guò)程步：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上為單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析總模型的輸出結(jié)果，F(xiàn)=34.67，P＜0.000 1，表明方差分析模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（誤差項(xiàng)的自由度=27）。

以上第一行結(jié)果是單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的主要結(jié)果，結(jié)果表明：處理因素A對(duì)白蛋白減少量的影響是不同的（F=34.67，P＜0.000 1）。

采用TUKEY法對(duì)三種處理下的三個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果同圖1，不再贅述。

3.2.2 對(duì)例2的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例2資料所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說(shuō)明】第1個(gè)過(guò)程步是進(jìn)行隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析；而第2個(gè)過(guò)程步是進(jìn)行單因素（指因素A：減肥方案）三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析（前提條件是區(qū)組因素?zé)o統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，否則，不可以使用第2個(gè)過(guò)程步）。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分結(jié)果表明：隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=5.33，P=0.005 4），誤差項(xiàng)的自由度為26。

以上第二部分結(jié)果表明：減肥方案A的3個(gè)水平組均值之間差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=7.51，P=0.002 7），表明不同減肥方案的減肥效果是不同的；而工作地點(diǎn)B之間差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=0.96，P=0.335 3），表明不同工作地點(diǎn)對(duì)減肥效果的影響可忽略不計(jì)。

由圖2可知：方案3與方案1的均值之間差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而方案3和方案1的均值與方案2的均值之間差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。方案3、1、2對(duì)應(yīng)的體重減少量的均值依次為9.4、6.1和2.0磅。

圖2 采用SNK法對(duì)三種減肥方案下的三個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果

由圖3可知：方案3與方案1的差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而方案1與方案2的差異也無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但方案3與方案2的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

圖3 采用TUKEY法對(duì)三種減肥方案下的三個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果

由于工作地點(diǎn)因素對(duì)結(jié)果的影響可以忽略不計(jì)，故本例資料采用單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析（見(jiàn)前文的第2個(gè)SAS過(guò)程步）更合適，這樣可以增大誤差項(xiàng)的自由度，使分析結(jié)果更加穩(wěn)定。其SAS輸出結(jié)果如下：

以上為單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析總模型的輸出結(jié)果，F(xiàn)=7.52，P=0.002 5，表明方差分析模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（誤差項(xiàng)的自由度=27）。

以上第一行是單因素三水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的主要結(jié)果，結(jié)果表明：減肥方案因素A對(duì)體重減少量的影響是不同的（F=7.52，P=0.002 5）。

對(duì)減肥方案因素A的三個(gè)水平下的均值進(jìn)行兩兩比較，基于SNK法和TUKEY法得到的結(jié)果分別與圖2和圖3的結(jié)果相同，為節(jié)省篇幅，此處從略。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)最適合用于區(qū)組因素對(duì)定量結(jié)果具有不可忽視的影響的試驗(yàn)研究場(chǎng)合，在實(shí)際的試驗(yàn)研究中，有時(shí)可能同時(shí)存在多個(gè)重要的非試驗(yàn)因素，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)，可以將它們復(fù)合成一個(gè)區(qū)組因素。

從方差分析的角度來(lái)看，方差分析方法對(duì)定量資料的前提條件要求很苛刻，無(wú)論試驗(yàn)研究中涉及多少個(gè)因素，要求每個(gè)因素都必須滿足“獨(dú)立性”“正態(tài)性”和“方差齊性”三個(gè)前提條件。值得注意的是，獨(dú)立性是針對(duì)整個(gè)試驗(yàn)資料中任何兩個(gè)定量數(shù)據(jù)而言的，即任何兩個(gè)定量數(shù)據(jù)之間是互相獨(dú)立的；正態(tài)性是針對(duì)任何一個(gè)因素的某一個(gè)水平而言的，即該因素每個(gè)特定水平下定量資料應(yīng)服從正態(tài)分布；而方差齊性則是針對(duì)任何一個(gè)因素的全部水平而言的，即該因素各水平下總體方差應(yīng)相等。僅當(dāng)前述提及的三個(gè)前提條件都滿足時(shí)，方差分析的結(jié)果才是正確的。否則，建議采用混合效應(yīng)模型分析方法處理資料［4］。

在例2的兩兩比較的分析結(jié)果中，SNK法與TUKEY法給出的結(jié)果略有不同，其原因在于這兩種方法控制的誤差類型不同［7-8］。相對(duì)來(lái)說(shuō)，TUKEY法給出的結(jié)果可信度更高。

4.2 小結(jié)

本文概述了隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)的要點(diǎn)，介紹了隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料的方差分析模型和計(jì)算公式，借助SAS軟件對(duì)兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行了分析，對(duì)輸出結(jié)果作出了解釋，并給出了統(tǒng)計(jì)結(jié)論和專業(yè)結(jié)論。