二維連續(xù)型隨機變量的條件概率的計算

趙德勤， 寧榮健

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，合肥230601)

1 引 言

(1)

(2)

將此問題引伸一下.設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D內(上)取值，其密度函數(shù)為f(x，y)，且當(x，y)∈D時，f(x，y)>0.L為包含在D內的一條光滑曲線，求條件概率

P{a≤X≤b|(X，Y)∈L} 或 P{c≤Y≤d|(X，Y)∈L}.

由于P{(X，Y)∈L}=0，因此不能利用公式

或者

計算.如何計算上述條件概率呢？

為此下面介紹若干種計算方法.

2 主要結論

考慮條件概率P{a≤X≤b|(X，Y)∈L}.

不妨設L的方程為h(x，y)=0，其中h′x(x，y)和h′y(x，y)均連續(xù)，且h′y(x，y)≠0.故在變換U=X，V=h(X，Y)下，P{a≤X≤b|(X，Y)∈L}=P{a≤U≤b|V=0}.

定理2設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D內(上)取值，其密度函數(shù)為f(x，y)，且當(x，y)∈D時，f(x，y)>0.L為D內的一條光滑曲線，其方程為h(x，y)=0，且h′x(x，y)和h′y(x，y)均連續(xù)，h′y(x，y)≠0.記u=x，v=h(x，y)，y=H(u，v)，則

(3)

(4)

定理3設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D內(上)取值，其密度函數(shù)為f(x，y)，且當(x，y)∈D時，f(x，y)>0.L為D內的一條光滑曲線，其方程為h(x，y)=0，且h′x(x，y)和h′y(x，y)均連續(xù)，h′y(x，y)≠0.則

(5)

引伸一下，對于曲線型隨機變量有下面的定理.

定理4設f*(x，y)為在曲線L上取值的曲線型隨機變量(X，Y)的線密度函數(shù)，L1?L，L2?L，且P{(X，Y)∈L1}>0，則

(6)

此外，與條件分布函數(shù)的定義相仿，可利用極限求上述條件概率.

(7)

根據(jù)具體情況，也可以有

(8)

或

(9)

3 應用舉例

方法1利用等式(3)求條件概率.

需要指出的是，在方法1中，變換的方式可以是多樣的.又解如下.

令X=RcosΘ，Y=RsinΘ，則(R，Θ)的密度函數(shù)為

方法2利用等式(5)求條件概率.

方法3利用等式(8)求條件概率.

當ε→0+時，

所以

類似這樣的問題在工程實際中還有很多，表明該理論具有一定的應用價值.

4 結束語

定理2理論嚴謹，定理3是定理2的延續(xù).并且通過定理3，在已知二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)落在曲線L上的情形下，由(X，Y)的密度函數(shù)f(x，y)得到曲線L上的曲線型隨機變量(X，Y)的線密度函數(shù)f*(x，y)，豐富了曲線型隨機變量的理論.利用極限求上述條件概率的方法思路清晰，但計算量較大，且有一定的難度.

另外，對于條件概率P{c≤Y≤d|(X，Y)∈L}，同樣能夠得到上述各計算方法.但換一個角度看，當(X，Y)∈L，且h′y(x，y)≠0時，由a≤X≤b可以求出Y的取值范圍.例如，在例1中，

如此轉化，使得問題變得簡單.

問題的拓展：如果二維隨機變量(X，Y)既是非離散型，也是非連續(xù)型，且在點集D上取值，曲線L?D，當P{(X，Y)∈L}=0時，如何計算P{a≤X≤b|(X，Y)∈L}？這個問題還需進一步研究，歡迎感興趣的同仁共同探討.

致謝感謝審稿人給出的寶貴意見，感謝唐爍老師對論文的整體結構等諸多方面的指導.